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高中数学基本初等函数与方程


1

一、指数与指数幂的运算
1、正方形面积公式为 ;正方体的体积公式为 ,记作 ,记作 。 ; 。

2、如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的

1、一般地,若 x ? a ,那么
n

x 叫做

/>,其中 n ? 1 , n ? ? 。
?

2、当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个 a 的 n 次方根用符号 表示。 3、当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有 符号 表示,负的 n 次方根用符号
n 4、 a 的式子就叫做

,负数的 n 次方根是一个

,这时,

个,这两个数 。 这时,正数 a 的正的 n 次方根用 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成 。 ,a 叫做 .

,这里 n 叫做

5、负数没有偶次方根;0 的 0 次方根没有意义。 6、 (
n

a )n ?
n

(a ? 0) .
an ?


7、当 n 是奇数时,

当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 8、规定分数指数幂如下

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

an ?

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ;

a

?

m n

?

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
;0 的负分数指数幂 .

9、 0 的正分数指数幂 10、有理指数幂的运算性质
r r ?s (1) a · a ? a
r

(a ? 0, r , s ? Q) ;
(a ? 0, r , s ? Q) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

例 1、求下类各式的值: (1)
3

(?a)3

(2)

4

(?7)4

(3) 6 (3 ? ? )

6

(4) 2 (a ? b) ( a ? b )
2

2

变式:计算或化简下列各式. (1)
5

?32 ;

(2)

3

a6

.

推广: amp ? n am (a ? 0). 例 2 求值: 27 ;
2 3

np

16

?

4 3



2 3 ? ( )?3 ; ( 25 ) 3 5 49

例 3 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b
2

* b;

(2) b

3

* 5 b3



(3)

3

b4 b

.

例 4 计算(式中字母均正) : (1) (3a
2 3

b )(?8a b ) ? (?6a b ) ;

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2) (m

1 4

n )

3 8 16

.

例 5 计算: (1)

a3 a * 3 a4
2 ? 3 5 10

(a ? 0) ;
1 2

(2) (2m (3) (
4

n ) ? (?m n ?3 )6 (m, n ? N ? )

16 ? 3 32) ? 4 64

1、

4

(?3)4
2

的值是 B、-3 C、 ? 3 D、81

A、3 2、化简 ( A、 ?b

?b )2
B、 b C、 ?b D、
1 b

3、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 a ? a ? a
m n m n

m n mn B、 a ? a ? a

C、 ? a ?

m n

? am?n

D、 1 ? a

n

? a 0? n

4、化简 27

?

2 3

=

.
3

m n 5、若 10 ? 2, 10 ? 4 ,则 10

3m ? n 2

=

.

1、 b 4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 2、计算

; b 3 ? a , 则 a 的 3 次方根为
3

( 2 3) 2 ;

3

43 ;

(?8) 3

3、求值: 4 (?7)4 ;

6

(3 ? ? )6 ;

(a ? b) 2 ( a ? b )

? 36 ? 2 ? ? ? 49 ?

3

4、用分数指数幂表示下列各式:
3

x

2

3

(m ? n)

2

( m ? n)

p q ( p ? 0)
6 5

m2 m

5、 ( n a ) n 、 n a 的意义及结果?

n

6、从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 中剩下的纯酒精的升数为多少?

1 1 升,然后用水填满,再倒出 升,又用水填满,这样进行 5 次,则容器 3 3

7、计算:

5

?32 ;

5

(?0.1) 5 ;

(? ? 4) 2 ;

2

3 ? 3 1.5 ? 6 12

1 1 2 ? ?1 ? ? 3 3? 2x 3 ? x ? 2 x ?2 ? ? ?

a 3b 2 3 ab2 ( a ? 0, b ? 0 ) 1 1 b (a 4 b 2 ) 4 ? 3 a

5? 2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2

6

( x ? y) 6 ( x ? y ) ;

4

复习 1:一般地,若 x n ? a ,则 x 叫做 a 的 像 a 的式子就叫做
( n a )n =
n

,其中 n ?1 , n ? ? ? .简记为: ; a mp =
np

.

,具有如下运算性质: ; an =
n

.

复习 2:整数指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ; (2) (a m )n ?



(3) (ab)n ?

.

分数指数幂
引例:a>0 时, 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 , 则类似可得
3 3 2 3 3
3
10

a12 ?
2 3

; .

a 2 ? (a ) ? a

,类似可得 a ?

1、将下列根式写成分数指数幂形式:
2

35 =
2


2

3

54 =


? 4

am =
2

(a ? 0, m ? N ? ) .

2、求值: 8 3 ;

55 ;

6 3;

a

?

5 2



27 3 ;

16 3 ;

?

4

3 ( )?3 ; 5

(

25 ? 2 ) 3. 49

3、用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b 2 ? b ; (2) b3 ?5 b3 ; (3) 3 b 4 b .

4、计算(式中字母均正) : (1) (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ;
2 1 1 1 1 5
1 3

(2) (m 4 n 8 )16 .

(3)

a3 a ?3 a 4

(a ? 0) ;

(4) (2m2 n 5 )10 ? (?m 2 n?3 )6 (m, n ? N ? ) ;

?

3

1

(5) ( 4 16 ? 3 32) ? 4 64 .

? 1 5、把 ? x 3 ?3 x ?2 ? ?

? 5 ? 化成分数指数幂. ? ?

?

8

6、计算: (1) 3 3 ?4 3 ?4 27 ;

8a3 4 ) (2) 6 ( 125b3
5

1、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 a m ? a n ? a n
3
m

B、 a m ? a n ? a mn

C、 ? a m ? ? a m ? n
n

D、 1 ? a n ? a 0 ? n

2、化简 25 2 的结果是 A、5 B、15 3、计算 ? ? 2 ? ? A、 2

C、25

D、125

?

?

?2

? 的结果是 ? ?

1 ? 2

B、 ? 2

C、

2 2

D、 ?

复习 1:像 n a 的式子就叫做
( n a )n =

2 2 ,具有性质:
.

; n an =

; a mp =

np

复习 2: ① an ? ② a r ?a s ? 复习 3:
( x ? 0) ? 时, n x n ?| x |? ?........... . ( x ? 0) ? ② 求下列各式的值:
m

;a

? ; (a r ) s ?

?

m n

.其中 a ? 0, m, n ? N * , n ? 1 ; (ab)s ? .

① n为

3
15

26 =
?32 =



4

16 =
4



6

81 =
6



6

(? 2 2) =
.





x8 =



a 2b4 =

1、已知 a 2 ? a 2 =3,求下列各式的值:立方和差公式 a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) . (1) a ? a ;
?1

1

?

1

(2) a ? a ;
2

?2

(3)

a2 ? a a ?a
1 2

3

? ?

3 2 1 2



变式:已知 a 2 ? a (1) a ? a
1 2 1 ? 2

1

?

1 2

? 3 ,求:



(2) a 2 ? a 2 .

3

?

3

2、化简: ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 ) .

1

1

1

1

3、已知 x+x-1=3,求下列各式的值. (1) x 2 ? x 2 ;
1 ? 1

(2) x 2 ? x 2 .

3

?

3

6

4、已知 f ( x) ? ? x , x1 ? x2 ? 0 ,试求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值.

立方和差公式: a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ;
a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) .

完全立方公式: (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ;
(a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

3

1、 9 2 的值为 A、 3 B、 3 3 2、
a3 a ?5 a 4

C、3

D、729

(a>0)的值是
1 17

A、1

B、a

C、 a 5

D、 a10

3、下列各式中成立的是 1 n A、 ( )7 ? n7 m7 m C、 4 x 3 ? y 3 ? ( x ? y ) 4 4、化简 (
3

B、 12 (?3)4 ? 3 ?3 D、 .
3

9 ?33

25 ? 3 ) 2= 4

2 1 1 1 1 1 5 5、化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) = 3

.

6、已知 x ? a ?3 ? b ?2 , 求 4 x2 ? 2a?3 x ? a ?6 的值。

7、探究: n an ? ( n a )n ? 2a 时, 实数 a 和整数 n 所应满足的条件。

7

二、指数函数及其性质

复习 1:其中 a (1) a ?
0

? 0, m, n ? N * , n ? 1
; (2) a
?n

?

; (3) a ?
m n

m n

;a

?

m n

?
?

. .

复习 2:有理指数幂的运算性质. (1) a
m

an ?

; (2) (a

) ?



(3) (ab)

n

A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分裂成 8 个,如此下去, 如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么?

B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为自变量, 残留量 y 的函数关系式是什么?

函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象:

1 y ? ( )x , 2

y ? 2x

根据图象归纳指数函数的性质 a>1 0<a<1

图 象 定义域:R 值域: (0,+∞) 性 质 过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

例 1、函数

f ( x) ? a x ( a ? 0, 且a ? 1 )的图象过点 (3, ? ) ,求 f (0) , f (1) , f (?3) 的值。
8

例 2、比较下列各组中两个值的大小: (1) 2
0.6

, 20.5 ;
,0.52.1


(2) 0.9 (4)

?2

,0.9?1.5



(3) 2.1

0.5

?

2? 3

与1 .

例 3、已知下列不等式,试比较 m、n 的大小: (1) (

2 m 2 ) ? ( )n ; 3 3

(2)

1.1m ? 1.1n .

例 4、比较大小: (1) a (2) 1
0

? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ;

, 0.4?2.5 , 2 ?0.2 , 2.51.6 .

,且 a? 1 ) 因 为 y ? ax ( a? 0 的定义域是 R,

所 以 y ? a f ( x) (a ? 0,且a ? 1) 的 定 义 域 与 f ( x) 定 义 域 相 同 . 而

y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的定义域,由 y ? ? (t ) 的定义域确定。

1、函数 A、1

y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为
B、2
x?2

C、1 或 2

D、任意值

2、函数 f(x)= a A、 (0,1) 3、指数函数①

?1

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 C、 (2,1)
x

B、 (0, 2)

D、 (2, 2)

f ( x) ? m x , ② g ( x) ? n 满足不等式 0 ? m ? n ? 1 ,则它们的图象是

9

4、比较大小: ( ?2.5) 5、函数 y ?

2 3

(?2.5)

4 5

. .

1 ( ) x ? 1 的定义域为 9

1
6、求函数 y=

5

x 1? x

?1

的定义域。

7、探究:在[m,n]上, f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域?
x

复习 1:指数函数的形式是 a>1 图 象

,其图象与性质如下 0<a<1

定义域: 性 质 值域: 过定点: 单调性: 复习 2:在同一坐标系中,作出函数图象的草图:

y ? 2x ,

1 y ? ( )x , 2

y ? 10x ,

1 y ? ( )x . 10

例 1、我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中国的人口
10

问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制 人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策. (1)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (2)从 2000 年起到 2020 年我国人口将达到多少?

例 2、2007 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来的多少倍?

指数函数增长模型. 设 原有量 N , 每 次的增 长 率为 p , 则经 过 x 次 增 长后 的总 量 y= . 我 们把 形如 y ? ka
x

(k ? R, a ? 0, 且a ? 1) 的函数称为指数型函数.
例 3 求下列函数的定义域、值域: (1)

y ? 2 ?1;
x

(2)

y ?3

5 x ?1

;

(3)

y ? 0.4

1 x ?1

.

例 4、求指数函数

y ? 2x

2

?1

的定义域和值域,并讨论其单调性。

形如 y ? a
x

f ( x)

(a ? 0,且a ? 1) 的函数值域的研究,先求得 f ( x) 的值域,再根据 a t 的单调性,列出简单的指
f ( x)

数不等式,得出所求值域,注意不能忽视 y ? a

? 0 . 而形如 y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的函数值域的研究,

易知 a ? 0 ,再结合函数 ? (t ) 进行研究。在求值域的过程中,配合一些常用求值域的方法,例如观察法、单调性 法、图象法等。

1、如果函数 y=ax (a>0,a≠1)的图象与函数 y=bx (b>0,b≠1)的图象关于 y 轴对称,则有 A、a>b B、a<b C、ab=1 D、a 与 b 无确定关系 2、函数 f(x)=3 x-1 的定义域、值域分别是 A、R, R ? B、R, (0, ??) C、R, ( ?1, ?? )


D、以上都不对

3、设 a、b 均为大于零且不等于 1 的常数,则下列说法错误的是 - A、y=ax 的图象与 y=a x 的图象关于 y 轴对称 - B、函数 f(x)=a1 x (a>1)在 R 上递减 C、若 a
2

>a

2 ?1

,则 a>1 ?
11

D、若 2 >1,则 x ? 1 4、比较下列各组数的大小:

x

2 ?1 ( )2 5

( (0 . ) 4 ;

?

3 2

3 0.76 ) 3

?0 . 7 5 ( 3) .

5、在同一坐标系下,函数 y=ax, y=bx, y=cx, y=dx 的图象如右图,则 a、b、c、d、 1 之间从小到大的顺序是 6、已知函数 f(x)=a-

2 (a∈R),求证:对任何 a ? R , f(x)为增函数。 2 ?1
x

7、求函数 y ?

2x ? 1 的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性. 2x ? 1

8、比较大小(规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式. ) (1) 1.7
2.5

,1.71.5

(2) 0.8

?1.1

,0.8 ?0.2

(3) 1.7

0.3

,0.9 0.1

(4)0.8-0.3 和 4.9-0.1

(5)0.90.3 和 0.70.4

9、设 0< a <1,解关于 x 的不等式 a

?3 x ?1

>a

2?5 x



10、讨论函数

y ? ax

2

?1

( a ? 0.且a ? 1 )的值域。

1、在同一坐标系中画函数的图象:

1 y ? ( )x 3

1 y ? ( )x 2

y ? 2x

y ? 3x

y ? 5x

12

函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系?可否由 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) x 的图象?

1 2

1 2

从画出的图象( y ? 2 、 y ? 3 和 y ? 5 )中,你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律?
x x x

2、根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质。 图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1
定义域: 值域: 奇偶性:

0 ? a ?1

向 x 轴正负方向无限延伸

函数图象都过定点 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的 图象纵坐标都小 于1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象下降趋势是 越来越缓慢。

a0 ? 1
减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

3、利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[m,n]上, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 (2)若



; ; ;

,则 f ( x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ?

x (3)对于指数函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ?

(4)当 a ? 1 时,若 当 0 ? a ? 1 时,若

,则 f (x1 ) ? f (x 2 ) ; ,则 f ( x1 )
f ( x2 )

4、人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关注.世界人口 2000 年大约是 60 亿,而且 以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿,大有“人口爆炸”的趋势. 为此,全球范围内敲起了人口警钟,并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要控制人口增长.为了 控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育.我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上, 却养育着 22%的世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达 到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策. ① 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? ② 到 2050 年我国的人口将达到多少? ③ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响?
13

三、对数与对数运算
复习 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (1)取 4 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?

复习 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? (只列式)

一般地,如果 a ? N ( a ? 0, a 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数
x
王新敞
奎屯 新疆

? 1) ,那么数

x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm).记作

x ? loga N
王新敞
奎屯 新疆



通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把常用对数 log10 N 简记为 lgN
新疆

科学技术中常用以无理数 e=2.71828??为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数 log e N 简记 作 lnN
王新敞
奎屯

(1)指数与对数间的关系: (2) log a 1 ? ,

a ? 0, a ? 1 时, a x ? N
.

?

.

log a a ?

例 1、下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1) 5
3

? 125



(2) 2

?7

?

1 ; 128

(3) 3

a

? 27 ;

(4) 10

?2

? 0.01 ;

(5)

log 1 32 ? ?5 ;
2

(6)lg0.001= ?3 ;

(7)ln100=4.606.

例 2、求下列各式中 x 的值: (1) log64

x?

2 3;

(2) log x

8 ? ?6 ;

(3) lg x
14

? 4;

(4)

ln e3 ? x .

例 3、求下列各式的值. (1) log5

25

; (2) log 2

1 16



(3) lg 10000.

(4)

loga an ? ?

(5)

a loga N ? ?

1、若 log 2 A、4

x ? 3 ,则 x ?
B、6 C、8 D、9

2、 log( n?1? n ) ( A、1 3、对数式

n ?1 ? n) =
C、2 D、-2

B、-1

log a ? 2 (5 ? a) ? b 中,实数 a 的取值范围是
B、(2,5) C、 (2, ??) . D、 (2,3) ? (3,5)

A、 (??,5) 4、计算: log

2 ?1

(3 ? 2 2) ?

5、若 log x ( 2 ? 1) ? ?1 ,则 x=________,若 log

2

8 ? y ,则 y=___________

1、将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式. (1) 3 ? 243 ;
5

(2) 2

?5

?

1 ; 32

(3) 4

a

? 30

(4) ( ) ? 1.03 ;
m

1 2

(5) log 1 16 ? ?4 ;
2

(6) log 2 128 ? 7 ;

(7) log3 27 ? a .

2、计算: (1) log9

27 ;

(2) log 3 243 ;

(3) log 4 3

81 ;

(4) log(2?

3)

(2 ? 3) ;

复习 1: (1)对数定义:如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做 (2)指数式与对数式的互化: a ? N ?
x

,记作

.

.
15

复习 2:幂的运算性质.
m n (1) a a ?
m n ; (2) (a ) ?

; (3) (ab)n ?

.

复习 3:根据对数的定义及对数与指数的关系解答:
m?n (1)设 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,求 a ; (2)设 log a M ? m , log a N ? n ,试利用 m 、 n 表示 log a ( M · N ) .

由 a p a q ? a p ? q ,探讨 loga MN 和 log a M 、 log a N 之间的关系: 设 log a M ? p , log a N ? q , 由对数的定义可得:M= a ,N= a
p q p?q ∴MN= a a = a , p q
王新敞
奎屯 新疆

∴ log a MN=p+q,即得 log a MN= log a M + log a N 根据上面的证明,可得出以下式子: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) log a (MN ) ? log a M ? log a N ; (2) loga

王新敞
奎屯

新疆

M ? loga M ? loga N ; N
n

(3) loga M ? n loga M (n ? R) .

例 1、用 log a

x , log a y , log a z 表示下列各式:
; (2) log a

xy (1) log a 2 z

x3 y
5

z

.

例 2、计算: (1) log5

25 ;

(2) log 0.4 1 ;

(3) log2 (4 ? 2 ) ;
8 5

9 (4)lg 100 .

根据对数的定义可推导换底公式 log a b ? log c b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .
log c a

例 2、设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 。

变式:已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b,用 a,b 表示 log 42 56.
16

7 例 3、计算: (1) lg14 ? 2lg ? lg 7 ? lg18 ; 3

(2)

lg 243 . lg 9

① 对数的换底公式 log a N ? ② 对数的倒数公式 log a b ?
n

log b N ; log b a

1 . log b a

③ 对数恒等式: logan N ? loga N , logam N n ?

n loga N , loga b logb c logc a ? 1 . m

1、下列等式成立的是 A、 log2 (3 ? 5) ? log 2 3 ? log 2 5 C、 log 2 (3 ? 5) ? log 2 3log 2 5 2、 5 A、-a
log5 ( ? a )2

B、 log 2 (?10) ? 2log 2 (?10)
2

D、 log 2 (?5)

3

? ? log 2 53

(a≠0)化简得结果是 B、a2 C、|a|

D、a

3、若 2lg A、

y?x
a

? y ? 2x ? ? lg x ? lg y ,那么
B、

y ? 2x
1 a 1 b

C、

y ? 3x

D、

y ? 4x
.

4、已知 3

? 5b ? m ,且 ? ? 2 ,则 m =
3 1 5 ? lg ? 5 2 3
.

5、计算: lg 6、计算: (1)

lg 27 ? lg 8 ? 3lg 10 ; lg1.2
2

(2) lg

2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 .
a

7、设 a 、 b 、 c 为正数,且 3

? 4b ? 6c ,求证: ?

1 c

1 1 ? . a 2b

复习 1:对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则
17

(1) log a ( MN ) ? M (2) log a ? N (3) log a M n ? 换底公式 log a b ? .

; ; .

复习 2:已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b,用 a,b 表示 log 42 56.

复习 3:1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口的年自然增长率控制在 1.25℅,问哪一年我国人口总数将超过 14 亿? (用式子表示)

例 1、 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等 级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M,其计算公式为: M ? l g A? l gA 0 ,其中 A 是被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震 仪距实际震中距离造成的偏差). (1) 假设在一次地震中, 一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20, 此时标准地震的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精确到 1)

例 2、当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时 间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系. 回答下列问题: (1)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学 过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系, 指出是我们所学过的何种函数? (3)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量的 76.7%,试推算古墓的年代?

例 3、计算: (1) 51? log0.2 3 ;

(2) log 4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32 .
2

18

例 4、我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多少年后我国的 GDP 在 2007 年的基础上翻两番?

在 给 定 区 间 内 , 若 函 数 f ( x) 的 图 象 向 上 凸 出 , 则 函 数 f ( x) 在 该 区 间 上 为 凸 函 数 , 结 合 图 象 易 得 到 x1 ? x 2 f ( x 1) ? f (x 2 ) ; f( )? 2 2 在 给 定 区 间 内 , 若 函 数 f ( x) 的 图 象 向 下 凹 进 , 则 函 数 f ( x) 在 该 区 间 上 为 凹 函 数 , 结 合 图 象 易 得 到 x ? x2 f ( x 1) ? f (x 2 ) . f( 1 )? 2 2

1、 5 A、-a

log5 ( ? a )2

(a≠0)化简得结果是 B、a2 C、|a|
1

D、a

2、若 log7[log3(log2x) ]=0,则 x 2 = A、3 B、 2 3 C、 2 2 3. 已知 3a ? 5b ? m ,且

D、 3 2

1 1 ? ? 2 ,则 m 之值为 a b A、15 B、 15 C、± 15 D、225 a 4、若 3 =2,则 log38-2log36 用 a 表示为 .
5、已知 lg 2 ? 0.3010 , lg1.0718 ? 0.0301 ,则 lg 2.5 ? ; 210 ?
1



ln ( l ) 0 e ? ; 1、四个等式: ① lg(lg10) ? 0 ; ②g ③若 lg x ? 10 , 则 x ? 10 ; ④若 ln x ? e , 则x ?e 。 其中正确的是 (
2



2、 log5 [log 4 (log3 81)] ? 3、将下列指数式写成对数式

;若 log 2 (log 3(log 5 x)) ? 0 ,则 x ?

.

54 ? 6 2 5

2 ?6 ?

1 64

3a ? 37

1 ( ) m ? 5.73 3

4、将下列对数式写成指数式

log 1 16 ? ?4
2

log ?7 21 2 8

log3 27 ? a

lg 0.01 ? ?2

5、求下列各式的值

log5 25
log 0.4 1

log 2

1 16

lg1000

lg 0.001

log15 15 log3 243

log9 81

log2.5 6.25

log7 343
19

6、设 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a

2m?n

的值。

7、设 A={0,1,2},B={ log a 1 , loga 2 , a },且 A=B,求 a 的值。

设 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,求 a

m? n



设 loga M ? m , loga N ? n ,试利用 m 、 n 表示 loga (M · N ) .

8、用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式

loga

xy ? z

log a

x2 y
3

z

?

用 lg x , lg y , lg z 表示下列格式

lg( xyz) ?

lg

xy 2 ? z

lg

xy 3 z

?

lg

x ? y z
2

9、计算:

lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 lg12 ? 1 (1) (2)2 (lg 2 ) 2 ? lg 2 lg 5 ? (lg 2 ) 2 ? 2 lg 2 ? 1

10、判断正误: (其中 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ) (1) loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ( ) (2) loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ( (3) loga (MN ) ? log a M ? log a N (4) loga M ? (loga M )
n n











(5) log2 (?3) ? log2 (?5) ? log2 15




20

11、证明:换底公式 loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a

利用换底公式推导下面的结论 (1) loga m b n ?

n loga b ; m

(2) loga b ?

1 . logb a

12、 已知 lg 2 ? 0.3010 , lg 3 ? 0.4771 , 试求: lg12 的值。

13、 试求: lg 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 的值。
2

14、 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12

x 设x, y, 均 为 实 数 ,3 且 ? 4y ,试 比 较 3x与4 y的 大 小

四、对数函数及其性质
复习 1:指数函数的图像及性质. a>1 图 象 0<a<1

(1)定义域: 性 (2)值域: 质 (3)过定点:
21

(4)单调性:

一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 域是(0,+∞).

y ? log a x 叫做对数函数(logarithmic function),自变量是 x;函数的定义

如 y ? 2log 2 x , y ? log5 (5 x) 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数。 1、同一坐标系中画出下列对数函数的图象.

y ? log 2 x ;

y?log 1 x.
2

2、根据图象,归纳出对数函数的性质。 a>1 图 象 0<a<1

(1)定义域: 性 (2)值域: 质 (3)过定点: (4)单调性:

例 1 求下列函数的定义域:
2 (1) y ? log3 x ;

(2) y ?

1 log2 (3 ? x) ;

变式:求函数

y ? log2 (3 ? x) 的定义域.

例 2、比较大小: (1) ln 3.4,

ln 8.5 ;

(2) log0.3 2.8, log 0.3 2.7 ;

(3) log a 5.1, log a 5.9 .

变式:已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n ; (2) log 0.3 m> log 0.3 n;
22

(3) log a m> log a n (a>1)

对数函数凹凸性:函数 f ( x) ? loga x, (a ? 0, a ? 1) , x1 , x2 是任意两个正实数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 当 a ? 1 时, ? f( 1 2); 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 当 0 ? a ? 1 时, ? f( 1 2). 2 2 1、当 a>1 时,在同一坐标系中,函数

y ? a ? x 与 y ? log a x 的图象是

2、函数 y ? 2 ? log 2 x ( x ≥1) 的值域为 A、 (2, ??) B、 (??, 2)

C、 ? 2, ?? ?

D、 ?3, ?? ?

3、不等式的 log 4 x ? A、 (2, ??) 4、比大小: (1)log 67

1 解集是 2
C、 ( , ??)

B、 (0, 2)

1 2

D. (0, )

1 2

log 7 6 ;

(2)log 31.5

log 2 0.8. .

5、函数 y ? log ( x-1) (3 - x) 的定义域是 6、右图是函数

y ? log a1 x ,y ? log a2 x ,y ? log a3 x ,y ? log a4 x 的图象,
.

则底数之间的关系为

7、比较下列各题中两个数值的大小. (1) log 2 3和 log 2 3.5 ; (3) log0.7 1.6和 log 0.7 1.8 ; (2) log 0.3 4和 log0.2 0.7 ; (4) log 2 3和 log 3 2 .

8、求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (3x ? 5) ;

y? (2)

1
3

log 2 x ? 1

复习 1:对数函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 图象和性质. a>1 0<a<1

23

图 象

(1)定义域: 性 质 (2)值域: (3)过定点: (4)单调性: 复习 2:比较两个对数的大小. (1) log10 7 与 log10 12 ; (2) log0.5 0.7 与 log0.5 0.8 .

复习 3:求函数的定义域. (1) y ?

1 ; 1 ? log 3 2 x

(2) y ? log a (2 x ? 8) .

探究:反函数 问题:如何由 y ? 2 求出 x?
x

反思:函数 x ? log 2 y 由 y ? 2 解出,是把指数函数 y ? 2 中的自变量与因变量对调位置而得出的.
x
x

习惯上我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写为 y ? log 2 x . 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把这个函数的自变量新的函 数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function) 。 如:指数函数

y ? 2 x 与对数函数 y ? log 2 x 互为反函数.
y ? 2 x 及其反函数 y ? log 2 x 图象,发现什么性质?

在同一平面直角坐标系中,画出指数函数

(1)如果 P0 ( x0 , y0 ) 在函数

y ? 2 x 的图象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y ? log 2 x 的图象上吗?

(2)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两个函数的图象关于___________对称。

例 1、溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计算公式 pH ? ? lg[ H ? ] , 其中 [ H ? ] 表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系?
24

(2)纯净水 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升,计算其酸碱度。

例 2、求函数

f ( x) ? log 2 ( x ?1) 的单调性。

变式:函数

f ( x) ? log 1 (? x ? 1) 的单调性是__________________
2

例 3、己知函数

f ( x) ? a x ? k 的图象过点(1,3)其反函数的图象过点

(2,0) ,求 f ? x ? 的表达式。

函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的任意一个自变量 x 的值,y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调 函数,反之对应任意 y 值,x 也都有惟一的值和它对应,从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值 域,反函数的值域是原函数的定义域,即互为反函数的两个函数,定义域与值域是交叉相等。

1、函数

y ? log 0.5 x 的反函数是
B、 y ? log 2 x C、

A、 y ? ? log0.5 x
x

y ? 2x

D、 y ? ( )

1 2

x

2、函数 y ? 2 的反函数的单调性是 A、在 R 上单调递增 B、在 R 上单调递减 C、在 (0, ??) 上单调递增 3、函数 y ? x ( x ? 0) 的反函数是
2

D、在 (0, ??) 上单调递减

A、 y ? ? x ( x ? 0) C、 y ? ? x ( x ? 0)
x

B、 y ? D、

x ( x ? 0)

y?? x
.

4、函数 y ? a 的反函数的图象过点 (9, 2) ,则 a 的值为

5、现有某种细胞 100 个,其中有占总数

1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞,按这种规律 2 10 发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 10 个?(参考数据: lg 3 ? 0.477,lg 2 ? 0.301 )

25

1、在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (1) y ? log2 x (2) y ? log 1 x
2

(3) y ? log3 x (4) y ? log1 x
3

2、研究对数函数的性质并填写如下表格: 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1
函数图象都

a ?1

0 ? a ?1
函数的定义域为 非奇非偶函数 函数的值域为

图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向 函数图象都过定点 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象纵 坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 3、已知 loga (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围.

1? ? 1
减函数

x ? 1, loga x ? 0 x ? 1, loga x ? 0

4、求函数定义域

y ? log5 (1 ? x)

y?

1 log2 x

y ? log7

1 1 ? 3x

y ? log3 x

26

5、比较数值大小 log10 6 与 log10 8 , log0.5 6 与 log0.5 4 , log 2 0.5 与
3

log 2 0.6 , log1.5 1.6 与 log1.5 1.4
3

6、函数 y ? loga x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值;

7、求函数 y ? log3 ( x 2 ? 6x ? 10) 的最小值.

8、已知函数 f ( x) ?

1 1? x ,求函数 f ( x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性。 ? log2 x 1? x

9、由对数函数的定义可知,对数函数 y ? log2 x 是把指数函数 y ? 2 中的自变量与因变量对调位置而得出的,
x

在列表画 y ? log2 x 的图象时,也是把指数函数 y ? 2 的对应值表里的 x 和 y 的数值对换,而得到对数函数
x

y ?log 2 x 的对应值表,如下:
表一

y ? 2 x .在同一坐标系中,用描点法画出图象.

x

? ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

y
表二

y ?log 2 x.

x

? ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

y

材料一:反函数的概念: 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为 新的函数的因变量, 我们称这两个函数互为反函数. 由反函数的概念可知, 同底数的指数函数和对数函数互为反函数. 材料二:以 y ? 2 与 y ? log2 x 为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系?(从定义域,
x

值域,单调性) 10、求下列函数的反函数: (1) y ? 3 ;
x

(2) y ? log6 x
27

11、已知函数 f ( x) ? a x ? b 的图像经过点(1,3) ,且它的反函数 f-1(x)的图像过点(2,0) ,求 f(x).

12、求函数 y ? x

3

(x∈R)的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图象.

复习 1:对数函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 图象和性质. a>1 图 象 (1)定义域: 性 质 (2)值域: (3)过定点: (4)单调性: 复习 2:根据对数函数的图象和性质填空. ① 已知函数 y ? log 2 x ,则当 x ? 0 时, y ? 当 0 ? x ? 1时, y ? ;当 x ? 4 时, y ? ② 已知函数 y ? log 1 x ,则当 0 ? x ? 1时, y ?
3

0<a<1

;当 x ? 1 时, y ? . ;当 x ? 1 时, y ? ;当 y ? 2 时, x ?

; ; .

当 x ? 5 时, y ?

;当 0 ? x ? 2 时, y ?

例 1、判断下列函数的奇偶性. 1? x (1) f ( x) ? log ; 1? x (2) f ( x) ? ln( 1 ? x2 ? x) .

例 2、证明函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 1) 在 (0, ??) 上递增.

变式:函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 1) 在 (??,0) 上是减函数还是增函数?

例 3、求函数 f ( x) ? log0.2 (?4 x ? 5) 的单调区间.

28

变式:函数 f ( x) ? log 2 (?4 x ? 5) 的单调性是

.

例 4、比较大小: (1) loga ? 和loga e (a ? 0且a ? 1) ; 1 (2) log2 和log2 (a2 ? a ? 1) (a ? R) . 2 例 5、已知 log a (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围.

1、函数 y ? log a x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值.

2、求函数 y ? log3 ( x2 ? 6 x ? 10) 的值域.

复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,遵循一般步骤和结论,即:分别求出 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x ) 两个函数的单调性, 再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函数,则复合后结果为增函数;若 两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减” ,我们可以抓住 “x 的变化→ u ? ? ( x) 的变化→ y ? f (u ) 的变化”这样一条思路进行分析

3、下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是 A、 y ? x 2 B、 y ?

x2 x

C、 y ? aloga x (a ? 0且a ? 1)

D、 y ? loga a x

4、函数 y ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是
2

A、 [1, ?? )

2 B、 ( , ??) 3

2 C、 [ ,1] 3

2 D、 ( ,1] 3

5、若 f (ln x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) 的表达式为 A、 3ln x B、 3ln x ? 4 C、 3e x D、 3e x ? 4 . .

6、函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 8) 的定义域为

,值域为

7、将 0.32 , log 2 0.5 , log 0.5 1.5 由小到大排列的顺序是

29

五、幂函数
复习 1:求证

y ? x3 在 R 上为奇函数且为增函数.

复习 2:1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口年平均增长率为 x%,2008 年底世界人口数为 y(亿) ,写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底世界人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式.

分析以下五个函数,它们有什么共同特征? 2 (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a , S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a 3 , V 是 a 的函数; ?1 (4)某人 t S 内骑车行进了 1km,则他骑车的平均速度 v ? t km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数。
1

一般地,形如

y ? x? 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ?

为常数.

判断下列函数哪些是幂函数. ①

y?

1 ; x

② y ? 2x ;
2

③ y ? x ? x;
3



y ?1 .

作出下列函数的图象: (1)

y?x;

?1 (2) y ? x 2 ; (3) y ? x ; (4) y ? x ; (5)

1

2

y ? x3 .

观察图象,总结填写下表:

y?x
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

幂函数的的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0, ??) 上是增函数. 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸;
30

(3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0, ??) 上是减函数.在第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋 于 ?? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.



1







f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性.

例 2、比较大小: (1) (a ? 1) 与 a
1.5
1.5

(a ? 0) ; (2) (2 ? a )
2

?

2 3

与2

?

2 3

; (3) 1.1 2 与 0.9

?

1

?

1 2

.

幂函数 y ? x 的图象, 在第一象限内, 直线 x ? 1 的右侧, 图象由下至上, 指数 ? 由小到大. y 轴和直线 x ? 1 之 间,图象由上至下,指数 ? 由小到大. 1、若幂函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上是增函数,则 A、 ? >0 B、 ? <0 C、 ? =0 D、不能确定
?

?

2、函数 y ? x 3 的图象是

4

A 3、若 a ? 1.1 , b ? 0.9 A. a <l< b
1 2

B
1 ? 2

C

D

,那么下列不等式成立的是 C. b <l< a
1 2

B.1< a < b
1 2

D.1< b < a

4、比大小: (1) 1.3 _____1.5 ;

?2 ?2 (2) 5.1 ______ 5.09 .

5、已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为 6、判断下列函数那些是幂函数?
1

.

(1) y ? 0.2

x

(2) y ? x 5

(3) y ? x

?3

(4) y ? x

?2

31

7、在坐标系内画出函数 y ? x, y ? x , y ? x
2

?1

y ? x , y ? x 的图象。
3

1 2

1

观察函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x 2 , y ? x ?1 的图象,将你发现的结论写在下表内。

y?x
定义域 值域 奇偶性 单调性

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

1

根据上表内容结合图象,试总结函数: y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x 2 的共同性质。 归纳:当 ? ? 0 时,

当 ? ? 0 时, 。

【例 1】求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性。 (1) y ? x
2 3

(2) y ? x

?

3 2

(3) y ? x

?2

【例 2】比较下列各组数中两个值的大小(在横线上填上“<”或“>” ) (1) 3.14 _______ ?
1 2 1 2
?1

(2) (?0.38) _______ ?? 0.39?
3

3

(3) 1.25?1 _______ 1.22

(4) ( )

1 3

?0.25

_________ ( )

1 3

?0.27

1、下列函数中,是幂函数的是 A、 y ? 2 x B、 y ? 2 x
3

C、 y ?

1 x

D、 y ? 2

x

2、下列结论正确的是 A、幂函数的图象一定过原点
? B、当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 是减函数 ? C、当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 是增函数

D、函数 y ? x 既是二次函数,也是幂函数
2

32

3、下列函数中,在 ?? ?,0? 是增函数的是
3 A、 y ? x
2 B、 y ? x

C、

y?

1 x

3 2 D、 y ? x

4、已知某幂函数的图象经过点 (2, 2 ) ,则这个函数的解析式为_____________ 5、写出下列函数的定义域,并指出它们的单调性:
1

(1) y ? x

4

(2) y ? x 4

(3) y ? x

?3

基本初等函数(复习)
指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质 指数函数 名称 一般形式 定义域 值域 当 a ?1时 当a ?1时

对数函数

y ? a x (a ? 0, 且a ? 1)

y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1)

a x ? 1 ? _____ a x ? 1, x ? 0 a x ____ ? x ? 0
函数 值变 化情 况 当 0 ? a ? 1时

loga x ____ ? x ? 1 loga x ? 0 ? _______

loga x ? 0 ? ________
当 0 ? a ? 1时

a x ____ ? x ? 0 a x ? 1, x ? 0 a x ? 1 ? _______

loga x ? 0 ? ______ loga x ? 0 ? _______

loga x ____ ? 0 ? x ? 1

当 a ? 1 时, y ? a 是增函数
x

当 a ? 1 时, y ? log a x 是增函数 当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 是减函数

单调性 当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数
x

图像

y ? a x 的图像与 y ? loga x 的图像关于 y ? x 对称

幂函数的的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0, ??) 上是增函数.
33

(3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0, ??) 上是减函数.

特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸;

例 1、求下列函数的定义域:

1 ( )x ? 1 ; 2 1 (2) f ( x) ? ; log2 ( x ? 1) ? 3
(1) y ? (3) f ( x) ? log (2 x ?1) 3x ? 2 .

例 2、讨论函数

1 2 y ? ( ) x ?3 x ? 2 的单调性,并求其值域。 2

例 3、已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在 (??,0] 上是减函数,若

1 f ( ) ? 0 ,求不等式 f ? log 4 x ? ? 0 的解集。 2

例 4、已知

f ( x) ? log a

1? x (a ? 0且a ? 1) 1? x

(1)求 f ( x ) 的定义域 (2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围

1、图象平移变换: ① 水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左或右平移 a 个单位得到。 ② 竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上或向下平移 b 个单位而得到。 2、图象翻折变换: ① y=f(|x|)的图象在 y 轴右侧(x>0)的部分与 y=f(x)的图象相同,在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y 轴对称. ② y=|f(x)|的图象在 x 轴上方部分与 y=f(x)图象相同,其他部分图象为 y=f(x)图象下方部分关于 x 轴的对称图形.

1、函数

y ? 2? x

2

?3 x ? 2

的单调递增区间为
34

3 3 3 ) B、 ( , ??) C、 (??, ? ) 2 2 2 x 2、设 f (log 2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 f (3) 的值是
A、 (??, A、128 B、256
2

D、 (? , ??)

3 2

C、512

D、8

3、函数 y ? log 2 ( x ? x ? 1) 的奇偶性为 A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数 4、函数

y ? x?2 在区间 [ 1 , 2] 上的最大值是
2
x

.

5、若函数 y ? (log 1 a) 为减函数,则 a 的取值范围是
2

.

六、方程的根与函数的零点
观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数:
2 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

2 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

2 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

在下面坐标系中作出上述二次函数的图象,并解出的方程根)试说明方程的根与图象与 x 轴交点的关系。

利用上述关系,说明一般的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根及其对应的二次函数
2

35

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象有怎样的关系?

利用以上两个问题的的发现,试总结函数 y ? f ( x) 零点的定义,并说明函数 y ? f ( x) 的零点,方程 f ( x) ? 0 实数根,函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标的关系?

1、观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象 ,完成下面各小题。 在区间 [ ?2,1] 上有零点_____; f (?2) ? _____, f (1) ? ______, f (?2) · f (1) ____0(<或>) . 在区间 [2,4] 上有零点______; f ( 2) · f ( 4) ____0(<或>) . 2、观察下面函数 y ? f ( x) 的图象(如图),完成下面各小题。 (1) 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点;

f (a ) · f (b) _____0(<或>) .

(2) 在区间 [b, c] 上_____(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>) . (3) 区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f ( d ) _____0(<或>) . (4) 区间 [a, d ] 上___ (有/无)零点;有 个零点; f (a) · f (d ) ___0(<或>) .

根的存在性定理:

在根的存在性定理中只须加入什么条件,零点的个数就是唯一的?

求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数.

1、利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (4) 5 x ? 2 x ? 3x ? 5 .
2 2

(3) x ? 4 x ? 4 ;
2

36

2、利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5 ; (3) f ( x) ? e x?1 ? 4 x ? 4 ; (2) f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ; (4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x .

七、方程的根与函数的零点

复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法.判别式 ? = 当? 0,方程有两根,为 x1,2 ? ; 当? 当? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实根. ;

.

复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什么关系?

判别式

一元二次方程

二次函数图象

??0

??0

??0

一、函数零点与方程的根的关系 ① 方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 ② 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解为
2

,函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有 ,函数 y ? x ? 2 x ? 1的图象与 x 轴有
2

个交点,坐标为 个交点,坐标为 个交点, 坐标为 .

. .

③ 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 根据以上结论,可以得到:
2

, 函数 y ? x ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有
2

37

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的图象与 x 轴交点的 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point). 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标,三者有什么关系? 函数 y ? x2 ? 4x ? 4 的零点为 函数 y ? x ? 4x ? 3 的零点为
2

.

; .

方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.

二、零点存在性定理 (1)作出 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

(2)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象,

在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上

零点; f (a )?f (b) 零点; f (b)?f (c) 零点; f (c)?f (d )

0; 0; 0.

如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a )?f (b) <0,那么,函数 y ? f ( x) 在 区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

例 1、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

变式:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象 联系起来,并利用函数的性质找出零点.

例 2、求下列函数的零点: (1) y ? x2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ( x ? 1)( x2 ? 3x ? 1) .
38

例 3、求函数 y ? 2 x ? 3 的零点所在的大致区间。

图象连续的函数的零点的性质: (1)函数的图象是连续的,当它通过零点时(非偶次零点) ,函数值变号。 推论:函数在区间 [a, b] 上的图象是连续的,且 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上至少有一个零点。 (2)相邻两个零点之间的函数值保持同号。

1、函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的零点个数为 A、1 B、2 C、3 D、4

2、若函数 f ( x) 在 ? a, b? 上连续,且有 f (a)?f (b) ? 0 .则函数 f ( x) 在 ? a, b? 上 A、一定没有零点 C、只有一个零点 B、至少有一个零点 D、零点情况不确定

3、函数 f ( x) ? e x ?1 ? 4x ? 4 的零点所在区间为 A、 ( ?1, 0) B、 (0,1) C、 (1, 2) 4、函数 y ? ? x2 ? x ? 20 的零点为 .

D、 (2,3)

5、若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点.则 f ( x) 的零点个数为 6、求函数 y ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 的零点所在的大致区间,并画出它的大致图象。

.

7、已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 。 (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 值。

八、用二分法求方程的近似解

39

复习 1:什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理? 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点. 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴 ? 函数 y ? f ( x) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 区间 (a, b) 内有零点。

. ,那么,函数 y ? f ( x) 在

有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要求次数越少越好。 解法: 第一次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球。 对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a )?f (b) <0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)。 给定精度ε ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤: ① 确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ② 求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③ 计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④ 判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④。

例 1 、利用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解。

变式:求方程 2 x ? 3x ? 7 的根大致所在区间.

例 2、求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区间。

例 3、求函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个正数零点(精确到 0.1 ) 零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

40

例 4、用二分法求 3 3 的近似值。

1、若函数 f ( x) 在区间 ? a, b? 上为减函数,则 f ( x) 在 ? a, b? 上 A、至少有一个零点 B、只有一个零点 C、没有零点 D、至多有一个零点 2、下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是

3、函数 f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为 A、 (2,3) B、 (3, 4) C、 (4,5) D、 (5, 6) 4、用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间[2,3]内的实根,算得 f (2) ? ?1 , f (3) ? 16 , f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为 . 5、函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 7 的零点个数为 ,大致所在区间为 .

6、求方程 0.9 x ? 0.1x ? 0 的实数解个数及其大致所在区间。

7、用二分法求函数 f ( x) ? x3 ? 2 的零点(精确到 0.01).

九、函数与方程

复习 1:函数零点存在性定理。
41

如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:二分法基本步骤。 ① 确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ② 求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③ 计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ;

,那么,函数 y ? f ( x) 在

若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④ 判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④.

例 1、已知 f ( x) ? 2 ? log3 x (1 ? x ? 9) ,判断函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x2 ) 有无零点?并说明理由。

例 2、若关于 x 的方程 x2 ? 6x ? 8 ? a 恰有两个不等实根,求实数 a 的取值范围。

例 3、试求 f ( x) = x 3 ? 8 x ? 1 在区间[2,3]内的零点的近似值,精确到 0.1。

1、已知函数 f ? x ? ? e x ?1 ? 4, g ? x ? ? 4 x ,两函数图象是否有公共点?若有,有多少个?并求出其公共点的横坐标. 若没有,请说明理由。

2、用二分法求方程在精确度 ? 下的近似解时,通过逐步取中点法,若取到区间 ? a, b ? 且 f (a)?f (b) ? 0 ,此时不满

a?b ,有 f (a)?f (c) ? 0 ,此时 a ? c ? ? ,而 a , b, c 在精确度 ? 下的近似值分 2 别为 x1 , x2 , x3 (互不相等).则 f ( x) 在精确度 ? 下的近似值为
足 a ? b ? ? ,通过再次取中点 c ? A、 x1 B、 x 2 C、 x 3 D、 ?

3、已知 x1 , x2 是二次方程 f ( x) 的两个不同实根, x3 , x4 是二次方程 g ( x) ? 0 的两个不同实根,若 g ( x1 )?g ( x2 ) ? 0 ,则 A、 x1 , x 2 介于 x3 和 x 4 之间 C、 x1 与 x 2 相邻, x3 与 x 4 相邻 B、 x3 , x 4 介于 x1 和 x 2 之间 D、 x1 , x 2 与 x3 , x 4 相间相列

若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点;若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 二分法的条件 f (a)?f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.
42

4、若 y ? f ( x) 的最小值为 2,则 y ? f ( x) ? 1 的零点个数为 A、0 B、1 C、0 或 l D、不确定

5、若函数 f ( x) 在 ? a, b? 上连续,且同时满足 f (a)?f (b) ? 0 , f (a)?f (

a?b ) ? 0 .则 2

a?b ] 上有零点 2 a?b C、 f ( x) 在 [a, ] 上无零点 2
A、 f ( x) 在 [a, 6、方程 | x2 ? 2 |? lg x 的实数根的个数是 A、1 B、2 C、3

a?b , b] 上有零点 2 a?b D、 f ( x ) 在 [ , b] 上无零点 2
B、 f ( x ) 在 [

D、无数个 . .

7、方程 2 x ? x ? 4 的一个近似解大致所在区间为

8、下列函数:① y= lg x ; ② y ? 2 x ; ③ y= x2;④ y= |x| -1. 其中有 2 个零点的函数的序号是 9、已知 f ( x) ? 2 ? 2 x ? x ,
2

(1)如果 g ( x) ? f (2 ? x2 ) ,求 g ( x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) 的零点大致所在区间。

10、探究函数 y ? 0.3x 与函数 y ? log0.3 x 的图象有无交点,如有交点,求出交 点,或给出一个与交点距离不超过 0.1 的点。

十、几类不同增长的函数模型
阅读:澳大利亚兔子数“爆炸” 有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子, 由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数 量达到 75 亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大 降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五 十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.

例 1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

43

例 2、某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加但奖金不超过 5 万 元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型: y ? 0.25 x ; y ? log7 x ? 1 ; y ? 1.002 x . 问:其中哪个模型能符合公司的要求?

例 3、某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与 净化时间 t(月)的近似函数关系: y ? a t (t≥0,a>0 且 a≠1).有以下叙述 1 ① 第 4 个月时,剩留量就会低于 ; 5 ② 每月减少的有害物质量都相等; 1 1 1 ③ 若剩留量为 , , 所经过的时间分别是 t1 , t2 , t3 ,则 t1 ? t2 ? t3 。 2 4 8 其中所有正确的叙述是

y 1

4 (2, ) 9
1 2 3 4

O
f ? n? ?

t(月)

例 4、经市场调查分析,某地明年从年初开始的前 n 个月,对某种商品需求总量 f ? n ? (万件)近似地满足关系

1 n 个月这种商品需求量 g ? n ? (万件)与月份 n 的函数关系式。 n ? n ? 1?? 3 5 ? n 2?? n ? 1 , 2 ? , 3 , ? .写出明年第 ,12 150

解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.

1、某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个??,现有 2 个这样的细胞, 分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为 A、 y ? 2 x ?1 B、y=2 x ?1 C、y=2 x D、 y=2x 2、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建 立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用
44

A、一次函数

B、二次函数

C、指数型函数

D、对数型函数

3、一等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是关于腰长 x 的函数,它的解析式为 A、y=20-2x (x≤10) B、 y=20-2x (x<10) C、y=20-2x (5≤x≤10) D、 y=20-2x(5<x<10) 4、某新品电视投放市场后第 1 个月销售 100 台,第 2 个月销售 200 台,第 3 个月销售 400 台,第 4 个月销售 790 台,则销量 y 与投放市场的月数 x 之间的关系可写成 . 5、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作时,这 台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算机. 现在 10 台计算机在第 1 轮病毒发作时被感染,问在第 5 轮病 毒发作时可能有 台计算机被感染. (用式子表示) 6、某服装个体户在进一批服装时,进价已按原价打了七五折,他打算对该服装定一新价标在价目卡上,并注明按 该价 20%销售. 这样,仍可获得 25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

复习 1:用石板围一个面积为 200 平方米的矩形场地,一边利用旧墙,则靠旧墙的一边长为___________米时, 才能使所有石料的最省。 复习 2:三个变量 y1 , y2 , y3 随自变量 x 的变化情况如下表: x 1 3 5 7 9 11 y1 y2 y3 5 5 5 135 29 6.1 625 245 6.61 1715 2189 6.95 3645 19685 7.20 6633 177149 7.40

其中 x 呈对数型函数变化的变量是_____, 呈指数型函数变化的变量是______, 呈幂函数型变化的变量是______.

一、幂、指、对函数的增长差异 幂函数 y ? xn (n ? 0) 、指数函数 y ? a x (a ? 1) 、对数函数 y ? log a x(a ? 1) 在区间 (0, ??) 上的单调性如何?增长有 差异吗?

函数 y1 ? 2x , y2 ? x2 , y ? log 2 x ,试计算:

x
y1 y2 y3

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

1.58

2

2.32

2.58

2.81

3

由表中的数据,你能得到什么结论?

45

在区间 (0, ??) 上,尽管 y ? a x (a ? 1) , y ? log a x(a ? 1) 和 y ? xn (n ? 0) 都是增函数,但它们的增长速度不同,而 且不在同一个“档次”上,随着 x 的增大, y ? a x (a ? 1) 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? xn (n ? 0) 的增 长速度.而 y ? log a x(a ? 1) 的增长速度则越来越慢.因此,总会存在一个 x0 ,当 x ? x0 时,就有 loga x ? xn ? a x .

例 1、某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估计以后每个月 的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数可以选用二 次函数或函数 y ? ab x ? c(其中a, b, c为常数) . 已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模 拟函数较好,并说明理由.

例 2、为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 1 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y ? ( )t ?a (a 为常数) ,如图所示, 16 根据图中提供的信息,回答下列问题: (1) 从药物释放开始, 每立方米空气中的含药量 ( y 毫克) 与时间 (小时) t 之间的函数关系式为 . (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开始, 至少需要经过 小时后,学生才能回到教室。

例 3、某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场决定提高销售价格. 经试 验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件,若按 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件,假定每 月销售件数 y(件)是价格 x(元/件)的一次函数。 (1)试求 y 与 x 之间的关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能时每月获得最大利润? 每月的最大利润是多少?

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在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中,常常要制订最优化方案,优选学是 研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法. 它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中, 几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域 . 中国数学家华罗庚在推广优选方法的理论研究和开发研究工作中付出 巨大贡献。

1、某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物,生产了一段时间后,由于订货商想再多订一些,但供货时间 不变,该工厂便组织工人加班生产,能反映该工厂生产的货物数量 y 与时间 x 的函数图象大致是

2、下列函数中随 x 增大而增大速度最快的是 A、 y ? 2007 ln x B、 y ? x 2007 C、 y ?

ex 2007

D、 y ? 2007 ? 2x

3、根据三个函数 f ( x) ? 2x, g ( x) ? 2x , h( x) ? log 2 x 给出以下命题: (1) f ( x), g ( x), h( x) 在其定义域上都是增函数; (2) f ( x) 的增长速度始终不变; (3) f ( x) 的增长速度越来越快; (4) g ( x) 的增长速度越来越快; (5) h ( x ) 的增长速度越来越慢。 其中正确的命题个数为 A、2 B、3 C、4 D、5 4、当 2 ? x ? 4时, log 2 x, 2 x , x2 的大小关系是 .

5、某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是 1.10 元;如果自己生产,则每月 的固定成本将增加 800 元,并且生产每个配件的材料和劳力需 0.60 元,则决定此配件外购或自产的转折点 是 件(即生产多少件以上自产合算)

6、某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个定价为 5 元,该店推出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; (2)按总价的 92%付款. 某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干(不少于 4 个) ,若需茶杯 x 个,付款数为 y(元) ,试分别建立两种优惠办法 中 y 与 x 的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算。

十一、函数模型的应用实例
复习 1:某列火车众北京西站开往石家庄,全程 253km,火车出发 10min 开出 13km 后,以 120km/h 匀速行驶。 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并求火车离开北京 2h 内行驶的路程。
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复习 2:一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v 与时间 t 的关系如图所示,则该汽车在前 3 小时内行驶的路程 为_________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2006km,那么在 t ? [1, 2] 时,汽 车里程表读数 S 与时间 t 的函数解析式为__________

例 1、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如右图: (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际意义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试 建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 S 和时间 t 的函数解析式.

变式:某客运公司定客票的方法是:如果行程不超过 100km ,票价是 0.5 元/ km ,如果超过 100km ,则超过 100km 的部分按 0.4 元/ km 定价. 则客运票价 y 元与行程公里 x km 之间的函数关系是 . 例 2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据. 早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯(1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型: y ? y0ert ,其中 t 表示经过的时间, y 0 表示 t ? 0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率。下表是 1950~1959 年我国的人口数 据资料: (单位:万人) 1950 1951 1952 1953 1954 年份 人数 年份 55196 1955 56300 1956 57482 1957 58796 1958 60266 1959

62828 64563 65994 67207 人数 61456 (1)若以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿?

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1、某书店对学生实行促销优惠购书活动,规定一次所购书的定价总额: ① 如不超过 20 元,则不予优惠; ② 如超过 20 元但不超过 50 元,则按实价给予 9 折优惠; ③ 如超过 50 元,其中少于 50 元包括 50 元的部分按②给予优惠,超过 50 元的部分给予 8 折优惠. (1)试求一次购书的实际付款 y 元与所购书的定价总额 x 元的函数关系; (2)现在一学生两次去购书,分别付款 16.8 元和 42.3 元,若他一次购买同样的书,则应付款多少? 比原来分两次购书优惠多少?

2、在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势. 设某服装开始时定价为 10 元,并且 每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均每周降价 2 元,直 到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系; (2) 若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式为 Q ? ?0.125(t ? 8)2 ? 12, t ??0,16?, t ? N , 试问该服装第几周每件销售利润最大?

英国物理学家和数学家牛顿( Issac Newton, 1643-1727 年)曾提出物体在常温环境下 温度变化的冷却模型 : ? ? ?0 ? (?1 ? ?0 )? e?kt ,其中 t 表示经过的时间, ? 1 表示物体的初始温度, ? 0 表示环境稳定,k 为正的常数.

3、按复利计算,若存入银行 5 万元,年利率 2%,3 年后支取,则可得利息(单位:万元) 为 A、5(1+0.02) 3 B、5(1+0.02) 2 C、5(1+0.02) 3 -5 C、5(1+0.02) 2 -5 4、x 克 a%盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变为 c%,则 x 与 y 的函数关系式为 c?a c?a a?c b?c A、y= x B、 y= x C、 y= x D、 y= x c?b b?c b?c c?a 5、A、B 两家电器公司在今年 1—5 月份的销售量如下图所示,
(万台) 100 80 60 40 20 1 2 3 4 A B

5 (月)

则 B 相对于 A 其市场份额比例比较大的月份是 A、2 月 B、3 月 C、4 月 D、5 月 6、拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1.06(0.5×[m]+1)元给出,其中 m>0,[m]是大于或等 于 m 的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4) ,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的话费为 元. 7、已知镭经过 100 年,质量便比原来减少 4.24%,设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y ,则 y ? f ( x) 的 函数解析式为 . 8、经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t ( d )的函数,且销售量近似地满足 1 109 1 ( 1 ? t ? 100 , t ? N ) ;前 40 天价格为 f (t ) ? t ? 22 ( 1 ? t ? 40 , t ? N ) ,后 40 天的 g (t ) ? ? t ? 3 3 4 t 价格为 f (t ) ? ? ? 52 ( 41 ? t ? 100 , t ? N ) ,试写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系. 2
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阅读:2003 年 5 月 8 日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目, 马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于 5 月 19 日初步完成了第一批成果,并制成了要供决策部门参考的应用软件. 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指出,将患者 及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说,就全国而论,非典病人延迟隔离 1 天,就医人数将增加 1000 人左 右,推迟两天约增加 100 人左右;若外界输入 1000 人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数 100 人左 右;若 4 月 21 日以后,政府采取隔离措施,则高峰期病人人数将达 60 万人. 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型, 并对非典未来的流行趋势做了分析预测. 例 1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元. 销售单价与日均销 售量的关系如下表所示: 6 7 8 9 10 11 12 销售单价/元 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

变式:某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租金,如果 每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天 客房的租金总收入最高?

例 2、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表(身高:cm;体重:kg) 60 70 80 90 100 110 身高 12.1 6.13 7.90 9.99 15.02 17.50 体重 5 120 130 140 150 160 170 身高 38.8 20.92 26.86 31.11 47.25 55.05 体重 5 (1)根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为 175cm , 体重 78kg 的在校男生的体重是否正常?

50

根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程:收集数据→画散点图→选择函数模型 →求函数模型→检验→符合实际,用函数模型解释实际问题;不符合实际,则重新选择函数模型,直到符合实际为止.

1、某同学完成一项任务共花去 9 个小时,他记录的完成工作量的百分数如下: 时间/小时 完成 百分数 1 15 2 30 3 45 4 60 5 60 6 70 7 80 8 90 9 100

(1)如果用 T (h) 来表示 h 小时后完成的工作量的百分数,请问 T (5) 是多少? 求出 T (h) 的解析式,并画出图象; (2)如果该同学在早晨 8:00 时开始工作,什么时候他未工作?

2、有一批影碟(VCD)原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销:买一台单价为 780 元,买两台单价都为 760 元,依次类推,每多买一台则所买各台 单价均再减少 20 元,但每台售价不能低于 440 元; 乙商场一律都按原价的 75%销售。 某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较低?

根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: ① 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); ② 二次函数模型: g ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0); ③ 幂函数模型: h( x) ? ax 2 ? b(a ? 0); ④ 指数函数模型: l ( x) ? ab x ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 )
1

3、向高为 H 的圆锥形漏斗内注入化学溶液(漏斗下口暂且关闭) ,注入溶液量 V 与溶液深度 h 的大概图象是

4、某种生物增长的数量 y 与时间 t 的关系如下表: x 1 2 3 . . . y 1 3 8 . . . 下面函数关系式中,能表达这种关系的是. A. y ? x2 ? 1 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? 2 x ? 1 5、某企业近几年的年产值如下图:
51

D. y ? 1.5x2 ? 2.5x ? 2

(万元) 1000 800 600 400 200 96 97 98 99 00(年)

则年增长率(增长率=增长值/原产值)最高的是 A、97 年 B、98 年 C、99 年 D、00 年 6、某杂志能以每本 1.20 的价格发行 12 万本,设定价每提高 0.1 元,发行量就减少 4 万本. 则杂志的总销售收 入 y 万元与其定价 x 的函数关系是 . 7、某新型电子产品 2002 年投产,计划 2004 年使其成本降低 36℅. 则平均每年应降低成本 %.

8、某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万件、1 .2 万件、1.3 万件、 1.37 万件. 由于产品质量好,服装款式新颖,因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时,接收定 单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量,你能解决这一问题吗?

十二、函数的应用(复习)
复习 1:函数零点存在性定理. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:二分法基本步骤. ① 确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ② 求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③ 计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④ 判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④. 复习 3:函数建模的步骤. 根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程:收集数据→画散点图→选择函数模型→ 求函数模型→检验→符合实际,用函数模型解释实际问题;不符合实际,则重新选择函数模型,直到符合实际为止. 例 1、已知二次方程 (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ? 0 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 m 的取值范围. ,那么,函数 y ? f ( x) 在

例 2、某工厂生产某产品 x 吨所需费用 P 元,而卖出 x 吨的价格为每吨 Q 元,已知 P=1000+5x+

1 2 x x ,Q=a+ . 10 b

(1)试写出利润 y 关于 x 的函数; (2)若生产出的产品能全部卖掉,且当产量为 150 吨时利润最大,此时每吨价格为 40 元,求实数 a、b 的值.

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例 3、将沸腾的水倒入一个杯中,然后测得不同时刻温度的数据如下表: 120 180 240 300 时间 (S) 60 温度 86.8 61.3 81.37 76.44 66.11 6 2 (℃) 420 480 540 600 时间 (S) 360 温度 53.0 42.3 52.20 49.97 45.96 3 6 (℃) (1)描点画出水温随时间变化的图象; (2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x ( s ) 的函数模型,并作出其图象,观察 它与描点画出的图象的吻合程度如何. (3)水杯所在的室内温度为 18℃,根据所得的模型分析,至少经过几分钟水温才会降到室温? 再经过几分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价?

1、某种商品现在定价每年 p 元,每月卖出 n 件,因而现在每月售货总金额 np 元,设定价上涨 x 成,卖出 数量减少 y 成,售货总金额变成现在的 z 倍. 2 (1)用 x 和 y 表示 z; (2)若 y= x,求使售货总金额保持不变的 x 值. 3

2、如图,在底边 BC=60,高 AD=40 的△ABC 中作内接矩形 MNPQ,设矩形面积为 S,MN=x. (1)写出面积 S 以 x 为自变量的函数式,并求其定义域; (2)求矩形面积的最大值及相应的 x 值.

数学模型:对于现实中的原型,为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个 数学结构。也可以说,数学建模是利用数学语言(符号、式子与图象)模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为 某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态,或者能预测到对象的未来状况,或者能 提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模:(Mathematical Modelling)把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证 模型的合理性,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题,我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。

3、函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的实数解落在的区间是 A、[0,1] B、[1,2] C、[2,3]

D、[3,4]

4、下列可以看作是指数型函数 y ? ka x ( k ? R, a ? 0且a ? 1) 模型的是
53

A、竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B、我国人口年自然增长率为 1﹪,这样我国人口总数随年份的变化关系 C、如果某人 ts 内骑车行进了 1km,那么此人骑车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系 D、信件的邮资与其重量间的函数关系 5、用长度为 24 的材料围一个矩形场地,中间且有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 A .3 B.4 C.6 D.12 6、若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? a 没有零点,则实数 a 的取值范围是 .

7、已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y=a· (0.5)x+b,现已知该厂今年 1 月、2 月生产 该产品分别为 1 万件、1.5 万件.则此厂 3 月份该产品的产量为_________. 8、在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条 10km 长的线路,如何 迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆,10km 长,大约 有 200 多根电线杆子呢. 想一想, 维修线路的工人师傅怎样工作最合理?要把故障可能发生的范围缩小到 50~100m 左右,即一两根电线杆附近,要查多少次?

十三、必修一模块总复习
复习 1:集合部分知识结构.

复习 2:函数部分知识结构.

例 1、已知全集 U= {x ? N | 0 ? x ? 6} ,集合 A={ x ? N |1 ? x ? 5} ,集合 B= ?x ? N | 2 ? x ? 6} .求: (1) A ? B ; (2) ( CU A ) ? B ; (3) (CU A) ? (C U B) .

54

例 2、对于函数 f ( x) ? a ?

2 ( a ? R ). 2 ?1 (1)探索函数 f ( x) 的单调性; (2)是否存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数?
x

例 3、某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路. 该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差. 如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出 100 元的广告费,所得的 销售额是 1000 元. 问该企业应该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应,是不是广告做得越多越好?

1、如图,△OAB 是边长为 2 的正三角形, 记△OAB 位于直线 x ? t (t ? 0) 左侧的图形的面积 为 f (t ) ,则函数 f (t ) 的解析式为_____________

2、某商店卖 A、B 两种价格不同的商品,由于商品 A 连续两次提价 20%,同时商品 B 连 续两次降价 20%,结果都以每件 23.04 元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则 与价格不升、不降的情况相比较,商店盈利的情况是 A.多赚 5.92 元 B.少赚 5.92 元 C.多赚 28.92 元 D.盈利相同 基本初等函数包括以下 6 种: (1)常值函数: y =c(其中 c 为常数) ; a (2)幂函数 y =x (其中 a 为实常数) ; (3)指数函数 y =ax(a>0,a≠1) ; (4)对数函数 y =log ax(a>0,a≠1) ; (5)三角函数; (6)反三角函数。 所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数。 3、已知集合 M ? {x ? N | x ? 8 ? m, m ? N } ,则集合 M 中的元素的个数为 A、7 B、8 C、9 D、10 4、下列哪一组中的函数 f ( x) 与 g ( x) 相等 A、 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ?

x2 ?1 x

B、 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x )4 D、 f ( x) ? x , g ( x) ? 2log2 x

C、 f ( x) ? x2 , g ( x) ? 3 x6

1 5、已知集合 A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1} , B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1} ,则 A ? B = 2 1 1 A、 { y | 0 ? y ? } B、 { y | 0 ? y ? 1} C、 { y | ? y ? 1} D、 ? 2 2 1 1 1 x 6、函数 y ? lg x , y ? 2 , y ? , y ? , y ? x 2 的零点个数分别为 . x x
55

7、若 log a

3 ,则实数 a 的取值范围为 ? 1 ( a ? 0, 且a ? 0 ) 4

.

8、如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是 30m, 那么宽 x 为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少?

用二分法求方程的近似解

x=

a?b 为区间 [ a , b ] 的中点。 2

1、一条高压电缆上有 15 个接点 ,现某一接点发生故障,如何可以尽快找到故障接点?

2、下列图象中,不能用二分法求函数零点的是
y

y

y

y

O

x

O

x

O

O

x
(D)

x

(A)

(B)

(C)

若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x 0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x 0 通常称为变号零点.
3 3、已知 a 为实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围。

4、某种计算机病毒通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么它就会在下一轮病毒发作 时传播一次病毒,并感染其他 20 台未感染病毒的计算机。现有 10 台计算机第一轮病毒感染,问被第 5 轮病毒 感染的计算机有多少台?

5、下表是弹簧的长度 d 与拉力 f 的相关数据:

f/N d/cm

14.2 1

28.2 2

41.3 3

57.5 4

70.2 5

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象,并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式。

56

函数应用模型实例 1、人中问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。 早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯(1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型: y ? y0 ert , 其中 t 表示经过的时间, y 0 表示 t ? 0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率。 1950?1959 年我国的人口数据资料如下表:
年份 人数 /万人 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959

55196

56300

57482

58796

60266

61456

62828

64563

65994

67207

(1)如果各年人口增长率的表彰会值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001),用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按上表的增长情况,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿?

2、1650 年世界人口为 5 亿,当时人口的年增长率为 0.3%,1970 年世界人口为 36 亿,当时人口的年增长率 2.1%。 (1) 用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍?什么时候世界人口是 1970 年的 2 倍? (2) 实际上,1850 年以前世界人口就超过了 10 亿,而 2003 年世界人口还没有达到 72 亿,你对同样的模型 得出的两个结果有何看法?

3、以 v。的速率竖直向上运动的物体,ts 后的高度 hm 满足 h=v。t-4.9t ,速率 v m/s 满足 V=-9.8t。现在以 75m/s 的速率向上发射一发子弹,问子弹保持在 100m 以上高度的时间有多少秒(精确到 0.01s)在此过程中, 子弹速率的范围是多少?

2

4、在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势. 设某服装开始时定价为 10 元,并且 每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均每周降价 2 元,直 到 16 周末,该服装已不再销售。 (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系;

(2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式为 Q ? ?0.125(t ? 8)2 ? 12, t ??0,16?, t ? N ,试问该服装第几周每件销售 利润最大?

57

5、对 1 个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:(1要求清洗完后的清洁度是 0.99,有两种方案可供选择, 方案甲:一次清洗; 方案乙:分两次清洗。该物体初次清洗后的清洁度是

污物质量 物体质量(含污物)

))为 0.8

x ? 0.8 ( x ? a ? 1) ,用 y 单位质量的水第二次清洗 x ?1

后的清洁度是

y ? ac , 其中(0.8<c<0.99) 是该物体初次清洁度。 y?a

(1) 分别求出方案甲以及 c=0.95 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量少; (2) 若采用方案乙,当 a 为某定值时,如何安排初次与第二次的用水量,使总用水量最少?并讨论 a 取不同 的值时对最少总用水量多少的影响。

6、某桶装水经营部每天的房租、人员的工资等固定成本为 200 无,每桶水的进价是 5 无,销售价与日均销 售量的关系如表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

7、高在海拔 x m 处的气压强是 y Pa, y 与 x 的关系为 y ? ce kx ,其中 c,k 为常量。如果某游客从大气压为 1.01×105Pa 的水平面地区,到了海拔为 2044m、大气压为 0.90× 105Pa 的一个高原地区,感觉没有明显的高山反应,便准 备可攀登当地海拔为 5596m 的雪山,从身体缺氧的角度出发(当大气压低于 0.775×105Pa 时,就会比较危险) , 分析这位游客的决定是否太冒险?

8、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值研究:
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

体重/kg

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

(1)根据表提供的数据, 能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近似的反映这个地区未成年男性 ykg 与身高 xcm
58

的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。 (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖, 低于 0.8 倍为偏瘦, 那么这个地区一名身高为 175cm , 体重为 78kg 的在校男生的体重是否正常?

9、某地区今年 1 月,2 月,3 月某种传染病的人数分别为 52,61,68。为了预测以后各月的患病人数,甲选择了 模型 y ? ax 2 ? bx ? c ,乙选择了 y ? pq x ? r ,其中 y 为患病人数,x 为月份数,a,b,c,p,q,r 都是常数。结果 4 月,5 月,6 月份的患病人数分别为 74,78,83,你谁选择的模型较好?

10、要建造一个窖为 12000m2,深为、6 m 的长方体无盖蓄水池,池壁造价为 95 元/m2,池底造价为 135 元/m2,如 何设计水池的长与宽中,才能使水池的总造价控制在 7 万元以内(精确到 0.1 m)?

11、某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:

1 ? x ? x 2 (? 0x ? 4 0 0 ) ?4 0 0 R( x) ? ? ,其中 x(台)是仪器的月产量, 2 ? 80000( x ? 400) ? (1) 将利润表示为月产量的函数 f(x); (2) 当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)

59

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