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14.1.4.6多项式除以单项式


14.1.4.5

整式的乘法

——多项式除以单项式

大井镇第二中学 高德金

1.经历探索整式除法运算法则 的过程,能进行简单的整式除法运 算,并且结果都是整式,充分应用 “化归”思想. 2.培养良好的合作意识,发展 数学思维,体会数学的实际价值.

回顾 & 思

考 ?

单项式与单项式相除的法则
1、系数 相除; 2、同底数幂 相除; 3、只在被除式里的幂 不变;

“两”相除, “一”不变。

单除单,也方便,系数相除放前面;

同底相除跟着算,符号确定是关键;
也可改成分数线,利用约分来计算。

回顾 & 思考 ?

单项式与单项式相除
? 练一练 ?
(1) –12a5b3c÷(–4a2b)=3a3b2c

(2)(–5a2b)2÷5a3b2 = 5ac
1 4 3 8 (a+b) (a+b) = 2 2c 2 3 2 2 – 3 ab (4)(–3ab c) ÷(–3ab c) =

(3)4(a+b)7 ÷

自主探究:多项式除以单项式的法则
单项式与多项式相乘的法则是什么? 单项式与多项式相乘,就是用单项式 去 乘 多项式 的每一项,再把所得的



相加



多项式除以单项式

m(a+b+c)= am+bm+cm 反之(am+bm+cm)÷m =am÷m+bm÷m+cm÷m =a+b+c

你能计算下列各题?说说你的理由。
a+b (1)(ad+bd)÷d=__________ ab+3b (2)(a2b+3ab)÷a=_________ 2-2 3 y (3)(xy -2xy)÷(xy)=_______
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗?

多项式除以单项式,先把这个多 项式的每一项分别除以单项式,再 把所得的商相加。

多项式除以单项式的法则:
多除单,也不怕;

各项除单跟着化; 确定符号是重点;
所得之商来相加。

记住 哟! !!

【例题】
【例1】计算: (1) (28a
【解析】原式
4 3

3

? 28 a ? 7 a ? 14 a ? 7 a ? 7 a ? 7 a
3 2

? 14a ? 7a) ? 7a.
2
2

? 4a ? 2a ? 1.
3 2 2 2

(2) (36x y ? 24x y ? 3x y ) ? (?6x y). 1 2 2 【解析】原式 ? ?6x y ? 4xy ? y. 2
2

【例2】化简:

? ? (2 x ? y ) ? y ( y ? 4 x ) ? 8 x ? 2 x . ? ?
2

【解析】 原式 ? ( 4 x ? 4 xy ? y ? y ? 4 xy ? 8 x ) ? 2 x
2 2 2

? 2x ? 4.

? (4 x ? 8 x) ? 2 x
2

【跟踪训练】 计算:
① ( 6 xy ?

5 x ) ? x;
2

6y+5

y ? 10 x y ) ? 5 x y; 3x-2y 2 2 2a-b ③ (8a b ? 4ab ) ? 4ab;
② (15 x
2
2



( 4c d ? c d ) ? ( ?2c d ).
3 3 2

1 2 -2- 2 cd

1. (恩施·中考)下列计算正 确的是( C ) 2 2 4 A.a ? a ? a 3 2 2 B.a ? a ? a ? a ? a ? a 6 4 10 C.a ? a ? a

?

?

D. a

? ?

3 3

?a

6

2.计算:
① (16 m ? 24 m ) ? ( ? 8 m ); ? 2 m ? 3 9 2 3 2 2 2 ② (9 x y ? 21xy ) ? 7 xy ; x ?3 7 2 3 4 2 ③ ( 25 x ? 15 x y ? 20 x ) ? ( ? 5 x );
3 2 2

?5 ? 3 xy ? 4 x 2 2 3 2 2 ④ ( ? 4 a ? 12 a b ? 7 a b ) ? ( ? 4 a ).
2

7 2 1 ? 3b ? ab 4

3.错例辨析:

3 6 3 6 3 4 3 3 3 3 5 5 2 (? a x ? a x ? ax ) ? ax ? a ? 2a x 4 5 5 5 4
【解析】有两个错误:第一,丢项,被除式有三 项,商式只有二项,丢了最后一项1;第二是符 号上错误,商式第一项的符号为“-” 。

5 5 正确答案为 ? a ? 2a 2 x ? 1 4

4.小明在班级联欢晚会上表演的一个魔术节目如下: 请你在心中想一个自然数,并且先按下列程序运算后, 直接告诉他答案:

n

平方

加n

除以n

答案

他能马上说出你所想的自然数.
你知道其中的奥妙在哪里吗?请你用所学的数学知识来 进行解释. 【解析】

n ?n ? n ?1 n
2

5.(南宁·中考)先化简,再求 值:
3 2 2

(a ? b)(a ? b) ? (4ab ? 8a b ) ? 4ab,
其中 a

? 2,b ? 1.

【解析】 3 2 2 ( a ? b )( a ? b ) ? ( 4 ab ? 8 a b ) ? 4 ab

? a ? 2ab. 当a ? 2,b ? 1时,
2

? a ? b ? b ? 2 ab
2 2 2
2

原式 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 4 ? 4 ? 0.

【规律方法】把多项式除以单项式 问题转化为单项式除以单项式问

题.计算不可丢项,分清“约掉”
与“消掉”的区别:“约掉”对乘 除法而言,不减项;“消掉”对加

减法而言,减项.

1.多项式除以单项式法则:多项式除 以单项式,先把这个多项式的每一 项除以这个单项式,再把所得的商 相加.

2.应用法则转化多项式除以单项式 为单项式除以单项式.

3.运算中应注意的问题: (1)所除的商应写成最简的形式. (2)除式与被除式不能交换.

4.整式混合运算要注意运算顺序, 还要注意运用有关的运算公式和 性质,使运算简便.

小结
(一)

单项式相除
1、系数相除; 2、同底数幂相除; 3、只在被除式里的幂不变。

多项式除以单项式

(二)

先把这个多项式的每一 项分别除以单项式,再把 所得的商相加。

多项式除以单项式的法则:
多除单,也不怕;

各项除单跟着化; 确定符号是重点;
所得之商来相加。

记住 哟! !!

( 5 ax ? 15 x ) ? 5 x (1) 2 2 ? (12 m n 15 mn ) ? 6 mn ( 2) ( 3 ) ( 4 a b ? 6 a b c ? 2 ab ) ? ( ? 2 ab ) 1 3 2 1 2 3 2 2 2 ? ? ? ( 4 )( x y x y 2x y ) xy 2 2
3 3 2 3 5 2

作业2 !

(5)先化简,再求值。其中a=2,b=1。
3 2 2

(a ? b)(a ? b) ? (4ab ? 8a b ) ? 4ab
1 [( x ? y ) ? ( x ? y )( x ? y )] ? x 2
2

(6)已知, 2 x ? y ? y ? 2 ? 0 求代数式的值。

课后检测

随堂练习
计算: (1)?3 xy ? y? ? y =3x+1 (2)?ma ? mb ? mc ? ? m =a+b+c
1 2 ? ? 3 ? cd (3)?6c d ? c d ? ? ?? 2c d ? 2 4 3 2 2 (4)?4 x y ? 3 xy ? ? ?7 xy? ? 7 x ? 7 y
2 3 3 2

(5) ?(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? ? 2( ab ) ? 2

(6) ? x ? 2 y ?2 ? ? x ? 2 y ?? x ? 2 y ? ? 4 y ? x+2y =[x2+4xy+4y2 –(x2–4y2)] =[4xy+8y2]

?

?

例 计算:
4 2

(1) (9 x ? 15x ? 6 x) ? 3x;
3 2 2 3 2 2 2

(2) (28a b c ? a b ? 14a b ) ? (?7a b);
(1) 2 4 ) (6 x) ? (3x) 解: 原式=(9x ) ? (3x) +(?15x ) ? (3x+

= 3 x +(?5 x)+ 2 3 = 3x ? 5 x ? 2
3

(2) (28a b c ? a b ? 14a b ) ? (?7a b);
3 2 2 3 2 2 2

解: +(a 2b3 ) ? (?7a 2b)+ 原式=(28a 3b 2c) ? (?7a 2b) (?14a 2b 2 ) ? (?7a 2b)

1 2 = (?4abc) + ( ? b ) + (2b) 1 27 =? 4abc ? b ? 2b 7

在计算多项式除以单项式时,要注意什么?

先定商的符号(同号得正,异号得负);
注意添括号;

思考: 已知: f(x) = 25x4 +15x3-20x2 求: (1) f(x)÷5x
(2) f(x)÷(-10x2)

(1) (9 x y ? 6 xy ) ? (3xy); 1 2 2 1 (2) (3x y ? xy ? xy) ? (? xy)。 2 2
2 2

3 2 (3)(12a -8a -3a)÷4a

2 2 3 (4)(6a b-2ab -b )÷(-3b)

奋斗,是理想与毅力合成的混凝 土,它能架成通向彼岸的桥梁.

——巴金


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