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12.7抛物线及其标准方程2


复习回顾

1.抛物线的定义是什么?

平面内,到定点的距离和到定直 线的距离相等的点的轨迹叫抛物线
2.抛物线的标准方程有哪几种形式?

(一)、回顾
图 形
y
l O F x l

方 程

焦 点

准 线

r />
y2 = 2px (p>0) y2 = -2px
x F x l l F x

p F ( ,0) 2 p F (? ,0) 2 p F (0, ) 2 p F (0,? ) 2

y
F

O

(p>0) x2 = 2py (p>0) x2 = -2py (p>0)

y
O

y
O

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

y

例题:
例1:点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的 y 距离小1,求点M的轨迹方程。

解:如图,设点M的坐标为(x,y), 由已知条件可知:点M与点F的距离 等于它到直线x+4=0的距离,根据 抛物线的定义,点M的轨迹是以 F(4,0)为焦点的抛物线。

M
O F X

p ? ? 4, 2

?p ?8
y2=16x

L L’

∵焦点在x轴的正半轴上,∴点M的轨迹方程为:
演示

例题:
例2:已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的 点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的标 准方程和m的值。 解 因为焦点在x轴上且过M点的

所以设标准方程为 y2=-2px(p>0),
由抛物线的定义知

即p=4.

p -(-3)=5 2

所以所求抛物线标准方程为y2=-8x 又点M(-3,m)在抛物线上,于是m2=24, 得: m ? ?2 6

例3:

斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点与 y 抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长。A‘ 解: 由抛物线方程知,焦点F(1,0) 所以直线方程为y=x-1 O 联立 y=x-1 消去y得x2-6x+1=0 B’ B

A F

X

y2=4x

? x1 ? x2 ? 6

设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物 线的定义可知: |AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA’|, 而|AA’|=x1+1 即|AF|=|AA’|=x1+1,同理|BF|=|BB’|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8

练习:求过点A(-1,2)的抛物线的标准方程.
解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时,把A(-1,2) 代入x2 =2py,得p=


A

y

1 4

O

x

(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时, 把A(-1,2)代入y2 = -2px, 得p=

∴抛物线的标准方程为x2 =

1 2

1 y 或 y2 2

=

?x 。

练习:
1、动点P到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的 X2=8y 距离小2,则动点P的轨迹方程为________

2、已知抛物线方程为标准方程,焦点在y轴上 抛物线上一点M(a,-4)到焦点F的距离是5,则 抛物线方程为_______,a的值等于____ X2=- 4y ±4

练习巩固: ⑴抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点的距离是 p a ( a ? ) ,则点 M 到准线的距离是______;点 M 的横坐 2 p a标是____. 22 ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标 ⑵抛物线 y 是_____. 2)或(6, ?6 2) (6, 6

a

2. 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到 (1, 2 2) 准线的距离则点M的坐标是_________.或(1, ?2 2)

例 4:一种卫星接收天线的轴截面(如图)所示, 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线 的接收天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天 线的口径为 4.8m,深度为 0.5m,试建立适当的坐 标系.求抛物线的标准方程和焦点坐标.
Y A

o

F

X

B

讨论题:
1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离 等 于点M到准线的距离则点M的坐标是

2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线 焦点,试在抛物线上求一点P,使 PA与PF 的 距离之和最小,并求出这个最小值。

小结:
抛物线的定义反映了抛物线的本
质,灵活应用定义往往可以化繁为简、 化难为易,且思路清晰,解法简捷, 巧妙解法常常来源于对定义的恰当运 用,同学们要好好体会。

作业: 书P65 4 练习册P36 (A)3,4 (B)1,2


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