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2013届高考数学角的概念及任意角的三角函数


课题 §4.1 内容归纳 一.知识精讲

角的概念及任意角的三角函数

㈠角的概念和弧度制 1. 角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成

的图形。其中顶点,始边,终边称为角的三要素。角可以是任 意大小的。 2. 3. 角按其旋转方向可分为:正角,零角,负角。 在直角坐标系中讨论角:①角的顶点在原点,始边在

x 轴

的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限 的角。 (注意前提条件,否则不能从终边的位置来判断某角属 于第几象限) 。⑵若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于 任何象限,它叫象限界角。 4. 与 ? 角终边相同的角的集合: ?? ? ? k ? 360 ? ? ? , k ? Z ?

注: ①终边相同的角不一定相等, 但相等的角的终边一定相同; ②终边相同的角有无数多个,它们相差 360? 的整数倍。 5. 正确理解角: 0? ~ 90? 间的角”指的是: 0 ? ? ? ? 90? ; “ “第一

象限的角”“锐角”“小于 90? 的角” , , ,这三种角的集合分别表 示为:

?? k ? 360

?

? ? ? k ? 360 ? ? 90 ? , k ? Z

?, ?? 0

?

? ? ? 90 ?

?, ?? ? ? 90 ?。
?

6.弧度制 ① 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角 的弧度数为零。任一已知角 ? 的弧度数的绝对值 ?
? l r



② 这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

③ 比值 l 与所取圆的半径大小无关,而仅与角的大小有关。
r

7.弧度与角度的换算:1800=π (弧度) ,1 弧度=(180/π )0≈ 57018' 。 8.弧长公式,扇形的面积公式: l ? ? ? r , S 扇形 ㈡任意角的三角函数 1. 定义:设 ? 是任意大小的角。角 ? 的终边上任意一点 p 的坐
? 1 1 lr ? ? ? r 2 。 2 2

标是 ?x, y ? , 它与原点的距离是 r (r ? 0) , 那么角 ? 的 6 个三角函数 分别为: (略) 2. 定义域,值域。三角函数值在每个象限的符号。

二.重点、难点:任意角的概念和任意三角函数的定义; 三.思维方式: 四.特别注意:
问题讨论 例 1.给出下列命题,其中正确的是 (1)弧度角与实数之间建立了一一对应(2)终边相同的角必相等 (3)锐角必是第一象限角 (4)小于 900 的角是锐角 (5)第二象限的角必大于第一象限角 A (1) B (1) (2) (5) C(3) (4) (5) D(1) (3) 【思维点拨】正确理解角: 0 ? ~ 90? 间的角”指的是: 0 ? ? ? ? 90? ; “ “第

一象限的角” , “锐角” , “小于 90? 的角” 这三种角的集合分别表示为: ,

?? k ? 360

?

? ? ? k ? 360 ? ? 90 ? , k ? Z

?, ?? 0

?

? ? ? 90 ?

?, ?? ? ? 90 ?。
?

例 2:已知α 是第二象限的角 (1) 指出α /2 所在的象限,并用图象表示其变化范围;4 (2) 若α 同时满足条件|α +2|≤4,求α 的取值区间。 解:依题意,2kπ +π /2<α <2kπ +π (k∈Z)

(1) 以 kπ +π /4<α /2<kπ +π /2(k∈Z) ,若 k 为偶数,则α /2 是第一象限的角;若 k 为奇数,则α /2 是第三象限的角; 其变化范围如图中的阴影部分所示(不含边界) (2) 因为|α +2|≤4,所以-6≤α ≤2,即α ∈(2kπ +π /2,2k π +π ) ∩[-6,2],结合数轴不难知道,α ∈(-3π /2,-π )∪(π /2,2 ] 。 【思维点拨】除象限角、终边相同的角以外,还要注意理解区间角的 概 念,并能掌握好α 角的取值范围与 2α 、α /2 角的取值范围间的相 互关系。 例 2:(1)已知角 ? 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在 x 轴的正 半轴上, 终边经过点 P?? 1, 2? ,求 sin? 2? ? 2? ? 的值. ? ?
? 3 ?

(2)已知角β 的终边在直线 y= 3 x 上, 用三角函数的定义求 sinβ 与 cot β 的值。 解: (1)由已知可得 r=|OP|= 5 ,所以 sinα =
4 5

2 5 5 ,cosα = ? 。从 5 5
3 5

而 sin2α =2sinα cosα = ? ,cos2α = cos2 α -sin2 α = ? ,故
2? ? =sin2α ? sin? 2? ? ? 3 ? ?

cos

2? 2? 4 ? 3 3 +cos2α sin = 。 3 3 10

(2)设 P(a, 3 a)(a≠0)是角β 终边= 3 x 上一点,则 cot ,

β =

3 。 3 3 ; 2

若 a<0,则β 是第三象限的角,r=-2a,此时 sinβ = ? 若 a>0,则β 是第一象限的角,r=2a,此时 sinβ =

3 ; 2

【思维点拨】1)注意用三角函数的定义解题;2)有参数时应分类 讨论。 例 3: (1)确定 lg(cos6-sin6)的符号; (2)若 的符号。 解: (1)∵6 是第四象限的角,∴cos6>0,sin6<0,故 cos6-sin6 >0; ∵(cos6-sin6)2=1-2sin6cos6>1,∴cos6-sin6>1,∴lg(cos6 -sin6)>0 (2)由题意可得 二或第四象限。 ① 若α 在第二象限,则 0<sinα <1,-1<cosα <0,∴cos (sinα )>0, sin(cosα )<0;∴原式<0。 ② 若α 在第四象限,则-1<sinα <0,0<cosα <1,∴cos (sinα )>0, sin(cosα )>0;∴原式>0。
sin ? | cos? | ? =0,∴sinα ?cosα <0,故α 在第 | sin ? | cos?

sin ? 1 ? cos 2 ?

+

1 ? sin 2 ? =0,判断 cos(sinα ) ?sin(cosα ) cos?

【思维点拨】判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧 度制表示的角不好判定所在象限时, 可转化成用度来表示。 例 4: P(51_)例 1:(1)若? 是第二象限的角,则 sin(com? ) 的符号是什 com(sin ? ) 么? (2) 已知 ? ? ? ? ?
? 4? 3

, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,求 2? ? ? 的范围。
3

解:设 2α -β =A(α +β )+B(α -β )(A,B 为待定系数) , ,则 2α -β =(A+B)α +(A-B)β 。比较两边的系数得 A= ,B= ; ∴2α -β = (α +β )+ (α -β ) ,从而可求得-π <2α -β < π /6。
1 2 3 2 1 2 3 2

【思维点拨】 解决此类问题要用待定系数法, 千万不能先由条件得出 α 、β 的范围,再求 2α -β 的范围比实际范围要大。 (备用)例 5: (1)已知 f ?n ? ? cos n? (n ? N ) ,求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2000) 的值。
5

(2)已知 sinβ = ,sin(α +β )=1,求 sin(2α +β )的值。 解: (1)条件中的
n? 表示 10 条不同终边的角,这 10 条终边分成 5

1 3

5 组,每组互为反向延长线,所以 f(1)+f(2)+?+f(10)=0;f (11) (12) +f +?+f (20) =0; ?;(1991) (1992) f +f +?+f (2000) =0;故 f(1)+f(2)+?+f(2000)=0。 (2)∵sin(α +β )=1,∴α +β =2kπ + ,∴sin(2α +β ) = sin[2(α +β )-β ]= 。 【思维点拨】分组考虑与整体代入是常用的技巧。 课堂小结:
1 3

? 2


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