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福建省福州格致中学鼓山分校2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


2016 届福建省福州格致中学校内高二第一学期期中考试 数学(文)试卷
注意事项: 1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写,字体 工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。



第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列关于算法的描述正确的是( )

A.算法与求解一个问题的方法相同 B.算法只能解决一个问题,不能重复使用 C.算法过程要一步一步执行,每步执行的操作必须确切 D.有的算法执行完后,可能无结果 2.计算下列各式中 S 的值,能设计算法求解的是( 1 1 1 1 ①S= + + +?+ 100 2 4 8 2 1 1 1 1 ②S= + + +?+ 100+? 2 4 8 2 1 1 1 1 * ③S= + + +?+ n (n≥1 且 n∈N ) 2 4 8 2 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ ) )

3.已知数列 1, a1 , a2 , 4 成等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 , 4 成等比数列,则 a2b2 的值( A. ?3 B. 3 C. ?6 D. 6

4.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的一个焦点 F 到其中一条渐近线的距离 2, 则 m n
B.

n 的值(

)A. 2

2

C. 4

D. 无法确定

1

5.如果一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图 为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( A.2 B. )

3

C.

3 2

D. 3

6.已知 a , b 是两条不同直线, ? 是一个平面,则下列说法正确的是( A.若 a // b .b ? ? ,则 a // ? C.若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b B.若 a // ? ,b ? ? ,则 a // b D.若 a ? b ,b⊥ ? ,则 a // ?



7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中有一个数字 被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ( A. )

7 10

B.

4 5

C.

2 5

D.

9 10

8.执行如右图所示的程序框图:如果输入 x ? R, y ? R ,那么输出的 S 的最小值为( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3



9.若函数 f ( x ) ? sin(2 x ? 需将 f ( x ) 的图象( A.向右平移 )

?
3

) ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2x 的图象,则只

? 个长度单位 6 ? C.向左平移 个长度单位 6

? 个长度单位 3 ? D.向左平移 个长度单位 3
B.向右平移
2

10. 已知函数 f ( x) ? x ? t sin x(0 ? t ? 1) , 若 f( l o g

m ) ??( f1 ) ?

, 则实数

m 的取值范围是(
A. (0, 2)

) C. (2, ??) D. (1, ??)

B. (0,1)
2

11.已知直线 l : 2tx ? (1 ? t ) y ? 4t ? 4 ? 0 ,若对于任意 t ? R ,直线 l 与一定圆相切,则该定 圆的面积为( A. ) B. 2? C. 3? D. 4?
?2016

?

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 2016 f (? x) ? f ?( x) 恒成立,且 f (1) ? e 则下列结论正确的是( A. f (2016) ? 0 ) B. f (2016) ? e?2016
2



C.

f (2) ? 0

D.

f (2) ? e?4032
2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某市为增强市民的节约粮食意识,面向全市征召务宣传志愿者现 从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25), 第 2 组[25,30),第 3 组[30,35),第 4 组[35,40),第 5 组[40,45],得 到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法从第 3,4,5 组中 共抽取了 12 名志愿者参加 l0 月 16 日的“世界粮食日”宣传活动, 则从第 4 组中抽取的人数为________. 14. 2
log
2

2

? log (

2 ?1)

(3 ? 2 2) ? _______.

15. 设 抛 物 线 y 2 ? 8x 上 有 两 点 A, B , 其 焦 点 为 F , 满 足 A F? 2 F B ,则

? ? ??

? ? ??

| AB |? ___________.
16. 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2 cos
n

n? , n ? N ? , 其 前 n 项 和 为 Sn , 则 2

S2016 ? _________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且满足: C

sin B ? sin C 2 ? cos B ? cos C ? . sin A cos A
(Ⅰ) 证明: b ? c ? 2a ; (Ⅱ) 如图,点 O 是 ?ABC 外一点,设 ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) , O

B

A

OA ? 2OB ? 2 ,当 b ? c 时,求平面四边形 OACB 面积的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 如图 , 四棱锥 P ? ABCD中 , PA ? 平面ABCD, E为BD的中点 , G 为

3

PD 的中点, ?DAB ? ?DCB, , EA ? EB ? AB ? 1,PA ?
于F . (Ⅰ)求证: AD ? 平面CFG ; (Ⅱ)求三棱锥 VP ? ACG 的体积.

3 ,连接 CE 并延长交 AD 2

19. (本小题满分 12 分) 某校的教育教学水平不断提高, 该校记录了 2006 年到 2015 年十年间每年考入清华大学、 北 京大学的人数和。为方便计算,2006 年编号为 1,2007 年编号为 2,?,2015 年编号为 10. 数据如下: 年份( x ) 1 人数( y ) 3 2 5 3 8 4 11 5 13 6 14 7 17 8 22 9 30 10 31

(Ⅰ)从这 10 年中的后 6 年随机抽取两年,求考入清华大学、北京大学的人数和至少有一 年多于 20 人的概率;

? ?a ? ,并计算 (Ⅱ)根据前 5 年的数据,利用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 y ? bx
2013 年的估计值和实际值之间的差的绝对值。

?? b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2



? ? y ? bx ? . a

20. (本小题满分 12 分) 若 曲 线 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), ( y ? 0) 的 离 心 率 e ? 且 过 点 P (2 3, ?1) , 曲 线 2 a b 2

自曲线 C1 上一点 A 作 C2 的两条切线 C2 : x2 ? 4 y , 切点分别为 B, C . (Ⅰ)求曲线 C1 的方程;

y

C

B
4

x

A

(Ⅱ)求 S?ABC 的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? xeax ? ln x ? e,(a ? R) (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)设 g ( x) ? ln x ? 数 a 的取值范围。

1 ? e ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内存在两个零点,求实 x

22. (本小题满分 10 分) (选修 4-5:不等式选讲) 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,设函数 f ( x) ?| x ? b | ? | x ? c | ?a, x ? R (I)若 a ? b ? c ? 1 ,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (II)若函数 f ( x ) 的最小值为 1,证明:

1 4 9 ? ? ? 18(a ? b ? c) a?b b?c c?a

5

参考答案 一、选择题:1~5:CBDCC 6~10:CBAAC 11~12 DD

二、填空题:13.__4___; 14.___2____; 15.__9_____; 16._____ 三、解答题:

4 2016 (2 ? 1) _____. 5

17.解: (1) 证明: 由已知得:cos A sin B ? cos A sin C ? 2sin A ? cos B sin A ? cos C sin A

? sin C ? sin B ? 2sin A , b ? c ? 2a
(2)由余弦定理得 c 2 ? 5 ? 4cos ? ,则

1 3 2 5 3 ? 5 3 S ? ?1? 2 ? sin ? ? c = sin ? ? 3 cos ? ? ? 2sin(? ? ) ? 4 3 4 2 4
? 0 ? ? ? ? ,当 ? ?

?
3

?

?
2

即? ?

5 3 5? 时, S max ? ? 2. 4 6

18. 解 : ( Ⅰ ) 在 ?ABD 中 , 由 E 为 BD 的 中 点 , 所 以 EA ? EB ? ED ? AB ? 1 , 又

?BAD ?

?
2

, ?ABE ? ?AEB ?

?
3

又因为 ?DAB ? ?DCB ,所以 ?EAB ? ?ECB ,从而有 ?FED ? ?BEC ? ?AEB ? 所以 ?FED ? ?FEA ,故 EF ? AD, AF ? FD, 因为 PG ? GD ,所以 FG // PA 又 PA ? 面 ABCD ,所以 FG ? AD ,故 AD ? 平面CFG . (Ⅱ)(理科)以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,

?
3

?? ? 3 2 , ) ,面 DCP 的法向量 n2 ? (1, 3,2) , 3 3 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 ? ? 设 n1 与 n2 的所成的角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? | n1 | ? | n2 | 4
容易得到面 BCP 的法向量 n1 ? (1, ?

??

所以二面角 B ? CP ? D 的余弦值 ?

2 4

文科:设 BD 与 AC 交于点 O ,因为 FG // 面 PAC , 所以 VP ? ACG ? VG ? PAC ? VF ? PAC ?

1 S ?PAC h 3

S?PAC ?

1 3 1 3 3 , h ? | OD |? | PA | ? | AC |? 2 4 2 4

6

1 3 3 3 3 3 V?P ? ACG ? ? ? ? 3 4 4 16
(也可以用 VP? ACG ? VC ?PAG 或者用排除法: V?P? ACG ? VP? ACD ? VG? FCD ) 19.解: (Ⅰ) (理科)设考入清华大学、北京大学的人数和至少有一年多于 15 人的事件为 A 则 P( A) ? 1 ?
2 C6 2 ? 2 C10 3

(文科)要求列出所有可能的结果 15 种,所发生的事件有 3 种子结果,这里省略 设考入清华大学、北京大学的人数和至少有一年多于 50 人的事件为 A 则 P ( A) ? 1 ?

3 4 ? 15 5

(Ⅱ)由已知数据得 x ? 3, y ? 8

? xi yi ? 3 ? 10 ? 24 ? 44 ? 65 ? 146 ; ? xi 2 ? 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 55
i ?1 i ?1

5

5

?? b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

?

146 ? 5 ? 3 ? 8 ? ? y ? bx ? ? 8 ? 2.6 ? 3 ? 0.2 ? 2.6 , a 55 ? 5 ? 9

所以: y ? 2.6 x ? 0.2 则 2013 年的估计值与实际值之间的差的绝对值为 | 2.6 ? 8 ? 0.2 ? 22 |? 1

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 20.解: (Ⅰ) 16 4
(Ⅱ)设 lBC : y ? kx ? b

? x2 ? 4 y ? ? y ? kx ? b

x2 ? 4kx ? 4b ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4b ,

AB : y ? k1 ( x ? x1 ) ?

x12 2 2 ,代入 x ? 4 y ,得 x2 ? 4k1 x ? 4k1 x1 ? x1 ?0 4
2 1

? ? 16k ?16k1x1 ? 4x ? 0
2 1

k1 ?

1 x1 2

x12 1 AB : y ? x1 x ? 2 4

7

同理 AC : y ?

x 1 x2 x ? 2 4

2 2

1 ? x ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 得 A: ? , ? y?1xx 1 2 ? ? 4

?2k 2 ? 2b 4k 2 b 2 2 2 ? ? 1, k ? b ? 4(0 ? b ? 2) , d A? BC ? 即 A(2k , ?b) ,所以 16 4 1? k 2

x1 ? x2 ? 16k 2 ? 16b

BC ? 1 ? k 2 x1 ? x2

S ?ABC

3 ?2k 2 ? 2b 1 2 ? 1 ? k x1 ? x2 ? 16k 2 ? 16b k 2 ? b ? 4(k 2 ? b) 2 2 1? k 2 2 3 2

1 2 17 3 17 17 ? 4(4 ? b ? b) ? 4(?(b ? ) ? ) 2 ? 2 4 2
当b ?

1 15 时取等号. ,k ? ? 2 2

21.解: (Ⅰ) y ? f ( x) 的定义域为 (0, ??)

? a ? 1 ,? f ( x) ? xex ? ln x ? e , f (1) ? 0
? f ?( x) ? ( x ? 1)e x ? 1 , ? f ?(1) ? 2e ? 1 x

所以函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (2e ? 1)( x ? 1) (Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? xe ? ln x ? e ? (ln x ?
ax

1 1 x 2eax ? 1 ? e) ? xe ax ? ? 在定义域 x x x

2 ax 内存在两个零点,即 x e ? 1 ? 0 在 (0, ??) 有两个零点。

令 ? ( x) ? x e ?1, ??( x) ? ax e ? 2xe
2 ax 2 ax ax

ax

? xeax (ax ? 2)

ⅰ.当 a ? 0 时, ??( x) ? xe (ax ? 2) ? 0

? y ? ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增
由零点存在定理, y ? ? ( x) 在 (0, ??) 至多一个零点,与题设发生矛盾。 ⅱ.当 a ? 0 时, xe (ax ? 2) ? 0 则 x ? ?
ax

2 a

x

2 (0, ? ) a

?

2 a

2 (? , ??) a

8

? ?( x)
? ( x)

+ 单调递增

0 极大值

?
单调递减

因为 ? (0) ? ?1 ,当 x ??? , ? ( x) ? ?1 ,所以要使 ? ( x) ? x2eax ?1 在 (0, ??) 内有两个
2 零点,则 ? ( ? ) ? 0 即可,得 a ?

2 a

4 2 ,又因为 a ? 0 ,所以 ? ? a ? 0 2 e e

综上:实数 a 的取值范围为 (? 或者用”参变分”离也可以.

2 , 0) . e

22.解: (Ⅰ) 若 a ? b ? c ? 1, 不等式 f ( x) ? 5 , 即| x ? 1 | |? 1 |x 4 ? ? 解集为 {x | ?2 ? x ? 2} 没有写成解集的形式扣 1 分 (Ⅱ) f ( x) ?| x ? b | ? | x ? c | ?a ?| ( x ? b) ? ( x ? c) | ?a ?| b ? c | ?a ? b ? c ? a 所以 f ( x)min ? b ? c ? a ? 1

?

1 4 9 1 1 4 9 ? ? ? ( ? ? )(2a ? 2b ? 2c) a?b b?c c?a 2 a?b b?c c?a

1 1 2 3 ? ( a?b ? b?c ? c ? a )2 ? 18 2 a?b b?c c?a
1 4 9 ? ? ? 18(a ? b ? c) . a?b b?c c?a 1 4 9 1 1 4 9 ? ? ? ( ? ? )(2a ? 2b ? 2c) 展开用基本不等式 或者 : ? a?b b?c c?a 2 a?b b?c c?a
所以 也可以.

9


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