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北京师大附中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷(理科)


北京师大附中 2015 届上学期高三年级期中考试数学试卷(理科)
试卷说明:本试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟。

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项) 1. 集合 A ? {x ? N | x ? 6}, B ? {x ? R | x 2 ? 3x ? 0

},则 A ? B =( A. {3,4,5} C. {x | 3 ? x ? 6} B. {4,5,6} D. {x | 3 ? x ? 6} )

2. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( , A.

1 2

2 ) ,则 log4 f (2) 的值为( 2
D. -2 )



1 4

B. ?

1 4

C. 2

3. 设 a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? log2 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a

D. b ? c ? a

?y ? x ? 4. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. -3 B.



1 2

.C 5

D. 6 )

5. 向量 a ? (2, x ? 1) , b ? ( x ? 1,4) ,则“ x ? 3 ”是“a∥b”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 6. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 向 右 平 移 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? 个 单 位 后 与 函 数 y ? si n2 x 的 图 象 重 合 , 则 6

y ? f ( x) 的解析式是(
A. f ( x) ? cos( 2 x ? C. f ( x) ? cos( 2 x ?



?
3

)

B. f ( x) ? cos( 2 x ? D. f ( x) ? cos( 2 x ?

?
6

)

?
6

)

?
3

)
2013

7. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ( )

?
2

) 的部分图象如图,则

? f(
n ?1

n? )= 6

1

A. -1

B. 1

C.

1 2

D. 0

8. 若 集 合 A ? {x | x ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 3 ? a2 ? 32 ? a3 ? 33 } , 其 中 ak ? {0,1,2} ( k ? 0,1,2,3 ) ,则 a3 ? 0 。则 A 中所有元素之和等于( A. 3240 B. 3120 C. 2997 ) D. 2889

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 计算

? (2 x ? x )dx =___________。
1

e

1

10. 已知向量 a ? (1,? cos? ), b ? (1,2 cos? ) 且 a⊥b,则 cos 2? =___________。 11. 已知向量 a,b 满足:| a |? 1, | b |? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为___________,

| 2a ? b | =___________。
12. 等差数列 {an } 的公差为-2,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a 20 =___________。 13. 如图, 对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的 “分裂” (其中 m、 n? N ) :
*

例如 72 的“分裂”中最小的数是 1,最大的数是 13;若 m 的“分裂”中最小的数是 211, 则 m=___________。

3

14. 已知 A、B 分别为函数 y ? f ( x)(x ? [a, b]) 图象的左右端点, M ( x, y ) 是 f ( x) 图象 上任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b, ? ? [0,1] 。又已知向量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB ,若不 等式 | MN | ? k 恒成立,则称函数 f ( x) 在 [ a, b] 上“k 阶线性近似” 。若函数 f ( x) = x ? 在 [1,2] 上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为__________。

1 x

2

三、解答题(共 6 个小题,80 分。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数 f ( x) ? cos x (sin x ? cos x) ? (1)若 0 ? a ?

1 。 2

?
2

,且 sin ? ?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间。 16. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c ,且 (2a ? c) cos B ? b cosC 。 (1)求角 B 的大小; (2)若 cos A ?

2 , a ? 2 ,求△ABC 的面积。 2

17. 已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 n ? a(n ? N * ) 。 (1)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 18. 已知函数 f ( x) 对任意 x, y ? R 都满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1, 且 f ( ) =0 , 数 列 {an } 满足: an ? f (n), n ? N * 。 (1)求 f (0) 及 f (1) 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)若 bn ? ( )

1 2

1 4

an

1 ? ( ) 3? an ,试问数列 {bn } 是否存在最大项和最小项?若存在,求出 2
2 x ?1

最大项和最小项;若不存在,请说明理由。 19. 已知函数 f ( x) ? e

? ax ? 1, a ? R 。

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? ey ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)设 a ? 2e ,当 x ? [0,1] 时,都有 f ( x) ? 1 成立,求实数 a 的取值范围。
3

20. 现有一组互不相同且从小到大排列的数据 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a0 ? 0 。记 T=

a0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 , x n ?

n 1 , y n ? (a0 ? a1 ? ? ? a n ) ( n ? 0,1,2,3,4,5 ) ,作函 5 T

数 y ? f ( x) ,使其图象为逐点依次连接点 Pn ( xn , yn )(n ? 0,1,2,3,4,5) 的折线。 (1)求 f (0) 和 f (1) 的值; (2)设直线 Pn?1 Pn 的斜率为 k n (n ? 1,2,3,4,5) ,判断 k1 , k 2 , k3 , k 4 , k5 的大小关系; (3)证明:当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x 。
3

【试题答案】
一、选择题(每小题 5 分,本题共 40 分) 1. B 2. A 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. D 二、填空题(每小题 5 分,本题共 30 分) 9. e
2

10. 0

11.

? ,2 7 3

12. -30

13. 15

14. [ ? 2 ,?? )

3 2

三、解答题(共 6 个小题,共 80 分。解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 解: (1) 因为 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

2 2 ? 2 2? 2 ? , 所以 cos? ? , 所以 f (? ) ? ?? ? ? 2 2 2 ? 2 2 ? ?

?

1 1 ? 。 2 2
(2)因为 f ( x) ? sin x cos x ? cos x ?
2

1 1 1 ? cos 2 x 1 1 ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x + 2 2 2 2 2

1 2? 2 ? ?? cos 2 x ? ?? , sin? 2 x ? ? ,所以 T ? 2 2 2 4? ?
由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ?, k ? Z 。 8 8?

16. 解: (1)由正弦定理得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ,

? 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin(B ? C ) ? sin A ,
? 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0,? cos B ?
(2)由正弦定理

1 ? 。又? 0 ? B ? ? ,? B ? 。 2 3

a b ? ? 2 ? ,得 b ? 6 ,由 cos A ? 可得 A ? ,由 B ? , sin A sin B 4 3 2

得 sin C ?

6? 2 1 1 6 ? 2 3? 3 ,? s ? absin C ? ? 2 ? 6 ? = 。 4 2 2 4 2

n?1 17. 解: (1)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a ? 0 。当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 ,

因为 {an } 是等比数列,所以 a1 ? 2 ? a ? 2

1?1

? 1,即 a1 ? 1, a ? ?1 ,

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ? N * ) 。
4

(2)由(1)得 bn ? nan ? n ? 2 n?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 则 Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 4 ? 23 ? ? ? n ? 2 n?1 , ① ②

2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,
①-②得 ? Tn ? 1?1 ? 1? 2 ? 1? 2 2 ? ? ? 1? 2 n?1 ? n ? 2 n

? 1 ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? n ? 2 n ? 1 ? 2(1 ? 2 n?1 ) ? n ? 2 n ? ?(n ? 1) ? 2 n ? 1 ,
所以 Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 。 18. 解: (1)在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? ?1 , 在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1,取 x ? y ?

1 ,得 f (1) ? 1 。 2

(2)在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,令 x ? n, y ? 1 , 得 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ,即 an?1 ? an ? 2 , 所以 {an } 是等差数列,公差为 2,又首项 a1 ? f (1) ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1, n ? N * 。 (3) {bn } 存在最大项和最小项 令 t ? ( )a ? ( )
n

1 2

1 2

2 n ?1

,则 bn ? t ?
2

1 1 1 1 t ? (t ? ) 2 ? ,显然 0 ? t ? , 8 16 256 2

又因为 n ? N ,
*

所以当 t ? 当t ?

1 3 ,即 n ? 1 时, {bn } 的最大项为 b1 ? 。 16 2

1 3 ,即 n ? 3 时, {bn } 的最小项为 b3 ? ? 。 1024 32
2 x ?1

19. 解: (1)由已知得 f ?( x) ? 2e

?a ,

因为曲线 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? ey ? 1 ? 0 垂直, 所以 f ?(0) ? e 。所以 f ?(0) ? 2e ? a ? e ,所以 a ? e 。
2 x ?1 (2)函数 f ( x) 的定义域是 (??,??), f ?( x) ? 2e ?a,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 成立,所以 f ( x) 的单调增区间为 (??,??) , 当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 a 1 1 a 1 ln ? ,所以 f ( x) 的单调增区间是 ( ln ? ,?? ) ; 2 2 2 2 2 2

5

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 a 1 1 a 1 ln ? ,所以 f ( x) 的单调减区间是 ( ?? , ln ? ) , 2 2 2 2 2 2

综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??,??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 ( ln

1 2

a 1 1 a 1 ? ,?? ) ,减区间是 ( ?? , ln ? ) 。 2 2 2 2 2

(3)当 x ? 0 时, f (0) ? e ? 1 ? 1 成立, a ? R , “当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? e 2 x?1 ? ax ? 1 ? 1 恒成立” 等价于 “当 x ? (0,1] 时,a ? 恒成立, ” 设 g ( x) ?

e 2 x ?1 x

e 2 x ?1 (2 x ? 1)e 2 x ?1 ,只要“当 x ? (0,1] 时, a ? g ( x) min 成立。 ” g ?( x) ? , x x2
1 1 且 x ? 0 ,又因为 x ? (0,1] ,所以函数 g ( x) 在 (0, ) 上为减函 2 2 1 1 ,又因为 x ? (0,1] ,所以函数 g ( x) 在 ( ,1] 上为增函数, 2 2 1 1 2 处取得最小值,且 g ( ) ? 2e , 2 2
3

令 g ?( x) ? 0 得, x ? 数; 令 g ?( x) ? 0 得, x ? 所以函数 g ( x) 在 x ?
2

所以 a ? 2e ,又因为 a ? 2e ,所以实数 a 的取值范围 (??,2e 2 ] 。 20. 解: (1) f (0) ?

a0 ? 0, a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

f (1) ?

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1; a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5

(2) k n ?

y n ? y n?1 5 ? an , n ? 1,2,3,4,5 , xn ? xn?1 T

因为 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,所以 k1 ? k 2 ? k3 ? k 4 ? k5 。 (3)证:由于 f (1) 的图象是连接各点 Pn ( xn , yn )(n ? 0,1,2,3,4,5) 的折线,要证明

f ( x) ? x(0 ? x ? 1) ,只需证明 f ( xn ) ? xn (n ? 1,2,3,4) ,
事实上,当 x ? ( xn?1 , xn ) 时,

f ( xn ) ? f ( xn?1 ) x ?x x ? xn?1 ? ( x ? xn?1 ) ? f ( xn?1 ) ? n f ( xn?1 ) ? f ( xn ) xn ? xn?1 xn ? xn?1 xn ? xn?1 x ?x x ? xn?1 ? n xn?1 ? xn ? x 。下面证明 f ( xn ) ? xn , xn ? xn?1 xn ? xn?1 f ( x) ?

6

对任何 n(n ? 1,2,3,4) ,当 k n ? 1 时, yn ? ( y1 ? y0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ? ? ( yn ? y n ?1 ) =

1 n ( k1 ? k 2 ? ? ? k n ) ? ? x n ; 5 5
当 k n ? 1 时, y n ? y5 ? ( y5 ? y n )

? 1 ? ?? yn?1 ? yn ? ? ? yn?2 ? yn?1 ? ? ? ? ? y5 ? y4 ??
? 1?

1 ?k n ?1 ? k n ? 2 ? ? ? k 5 ? ? 1 ? 1 (5 ? n) ? n ? xn , 5 5 5

综上, f ( xn ) ? xn 。

7


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