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椭圆中的常见最值问题


椭圆中的常见最值问题
1、椭圆上的点 P 到二焦点的距离之积 | PF1 || PF2 | 取得最大值的点是椭圆 短轴的端点,取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
x2 y2 例 1、椭圆 ? ? 1 上一点到它的二焦点的距离之积为 m ,则 m 取得的 25 9

最大值时,P 点的坐标是 例 2、 已知椭圆方程

。P(

0,3)或(0,-3)

x2 y2 ? ? 1 a ? b ? 0, a 2 ? b 2 ? c 2 ) 为椭圆上一点, 1 , F2 ( p F a2 b2

是椭圆的二焦点,求 | PF1 || PF2 | 的取值范围。 分析: | PF1 || PF2 |? (a ? ex)(a ? ex) ? a 2 ? e 2 x 2 , (| x |? a) 当 x ? ? a 时, | PF1 || PF2 |min = a 2 ? c 2 ? b 2 ,当 x ? 0 时, | PF1 || PF2 |max ? a 2 即 b 2 ? | PF1 || PF2 | ? a 2 2、 椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或 最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大 值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例 3、已知 A(1,1) , F1 、 F2 是椭圆 点,则 | PA | ? | PF2 | 的最大值是 的最小值是
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,P 为椭圆上一动 9 5

,此时 P 点坐标为 。

。| PA | ? | PF2 |

,此时 P 点坐标为

3、 椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最 小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交 点。 例 4、已知 A(1,1) , F1 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左焦点,P 为椭圆上一动点,则 9 5

| PA | ? | PF1 | 的最小值是

,此时 P 点坐标为 。

。| PA | ? | PF1 | 的最大

值是

,此时 P 点坐标为

分析: | PA | ? | PF1 |?| PF2 | ? | PF1 | ? | AF2 | ,当 P 是 AF2 的延长线与椭圆的交 点时取等号。 | PA | ? | PF1 |?| PF2 | ? | PF1 | ? | AF2 | ,当 P 是 AF2 的反向延长线与椭 圆的交点时取等号。 4、 椭圆上的点 P 到定点 A 的距离与它到椭圆的一个焦点 F 的距离的 倍 的和 | PA | ? | PF | 的最小值 e 为椭圆的离心率) 可通过 ( ,
1 e | PF | ? e 转化为 | PA | ? d d 1 e

( d 为 P 到相应准线的距离)最小值,取得最小值的点是 A 到准线的垂线与 椭圆的交点。 例 5、已知定点 A(?2,3) ,点 F 为椭圆
x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在该椭圆 16 12

上移动,求 | AM | ?2 | MF | 的最小值,并求此时 M 点的坐标。 例 6、 已知点椭圆
x2 y2 ? ? 1 及点 A(2,2), B(?3,0) ,P( x, y) 为椭圆上一个动点, 25 9

则 3 | PA | ?5 | PB | 的最小值是



5、 以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是 短轴的端点与该焦点构成的三角形。 例 7、过椭圆
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0, a 2 ? b 2 ? c 2 )的中心的直线交椭圆于 A, B a2 b2

两点,右焦点 F2 (c,0) ,则 ?ABF2 的最大面积是



例 8、已知 F 是椭圆 9x 2 ? 25y 2 ? 225的一个焦点,PQ 是过原点的一条弦, 求 ?PQF 面积的最大值。 6、 椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的 一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。

例 9、P 为椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0, a 2 ? b 2 ? c 2 )一点,左、右焦点为 2 a b

F1 (?c,0) F2 (c,0) ,则 ?PF1 F2 的最大面积是



7、 椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一 个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。 例 10、已知 A 是椭圆 9x 2 ? 25y 2 ? 225的长轴一个端点,PQ 是过原点的一 条弦,求 ?PQA 面积的最大值。 8、椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点 间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。
x2 y2 例 11、设 O 为坐标原点,F 是椭圆 ? ? 1 的右焦点,M 是 OF 的中点, 25 9

P 为椭圆上任意一点,求 | MP | 的最大值和最小值。 例 12、椭圆中心在原点,长轴在 x 轴上, e ? 圆上的最远距离是 7 ,求椭圆方程。 9、椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。
3 3 ,已知点 P(0, ) 到这个椭 2 2

r1 ? a ? ex (| x |? a) 为 x 的增函数, r2 ? a ? ex (| x |? a) 为 x 的减函数, x ? ? a
时, r 2 , r2 分别取得最大值 a ? c 和最小值 a ? c 。 例 13、椭圆
x2 y2 ? ? 1 上的点到右焦点的最大值 25 9

,最小值



10、椭圆上的点到定直线的距离最近及最远点分别是与定直线平行的椭 圆的两条切线的切点。 例 14、 已知椭圆 x 2 ? 8 y 2 ? 8 , 在椭圆上求一点 P, P 到直线 l : x ? y ? 4 ? 0 是 的距离最小,并求最小值。

11、椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端 点和二焦点的连线的夹角。范围大于等于 0 0 ,小于它的短轴的一个端点和二 焦点的连线的夹角。 分析: | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? | PF1 || PF2 | ? a 2 ?
cos? ? | PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? 2 | PF1 || PF2 | 2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 ? ? ?1 ? 2 | PF1 || PF2 | 2 | PF1 || PF2 | | PF1 || PF2 | a2

等号成立的条件: | PF1 |?| PF2 |? a ,即 P 点为短轴的端点。 例 15、已知椭圆 C:
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,两个焦点为 F2 , F2 ,如果 C 上 a2 b2

有一点 Q,使 ?F1QF2 ? 1200 ,求椭圆的离心率的取值范围。 例 16、如图所示,从椭圆
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 M 向 x 轴作垂线,恰 a2 b2

好通过椭圆的左焦点 F1 ,且它的长轴的端点 A 短轴的端点 B 的连线 AB 平行 于 OM。 (1)求椭圆的离心率 (2)设 Q 为椭圆上任意一点, F2 为椭圆的右焦点,求 ?F1QF2 的范围。 (3)当 QF2 ? AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P ,若 ?F1 PQ 的面积为
20 3 ,求此椭圆方程。

12、椭圆上的点与它长轴的两个端点的连线的最大夹角是它的短轴的一 个端点和长轴的二端点的连线的夹角。范围为大于 ,小于它的短轴的一个 端点和长轴的二端点的连线的夹角。 例 17、已知椭圆 C:
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,长轴的两个端点为 A、B,如 a2 b2

? 2

果 C 上有一点 Q,使 ?AQB ? 1200 ,求椭圆的离心率的取值范围。

13、点 P 在椭圆上, u ? mx ? ny ( m, n 为常数)的最大值或最小值分别 是直线 mx ? ny ? u ? 0 与椭圆相切时 u 的值。 例 18、 已知点 P( x, y) 在
x2 y2 ? ? 1 上的点, u ? x ? y 的取值范围是 则 144 25



14、点 P 在椭圆上, u ?

y?m ( m, n 为常数)的最大值或最小值分别是 x?n

直线 y ? u ( x ? n) ? m 与椭圆相切时的斜率。 例 19、点 P( x, y) 在椭圆 4( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 上,则 值 。 例 20、点 P( x, y) 在椭圆 值 。
x2 y2 x?6 ? ? 1 上,则 t ? 的最大值 25 9 y?4
y 的最大值 x

,最小

,最小

15 、 y ?

x0 ? a cos x 的 最 大 值 或 最 小 值 是 直 线 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 与 椭 圆 y 0 ? b sin x

? x ? a cos? 相切时切线的斜率。 ? ? y ? b sin ?

例 21、求 y ?

3 ? sin x 的最大值、最小值 4 ? 2 cos x

16、椭圆的平行弦、过定点弦等弦长最值问题及有关弦长的最值问题: 例 22、求直线 y ? kx ? 1 被椭圆
x2 ? y 2 ? 1 所截得弦长的最大值。 4

y2 例 23、P, Q, M , N 四点均在椭圆上,椭圆方程为: ? x 2 ? 1 ,F 为椭圆在 y 2

轴正半轴的焦点,已知 PF, FQ 共线, MF, FN 共线,且 PF ? PF2 1 四边形 PMQN 面积的最小值。 17、利用方程元的范围求有关最值问题:

? 0 ,求

例 24、已知椭圆方程为 同两点 A、B, P A ? 18、其它有关最值 例 24、 P 为椭圆:

x2 ? y 2 ? 1 ,求过点 P(0,2)的直线交椭圆于不 2

? P B,求 ? 的取值范围。 ? ? [ 1 ,]) ( 3
3

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一动点,若 A 为长轴的一个端点, a2 b2

B 为短轴的一个端点,当四边形 OAPB

面积最大时,求 P 点的坐标。

例 25、已知椭圆
M

x2 y2 ? ? 1 和直线 l : x ? y ? 9 ? 0 ,在 l 上取一点 M ,经过点 12 3

且以椭圆的焦点 F1 , F2 为焦点作椭圆,当 M 在何处时所作椭圆的长轴最短,

并求此椭圆方程。 例 26、 设椭圆
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点为 A(0, b), B(a,0) , 右焦点为 F , a2 b2

且 F 到直线 AB 的距离等于它到原点的距离,求离心率的取值范围。
x2 y2 ( 例 27、已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0),F1 ,F2 为其左右焦点,P 为椭 a b

圆 C 上一点, PF2 ? x 轴,且 ?PF1F2 的正切值为 (1)求椭圆 C 的离心率。

3 4

(2) 过焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于点 M、N , ?F1MN 面积的最大值为 3, 若 求椭圆 C 的方程。 解: x ? c 代入
b2 x2 y2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0)得: y ? ? ( a a2 b
3 4

又 ?PF1F2 的正切值为 ,所以 P(c ,

b2 b2 3 a2 ? c2 3 ? ? ? ),即 2ac 4 2ac 4 a

注意到 0 ?

c c 1 ? 1 ,所以 ? a a 2

(2)设 M (x 1 ,y 1 ), N (x 2 ,y 2 ),过焦点 F2 的直线 l 的方程为 x ? my ? c ,代入 椭圆方程得:
(my ? c )2

a2
y1 ? y 2 ?

?

y2 (my ? c )2 y2 ? 1? ? 2 ? 1 ? (3m 2 ? 4) 2 ? 6mcy ? 9c 2 ? 0 y b2 4c 2 3c

? 6mc ? 9c 2 , y 1y 2 ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

S ?F1MN ?

1 ? 2c(| y 1 | ? | y 2 |) ? c | y 1 ? y 2 |? c (y 1 ? y 2 )2 ? 4y 1y 2 2

? 6mc 2 36c 2 4m 2 ? 4 m2 ? 1 2 2 ?c ( 2 ) ? 2 ? 6c ? 12c 3m ? 4 3m ? 4 (3m 2 ? 4)2 9m 4 ? 24 m 2 ? 16

? 12c

2

m2 ? 1 ? 12c 2 2 2 2 9(m ? 1) ? 6(m ? 1) ? 1

1 9(m 2 ? 1) ? 1 ?6 m2 ? 1

设 u ? 9(m 2 ? 1) ?

1 1 ,t ? m 2 ? 1 ,则 u ? 9t ? (t ? 1) t m ?1
2

u ?? 由于 u(t )在[1, )上是增函数, 所以 u ? u(1) ? 10 , ? 1 时取等号, m ? 0 即

时取等号,此时有 S ?F MN ? 12c 2
1

1 ? 3c 2 ,又 ?F1 MN 面积的最大值为 3, 10 ? 6

?a ? 2 ? 3c 2 ? 3 ? c ? 1 ? ? ?b ? 3

故椭圆 C 的方程为:

x2
4

?

y2
3

? 1


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