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电磁3


静 电 场 的 高 斯 定 理

?





? ?

? ? N q (积分形式) i E ?d S ? ? ?
S i ?1

?0

? ? ?? E ?

(微分形式)

?0<

br />
? ? (积分形式) D ? d S ? ? q0内 ?
S

电介质

? ?? D ? ?

(微分形式)

? ? ?? E ?

?0

? ??B ? 0

静电场具有发散源。磁感应强度没有发散源。 (电场是有源场) (磁场是无源场)

(电荷)

(磁荷) (磁单极子)

? ? ? B ? d l ? ?0 ? I内
L

注释:
①该定理仅适用于闭合恒定电流的磁场。

? ? ② B ? d l中的 由L内外所有闭合电流 ? ?L B 共同产生,但积分值最终仅依赖于L

所包围的闭合电流的代数和。
③ 表明磁场不是保守场。

环路方向与电流方向成右手,电流取正,否则取负。

1.磁场是有旋度的场,哥是有骨气的人; 磁场的涡旋源是电流,哥的自信来源于实力!----------------Crystal Original~~~~ 2.用 求磁场分布的问题,练习,熟练!~

? ? B ? d l ? ?0 ? I内 ?

3.由

? ? B ? ?? A

L



? ?? A ? 0

可求得矢量磁位A。

4.在电流密度 的分布或场域的边界情况比较复杂时,先求解矢量波松方程, 再由 是求解磁场是较常用的方法。(Wait to be

? ? ? B ? ? ? A(r )

continued.) 5.小圆环电流(也称磁偶极子)的磁感应强度与电偶极子的电场强度有很相似的分 布。 6. 哈哈,安培环路,哈哈哈

? ? B ? d l ? ?0 ? I内 ?
L

? 安培环路定理的应用
—— 求解具有对称性的磁场分布

(圆柱形电流、平面电流、螺线管等) 解题要点:
1)分析磁场特点,选择适当的积分回路

? ? 2)计算 ? B ? d l
L

3)计算
L

? ? 4)由 ? B ? d l ? ? 0 ? I 求 B

?I

[例1]

无限长圆柱面电流的磁场。
R

设柱面上总电流为I,均匀分布。

I

俯视: ?

任意一点 B 的方向沿该点所在圆周的切向, ? 圆周上各点 B 的大小相等。 r
? ? dB2 dB1 ? dB

dI1 L

dI2

选择安培环路:半径为r的圆周L

? ? B?dl ? ? Bdl ?
L L

? B ? d l ? B ? 2? r
L

?0 ?0 ? I内 ? ? ?? 0 I

(r ? R) (r ? R)

于是

? B方向与I方向之间成右手螺旋关系
B?r曲线: B B?1/r o R r

?0 ? B ? ? ?0 I ? 2?r ?

(r ? R) (r ? R)

[例2] P120 无限长圆柱电流的磁场? ? ?0 I r (r ? R) ? 2?R 2 B?? ?0 I ? (r ? R) ? 2?r B?r曲线: B B?1/r r R

o

I

R

?' dB

dI

o

r

P
?

L

L o

? r ? ' dI

? dB

P

? ? ? B ? dl ? B ? 2?r
L

? I Ir 2 ? 2 ?r ? 2 R ? I ? ??R ?I ?

2

L
(r ? R) (r ? R)

L

o

r

? ? 由 ? B ? d l ? ?0 ? I 得:
L

B

? ? 0 Ir ? 2?R 2 ? B?? ? ?0 I ? 2?r ?

(r ? R) (r ? R)

o

R

r

[例3]

P121 无限大平面电流的磁场。

你说无关就无关,呵呵~~~

[例4]

载流长直密绕螺线管的磁场(L??R)。

[例4]

载流长直密绕螺线管的磁场(L??R)。

安培环路:矩形L1
L

⊙⊙⊙??⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙ ?
R
? B0
a
d

B
L1

b

c

????????????

安培环路:矩形L1 ? ?

? B?dl ? ? Bdl ? ?
L1 ab cd

B cos

?
2

dl

bc

? ? B cos ? d l ? ? B cos
da ab cd

?
2
ab

dl

? ? B d l ? ? B cos ? d l ? ? B d l ? ? B0 d l
cd

? B ab ? B0 cd ? ( B ? B0 )d

? 0 ? I内 ? 0

? B ? B ? ? nI
0 0

——管内磁场均匀

安培环路:矩形L2 L

⊙⊙⊙??⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
R
? B0
? B L2 a
B?

???????????? d ? c

b

? ? B ? d l ? ?0 ? I ?
L2

( B ? B )d ? ?0 ndI
'

B ? B ? ?0 nI ? 0
'
结论:载流长直密绕螺线管内的磁场是均匀磁场

B ? ?0 nI

(3)螺线环内的磁场
? ? ? B ? dl ? ?0 ? I
L

? ? ? · ? ? ? ? ? · · ·

?

? ?

·

·

·

? · · · ? ? ? ?

B ? 2? r ? ?0 NI

r
· · ·

B?

? 0 NI
2? r

?

随便考考就行了,呵呵~~

说明: 1)若媒质被均匀磁化,无体磁化电流;

2)磁化介质表面一般存在磁化电流;

3)磁化电流仍然遵循电流守恒关系;

4)若在磁介质内部存在自由线电流, 则在自由电流处存在磁化线电流。 什么是磁化电流?姐不懂。。。。。。心中默念这四句话即可 What’s H&M???--------------磁场H&磁化强度M~~~是也

磁介质
1. 磁化强度
? M ? lim

电介质
1. 极化强度
? P ? lim

?
i

? p mi

?
i

? p ei

ΔV ? 0

ΔV

ΔV ? 0

ΔV

2. 磁化强度与 磁化电流的关系
? ? ? j? ? M ? n ? ? I ? ? ? M ? dl
L

2. 极化强度与 极化电流面密度的关系
? ? ? ? ? P ?n ? ? q? ? ? ? P ? ds
S

? 0 (? 4? ?10
真空中的磁导率

磁导率
?7

H / m)

? 0(? 8.854 ? 10
真空中的电容率

电容率
?12

F / m)

?
?r
?m
SI单位:

(? ?0 ? r )
(?

媒质的磁导率

?

介质的电容率

( ? ? 0? r )
?
? 1 ? ?e )

? ?0

? 1? ?m )

媒质的相对磁导率

? r (? ?
?e

0 介质的相对电容率

媒质的磁化率

介质的电极化率

?、? :H/m ? 、 ?0 : (F/m) ?r、? ?r 、? :无量纲常数
0 m、 e

各向同性线性磁介质

? ? M ? ? r ? 1) H ( ? ? ? B H ? ?M ?0

各向同性线性电介质
? ? P ? ? 0 ?? r ? 1?E

代入

? ? ? D ? ?0E ? P
? ? D ? ? 0? r E

得 令

? ? B ? ?0?r H

? ? ? 0 ? r ─ 磁导率
? ? B ? ?H

? ? ? 0? r
? ? D ? ?E

则有

? ? 真空中,? r ? 1 B ? ?0 H,而 , ? ? 线性各向同性媒质中,B ? ?H。
可见,在这种媒质中,只要
可是有时候又不是在电介质、磁介质中就0换r,所以说不能一概而论、、、 ?当磁铁加热到1000摄氏度时,磁性如何?为什么

将真空的恒定磁场方程式中的?0换成?即可。

例2、一半径为R1 的无限长圆柱形直导线,外面包一层半 径为R2 ,相对磁导率为?r 的圆筒形磁介质。通过导线的电 流为Io。 求: (1) 磁介质内、外磁场强度和磁感应强度的分布; (2) 磁介质内、外表面的磁化电流强度。 ? ? ?r 解: H ? d l ? 2? rH
? I (r ? R1 ) ? 2 ? I ? ? Ir (r ? R ) ? 2 1 ?R
? Ir ? 2?R 2 (r ? R1 ) ? H ?? ? I ( r ? R1 ) ? 2?r ?

?

L

Io

?r

R1 L

R2

? ? 0 Ir ? 2?R 2 ( r ? R1 ) ? ? ?0 ?r I B ? ?0 ?r H ? ? ( R1 ? r ? R2 ) ? 2?r ? ?0 I ? 2?r ( r ? R2 ) ?
H B

O

R1

R2

r

O

R1

R2

r

? 1 ? 1 ?A? ?Az ?? A ? (rAr ) ? ? r ?r r ?? ?z
圆柱坐标求散度,哈哈,你知道这个公式吗???哈哈哈哈,你不知道吧,哈哈 哈哈===============(撅PP~~~~)

z
例题一 无限长线电流位于z轴, 介质分界面为平面, 求空间的 ? 分布和磁化电流分布。

?0
I
x

B

?1

分析:

电流呈轴对称分布。 可用安培环路定律求解。 磁场方向沿 ? 方向。

e?

磁场方向与边界面相切,由边界条件知, 解: 在分界面两边, 连续而

? H

不连续。

? B
z

由安培环路定律:

? H ? ? 2? r ? I ? I ? ? H ? e? 2? r

? ? ? H ?dl ? I
C

?0
I
x

?1

? ?0I ? ? ? 2? r ? ?B ? ?H ? ? ? ?1 I ? 2? r ?

? e? ? e?

( z ? 0) ( z ? 0)

求磁化电流: 介质磁化强度为:

? ( ?1 ? ? 0 ) I ? ?H ? e? ?0 2? ? 0 r 体磁化电流为: ? ? er ez ? e? r r ? ? ? ? ? Jm ? ? ? M ? ?0 ?r ?? ?z ? M ?
Mr
面磁化电流为:

? B

rM ?

Mz

? ? ? ( ?1 ? ? 0 ) I ? ( ?1 ? ? 0 ) I ? ? J sm ? M ? n ? e? ? e z ? er 2? ? 0 r 2? ? 0 r

在介质内r=0位置,还存在磁化线电流Im。
由安培环路定律,有:

I ? Im ? ?

? B

l

?0

? ? ?dl ? I

?0

? I m ? ( ? r ? 1) I
分析:可由电流守恒的关系求

I m ? I sm ?

( ?1 ? ? 0 ) I

?0

? ( ? r1 ? 1) I

什么是Is,Ism啊?就这个地方看不懂、、、、

填空题
在同轴电缆中填满磁导率为 半空间。设电流为I,则介质 ( )。

?2

?1、?2

的两种磁介质,它们沿轴各占一

中离中心轴 r 处的磁感应强度的大小为

I
?1 ?2

r

?1? 2 I ? r ( ?1 ? ? 2 )

例 1 试求无限长直导体的内自感 Li。
r 解:设安培环路包围部分电流I’,则有
? ? ? H ?d l ? I? ?
L

R

I

?R
2

2

?r ?
2

I R
2

r

2

(0 ? r ? R )

H ?

I 2? R

r,

B?

?0I
2? R
2

r

穿过宽度为dr,长度为l的矩形面积的磁通为 drl ? ? ? I ? ? d ? ? B ? d S ? ? 0 2 r ? ?l d r ? ? 2? R ?

R

r=?

l 导体纵截面

若将整个内导体电流看作1匝,则与d?交链的电流为 2 I' r N ? ? 2 (匝 ) I a
磁链中的匝数,可根据
N '? I? I ? r R
R 0

2 2

因此,有 内自感

?i ?

?

N 'd ? ?
s

?

? o I lr
2? R
2

?

r R

2 2

dr ?

?0I l
8?

Li ?

?i
I

?

? 0l
8?

单位长度(l=1)上的内自感为:
Li 0 ?

?0
8?

(4-62)

例2

长为 l 的螺线管,横断面为 S ,线圈总匝数为 N , 管中磁介质的磁导率为 ? ,求自感系数。

解:设回路中通有电流 I
B?? N l I

Ψ ? NBS ? ?

N l

2

IS

l

L?

Ψ I

??

N l
2

2

S ??

N l

2

2

lS
n? N l

L??n V

V ? lS

例3 设在一长为 1 m,横断面积 S = 10 cm2,密绕N1= 1000 匝线圈的长直螺线管中部,再绕 N2= 20 匝的线 圈。(1)计算互感系数;(2)若回路1中电流的

变化率为 10 A/s,求回路2中引起的互感电动势。 解:
(1)

B1 ? ? 0

N1 l

I1

Ψ21 ? N 2 BS ? ? 0
M ?
(2)

N1 N 2 I1S l
? 2.51?10
?4
?5

l
H

Ψ21 I1

?

? 0 N1 N 2 S
l

? 21 ? ? M

dI1 dt

? ?2.51?10

(V)

例4 在磁导率为 ?0 的均匀无限大的磁介质中,有一 无限长直导线,与一边长分别为 b 和 l 的矩形线 圈在同一平面内,求它们的互感系数。

(与例4-13类似,P146)
解:B ?
?0 I
2? r

dΦ ? BdS ?

?0 I
2? r

I
ldr

r
ln a?b a

dr b

l

Φ? ?

a ?b

? 0 Il
2? r

dr ?

? 0 Il
2?

a

a

M ?

Φ I

?

? 0l
2?

ln

a?b a

例5
自感分别为 L1 和 L2 ,互感为 M 的两线圈串联。
如果两线圈的磁通互相加强,称为顺接(图a), 如果两线圈的磁通互相削弱,称为反接(图b)。 计算在这两种接法下两线圈的等效总自感。

1

2

(图a)

1

2 (图b)

解:顺接:
?1 ? ? L1
? 2 ? ? L2
dI dt
dI dt

?M
?M

dI dt
dI dt

1

2

(图a)

? ? ?1 ? ? 2 ? ?( L1 ? L2 ? 2M )

dI dt

L ? L1 ? L2 ? 2M

反接:
? 1 ? ? L1
? 2 ? ? L2
dI dt
dI dt

?M
?M

dI dt
dI dt

1

2 (图b)

? ? ? 1 ? ? 2 ? ?( L1 ? L2 ? 2M )

dI dt

L ? L1 ? L2 ? 2M

例 4-14 P146

(诺依曼公式?)

两个互相平行、共轴的单匝线圈,其中一个圆的半 径a远小于两线圈距离d,求它们之间的互感。
2 ? ? ?0 I?a (4-39a) Ap (r , ? , ? ) ? a? sin ? 2 4?r 2 ? ? ? 0 I?a A21 ? a? sin ? 2 4?r 2 ? ? ?0 I?a ? ? m 21 ? ? A21 ? d l2 ? 2?bA21 ? 2?b sin ? 2 C2 4?r

? 21

M ?

? 21 I1

?

?0?a
4?r

2

2

2?b sin ? ?

?0?a b
2 2

2

2(b ? d )

2 3/ 2

★磁场能量与静电场能量比较
(从两条路分析)

静电场
1.能量存在器件中 电容器
We ? 1 2

稳恒磁场
1.能量存在器件中 电感
2

C
CU

L
1 2 LI
2

Wm ?

静电场
2.能量存在场中
? ? 电场能 w ? 1 D ? E 量密度 e 2

稳恒磁场
2.能量存在场中

1 ? ? 磁场能 w ? B ? H 量密度 m 2

电磁场的能量密度 w ? w e ? w m
1 ? ? 1 ? ? w ? D?E ? B?H 2 2

适用于各种电场 磁场


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