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LDPC编码


LDPC 码校验矩阵的一种构造方法的研究
杨泽建 摘要:采用“皇后算法” ,构造出 ? A 矩阵,以及相应的 ? B 、? c 、? D 矩阵,再利用 ? A 、 ? B 、 ? c 、 关键词:LDPC 校验矩阵 编码、码率 目前无线通信领域正在发展面向未来的通信技术,这些先进的技术将大大提高无线通信系统的频谱利 用率和信息传输容量,增强系统的性能和功能。LDPC 信

道编码技术是近年来全球热点研究技术。 LDPC 码编码器是设计算法一直是是信道编码领域的研究热点,目前 LDPC 码的编码器设计问题成了阻 碍 LDPC 码走向应用的瓶颈问题,这就要求我们在构造 LDPC 码的校验矩阵的时候考虑到是否易于工程实现 [1]。 用随机法构造的 LDPC 码的码字参数选择灵活,但是却没有一定的码的结构,编码复杂度太高,不易于 工程上的实现, 如用 FPGA、 DSP 等。 一定编码结构实现的 LDPC 码具有循环获者准循环结构, 编码非常简单, 显示了良好的性能,但是,码长、码率的参数选择受到很大的限制 将码长为 n、信息位为 k 的 LDPC 码校验矩阵 H 分为 2 个子矩阵 H H=[ H
d
p

? D 进行排列与组合,构造出性能优越的校验矩阵。实践表明该矩阵在码率很高的时候也具有较好的性能。

c p ? v ? H d cd

|H ]
d

p

其中, H 是一个(n-k) ? k 的矩阵,称为信息矩阵

? hd 11 ? Hd =? ? ? hd n ?k ,1 ?

d h12 ?

? ?

h d 1k ? ? ? ? h d n ?k ,k ? ?

(1)

H d 采用随机构造法, H p 是一个( n ? k ) ? ( n ? k )的方阵,称为校验位矩阵, H p 是双对
角线形式的三角子矩阵,具有如下形式:

?1 ? ?0 ?0 H p=? ?? ?0 ? ?0 ?

0? ? 1 1 ? 0 0? 0 1 1 ? 0? ? ? ? ? ? ?? 0 0 0 0 1? ? 0 0 0 1 1? ? 0 0 ? 0
p

(2)

现在有一个 8 ? 8 的 H 为:

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ? ?1 ?

1 0 0 0 0 0 0? ? 1 1 0 0 0 0 0? 0 1 1 0 0 1 1? ? 0 0 1 1 0 0 0? 0 0 0 1 1 0 0? ? 0 0 0 0 1 1 0? 0 0 0 0 0 1 1? ? 0 0 0 0 0 0 1? ?
相应地将 H 矩阵所对应的码矢量 c 分解为对应的校验位向量 c 、信息位向量 c ,即有:
p d

c ? [c d | c p ] ,校验矩阵 H 与码向量 c 之间有如下关系:
?c d ? Hc ? [ H | H ] ? p ? ? H d c d ? H p c p ? 0 ?c ?
T d p

(3)

对于给定的任意一个信息位向量 c ,可以利用构造出的校验矩阵 H 、信息位矩阵 H 以及映射 矢量 v 产生码矢量 c, v 定义为方程(3)的解,因此有:

d

p

d

H pc p ? v ? H d cd
令 [H
p ?1

(4)

]

= U , U 是三角矩阵,上式运算取模 2 和,则: (5)
p

p

p

c p ? U pv

先计算 v, 再利用式 (5) 转换 v, 计算出 c ,从而得到码字向量 c。 值得注意的是, 不一定采取对 H 求逆的方法来求得 c ,其具有线性计算复杂度。
p

P

由于 H 是双对角的上三角阵,对给定的信息位向量 c ={ d j ,j=1,2,…..,k},根据式(1)和式 (2)很容易求得校验位向量 c ={
p

p

d

pi , i =1,2,.……n-k}
(6)

p1 ? ? h d j
j ?1 i, j

k

d

pi ? pi ?1 ? ? hid, j d j i =0,1,….M-1
j ?1

k

(7)

? 旋转码是在半随机基础构造的,校验矩阵信息位子矩阵 H
d

d

由 q ? t 个 ? 旋转码按一定规则构成

[2], ? 旋转码是 m ? m 的方阵,由此可以得到的 H 矩阵是 qm ? tm 维,列重为 t,行重为 q,码长是

(q ? t )m ,信息位长 tm,码率为 t /(q ? t ) 。
将 ? 旋转矩阵记为 ? A ,? A 的结构是每列只有一个 1,每列只有一个 1。将 ? A 顺时针或逆时针旋 转 90 度得到 ? B , 以同样的方法再旋转 2 个 90 度, 可以得到 ? c 和 ? d 。 这就是旋转矩阵由此得名[3]。 这四个矩阵均满足每列每行只有一个 1 的约束条件。 如 m=3 的 ? A 矩阵,它所对应的 ? B 、 ? c 、 ? D 分别为:

?0 1 0? ? ? ?A =?0 0 1? ?1 0 0? ? ? ?1 0 0? ? ? ?B =?0 0 1? ?0 1 0? ? ?

?0 1 0? ? ? ?c =?1 0 0? ?0 0 1? ? ? ?0 0 1? ? ? ?D =?1 0 0? ?0 1 0? ? ?
我们可以利用这四个矩阵的排列组合产生码率为 1/2 的 H 矩阵
d

?? A ? A ? ? ?A Hd =? D ??C ? D ? ?? B ?C
P d

?A ?B ?A ?D

?A 1 ?C 1 ?B 0 ?A ?

0 ? ?? ? 1 0 ?? 1 1 ?? ? 0 1 1?

将 H 和 H 合并,得到完整的校验矩阵 H,形式如下:

H= [ H

d

|Hp]

?? A ? A ? ?D ?A =? ??C ? D ? ?? B ?C

?A ?B ?A ?D

?A 1 ?C 1 ?B 0 ?A ?

0 ? ?? ? 1 0 ?? 1 1 ?? ? 0 1 1?

(8)

在这里提出一种构造比较好的 ? A 的构造方法,称为皇后算法, 、用 c 程序实现了搜索该矩阵的功能。 皇后问题 :在 n ? n 的方格棋盘上,放置 n 个皇后,要求每个皇后不同行、不同列、不同左右对角

线。 此算法的目的是消除了每个矩阵中的四环,求解皇后问题的递归模型如下: (1) palce(i,n): 若 i=n,则 n 个皇后放置完毕,输出解; (2) palce(k,n) :对于第 k 列的每个合适的位置 i,在其上放置一个皇后; (3) place(k+1,n) 其中,palce(k,n)表示在前面 1,….k-1 个皇后放置好后,用于放置 k….,n 的皇后,由此可得到的 递归算法如下: place(int k,int { if (k==n) 输出一个解; else for(int i=1;i<=n;i++) %在第 k 列上穷举每一个位置 if(第 k 列的第 i 行合适) {在位置处放一个皇后; place(k+1,n); } } 对每个 n,可以产生不同的的 ? 矩阵。但是这种方法搜索的局限性是 n 取值不能超过 20。 采用 ? 旋转码,在码率很高的时候也具有较好的性能。LDPC 码的构造方法很多,很多性能优越的码的 构造正在研究中,是一个不断发展的研究课题。 n)

参考文献: [1]王新梅.纠错码原理[M].西安:电子科技大学出版社,2001 [2] 符初生,文红.LDPC 码原理与应用[M]. 西安:电子科技大学出版社,2006 [3]袁东风,张海霞.宽带移动通信中的先进信道编码技术[M].北京:北京邮电大学出版社, 2004 (原刊于《城市建设》2009 年 8 月)


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