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指数函数预习


第二章
3.1
3.1.1 要点聚焦 1. 整数指数幂的概念:

基本初等函数
指数与指数函数

有理指数幂及其运算(1)

an ? a ? a ? a ??? a (n ? N? )
n

2. 整数指数幂的性质: (1) am ? an ? am?n (m, n ? Z ) (2) (am )n ? am?n (m, n ? Z ) (3) (ab)m ? am ? bm (m ? Z ) (4) a0 ? 1(a ? 0) (5) a
?n

?

1 (a ? 0, n ? N ? ) an

说明:因为

am am m ?n ? a m ? n 可以归入性质(1) ? a ? a 所以 。 n n a a

经典题例 例 1 求下列各式的值: (1)

1 1 1 (2a ?3b?2 )(?3a ?1b) ? ? ; (2) a ?b a ?c b ?a b ?c c ?a ?4 ?3 1? x ? x 1? x ? x 1 ? x ? x c ?b 4a b

分析: (1)直接用性质求解; (2)直接通分很烦,想办法把分母化为相同。 解:

3 0 2 3 2 ?6a ?4 b?1 (1)原式= =? a b =? b ?4 ?3 2 2 4a b
(2)原式=

x?a

x?a x ?b x?c ? ? =1. ? x ?b ? x ? c x ?b ? x ? a ? x ? c x ? c ? x ? a ? x ?b

点评:灵活运用性质进行观察与分析是解决本题的关键. 例2 已知 x ? x
2 ?1

? 3 .求下列各式的值:
(2) x ? x
3 ?3

(1) x ? x ;

?2

分析: (1)把已知平方或把所求式子配方即可;(2)把已知立方或把所求式子用立方和公 式展开即可. 解:
?1 2 ?1 (1) x ? x = ( x ? x ) ? 2 x ? x = 3 ? 2 =7
2 ?2

2

(2) x ? x = ( x ? x?1 )( x2 ? x ? x?1 ? x?2 ) =3(7-1)=18.
3

?3

点评:通过观察已知与未知的关系,正确运用乘法公式是解决本题的关键. 星级提速★ 1.下列各式中计算正确的是( (A). 2a ? 2a ? 2a
2 3 5

)
?2

(B). 2a

?

1 2a 2

(C). (5a3 )2 ? 25a6

(D). (?a2 )2 ? a ? a4

2.若 (am?1bn?2 ) ? (a2n?1b2m ) ? a5b3 ,则 m ? n ? ______. 3. 计算下列各式的值:

? 3a 2 b ?2 c ?3 ?2 ? ) ? (1) 4a b (a b ? a b ? 2 ab) ; (2) ?( 2 ?1 ? 2x y ?
?2 3 2 ?3 ?2 3 ?2

3

星级提速★★ 1. 化简: (?a2 )n ? (?an )2 (n ? Z )

? 2.(1993 年全国高考题)设 a, b, c ? R ,且 3 ? 4 ? 6 ,那么(
a b c

).

(A).

1 1 1 ? ? c a b

(B).
2004

2 2 1 ? ? c a b
2003

(C).

1 2 2 ? ? c a b

(D).

2 1 2 ? ? c a b

3.比较大小: 2003 4.设 x ? x
3 ?3

____ 2004

(填“>”或“<”号).

? 2 ,求 x ? x ?1 的值.

星级提速★★★

已知f ( x) ?

ax , ax ? a 1 2 求f ( )? f ( )? 1001 1001

999 1000 f( )? f ( )的值 1001 1001

趣味数学 一架飞机从 A 城飞往 B 城,然后返回 A 城。在无风的情况下,它整个往返飞行的平均地 速(相对于地面的速度)为每小时 100 英里. 假设沿着从 A 城到 B 城的方向笔直地刮着一股持续的大风。 如果在飞机往返飞行的整个 过程中发动机的速度同往常完全一样,这股风将对飞机往返飞行的平均地速有何影响? 怀特先生论证道:“这股风根本不会影响平均地速。在飞机从 A 城飞往 B 城的过程中, 大风将加快飞机的速度,但在返回的过程中大风将以相等的数量减缓飞机的速度.” “这似乎言之有理,”布朗先生表示赞同,“但是,假如风速是每小时 l00 英里.飞机 将以每小时 200 英里的速度从 A 城飞往 B 城, 但它返回时的速度将是零! 飞机根本不能飞回 来!” 你能解释这似乎矛盾的现象吗? 3.1.1 要点聚焦
m

有理指数幂及其运算(2)

1.正数的正分数指数幂的意义: a n ?

n

a m (a>0,m,n∈N*,且 n>1)

要注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式; 二是根式与分数指数幂可以进 行互化.另外,我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定. 2.规定: (1) a
? m n

?

1 a
m n

(a>0,m,n∈N ,且 n>1);

*

(2)0 的正分数指数幂等于 0; (3)0 的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当 a ? 0 时, 整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数 r 、 s ,均有下面 的运算性质. 3.有理指数幂的运算性质:

a m ? a n ? a m? n (m, n ? Q); (ab)n ? a n bn (n ? Q)

(a m )n ? a mn (m, n ? Q)

说明:若 a>0,P 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算 性质,对于无理数指数幂都适用 经典题例 例 1 计算下列各式(式中字母都是正数)
2 1 1 1 1 5

p

(1)(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 );
1 1

(2)[(e x ? e ? x ) 2 ? 4] 2 ? [(e x ? e ? x ) 2 ? 4] 2
分析 (1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘 除,并且要注意符号。 (2)利用乘法公式并结合分数指数幂的运算性质解题。

2

1

1

1

1

5



(1)(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ? [2 ? (?6) ? (?3)]a 3               = 4ab0 ? 4a
1 2 1 2

2 1 1 ? ? 2 6

b2

1 1 5 ? ? 3 6

(2)原式= ? ?e ? e
2x

?2 x 1

? 2 ? 4? ? ?? ?e ? e
2x 1

?2 x

? 2 ? 4? ?

x ?x 2 2 x ?x 2 2 =? ?(e ? e ) ? ? ?? ?(e ? e ) ? ? x ?x x ?x x =e ? e +e ? e =2e

例2

⑴ (3 25 ? 125) ? 4 5 ⑵ a
3 9 2

a?3 ?
2 3

3

a?7 3 a13
1 2 1 3 1 2 1 ? 4 3 1 ? 4 5 5

分析 解

先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算。 ⑴原式= (5 3 ? 5 2 ) ? 5 4 ? 5 3 ? 5 4 ? 5 2 ? 5 4 ? 5 3 = 12 55 ? 4 55 ? 12 55 ? 54 5 ;

? 52

? 512 ? 5 4

⑵原式= [a (a ) ] ? [(a ) (a ) ]
9 1
1 3

9 2

1 ?3 2

1 3

1 ?7 3 1

1 1 13 3 2 1 1

?3 ?7 13 = [a 2 (a ) 2 ] ? [(a ) 3 (a ) 3 ]2 = a ? 1
0

点评 利用分数指数幂来进行根式计算, 其顺序是先把根式化为分数指数幂, 再根据幂 的运算性质进行计算;对于计算结果,若没有特别要求,就用分数指数幂的形式表示,若有 特殊要求,可根据要求给出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又 含有负指数 星级提速★

100 1. 求值: 8 =_____;
2. (
3 6

2 3

?

1 2

1 ?3 16 ? 3 ? _____;( ) ? _____;( ) 4 ? _____ 4 81

a9 )4 ( 6
16

3

a 9 ) 4 等于( )
B. a
8

A. a

C. a

4

D. a

2

3.把下列根式用指数形式表示出来,并化简

(1) 5 a 2a ? _________________ .
6

(2)

x

x3 x

? _________________ .

3.计算 : 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

4.化简 : ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 )

1

1

1

1

星级提速★★ 1. 设 a ?
? 1 (1999 n ? 1999 n )(n ? N ? ) ,那么 ( 1 ? a 2 ? a)n 的值是( ) 2
?1

1

1

(A). 1999

(B). ? 1999
? 1 16 ? 1

?1

(C). (?1)n 1999
? 1 ? 1

(D). (?1)n 1999?1

2.(1 ? 2

?

1 32

)(1 ? 2 ) ;

)(1 ? 2 8 )(1 ? 2 4 )(1 ? 2 2 ) ? ( B.(1 ? 2
1 ? 32 ?1

)
1 ? 1 32 D. (1 ? 2 ) 2

1 A. (1 ? 2 2
3.
a ?b c ? a

1 ? 32 ?1

) ;

C.(1 ? 2

1 ? 32

);

xb ?c ? b ?c a ?b x c ? a ? c ?a b ?c x a ?b =___________.

4.求下列各式的值:
3

(1).

xy 2

6

x5 4 y 3

;

2 3 ? ( ) ?2 ? 4?1 3 (2) 1 2 ? ( )?1 5

5.已知: 2 3 ? 2 3 ? 6 ,求证: (a ? 1)(d ? 1 ) ? (b ? 1)(c ? 1)
a b c d

星级提速★★★

.设 mn ? 0 , x ?

2 x2 ? 4 m n ,化简: A ? . ? n m x ? x2 ? 4

趣味数学 一对漂亮的姐妹生来爱说谎.姐姐在中午以前都说实话,午后开始撒谎;妹妹则正好相 反,午前说谎,午后恢复正常.有人问: “两位当中谁是姐姐?”胖的说: “是我. ”瘦的也 说: “是我. ”再问: “现在几点钟?”胖的说: “快到中午了. ”瘦的说: “已过中午了. ”请

问:现在究竟是早上还是下午?哪个是姐姐? 3.1.1 经典题例 已知: a ? 2 7 , b ? 5 2 ,求 有理指数幂及其运算(3)
3 2 4 3 4 3

例1

a b ? 9b
3 2 ?2 3 4 ?

?2

a b ? 6a b ? 9b
解 由a b
3 2 ?2

1 3

?

b3 a ? 3b
3 4 5 3

的值.

? 6a b
3 4

3 4

?

1 3

? 9b ? (a b ? 3b ) ,
5 3 3 4 ?1

4 3

3 4

?1

2 3 2

又 1 ? a ? b ,∴ a ? a ? 3b ,从而得 a b
3 10 3 10

? 3b ,
b2

2 3

∴原式=

a 2 ? 9b 3 3b ? a b
2 3 3 4 ?1

?

b a ? 3b
3 4 5 3

=

a 2 ? 9b 3 3b ? a
5 3 3 4

?

a ? 3b

3 4

5 3

=

(a ? 9b )b 2 9b ? a
2

3 2

10 3

10 3

3 2

? ?b 2 ? ?(5 2 ) 2 ? ?50 .

点评:指数概念扩充后,初中所学的乘法公式和因式分解等变形技巧同样适用.
2 1 2

2

1

2

2

例 2 已知 a 3 ? b 3 ? 4 , 值.
1 1

x ? a ? 3a 3 b 3 , y ? b ? 3a 3 b 3 .求 ( x ? y) 3 ? ( x ? y) 3 的

解:设

a 3 ? A , b 3 ? B 则有, x ? A3 ? 3 AB2 ,

y ? B3 ? 3A2 B ,

x ? y ? ( A ? B )3 ,
2 3 2 3

x ? y ? ( A ? B)3 .所以,
2 2
2 2

( x ? y) ? ( x ? y) = ( A ? B) + ( A ? B) =2( A ? B )=2( a ? b )=8.
点评:本题是从整体上寻求已知和未知的联系,大家应从中体会整体思想解题的灵活性. 星级提速★ 1.求下列各式的值: (1) 2
a b

2 3

2 3

1 2

(2) (
2 a ?b

64 49

)

?

1 2

(3) 10000 4

?

3

(4) (

125 ? 3 ) 27

2

2. 3 ? 2,3 ? 5,3

? ___________.

3.计算下列各式:

1 3 1 (1)16 ? ( ) 4 ? ( )?3; 16 2

1 2

4 0? ? (2)- 5+3 ? ( ) ? 15 ? ? ?

-2

4 ?4 ?1 5.(a 3 ? a ?3 )(a 3 ? a ?3 ) ? ? ?( a ? a ? 1)(a ? a ) ? ?

星级提速★★ 1.化简: (a 2 ? 2 ? a ?2 ) ? (a 2 ? a ?2 )

2.求下列各式的值:
2 ()( 1 8)3 ? (3 102) ? 105 2 - 9

(2)
3

a ? 83 a ? b a 2 ? 2 3 ab ? 4b
2 3

4 3

? (1 ? 2 3

b ) a

3.化简 : ( x 2 ? x 4 ? 1)( x 2 ? x 4 ? 1)( x ? x 2 ? 1)

1

1

1

1

1

a3 x ? a ?3 x 4.已知 : a ? 0, a 2 x ? 3, 求: x 的值. a ? a? x

5.化简:

x ?1 x ? x ?1
2 3 1 3

?

x ?1 x ?1
1 3

?

x?x
1 3

1 3

x ?1

1 ; 并求当x= 时此式的值 8

星级提速★★★

22003 的十进制表示是个 p 位数, 52003 的十进制表示是个 q 位数,则 p ? q =
趣味数学 烧一根不均匀的绳需用一个小时,如何用它来判断半个小时? 3.1.2 要点聚焦 1.指数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R . 探究 1:为什么要规定 a ? 0 且 a ? 1 呢?
x x ①若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, a ? 0 ;当 x ? 0 时, a 无意义.

指数函数(1)

x x ②若 a ? 0 ,则对于 x 的某些数值,可使 a 无意义 . 如 (?2) ,这时对于 x ?

1 , 4

x?

1 ,?等等,在实数范围内函数值不存在. 2

x ③若 a ? 1 ,则对于任何 x ? R , a ? 1 ,是一个常量,没有研究的必要性. x 为了避免上述各种情况,所以规定 a ? 0 且 a ? 1 .在规定以后,对于任何 x ? R , a

都有意义,且 a ? 0 . 因此指数函数的定义域是 R ,值域是(0,+∞).
x

探究 2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式 y ? a 中, a 的系数是 1.
x
x

x 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 y ? a ? k ( a ? 0 且 a ? 1 , k ? Z );有

些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如 y ? a 化为 y ? ? ? ,其中

?x

( a ? 0 且 a ? 1 ),因为它可以

?1? ?a?

x

1 1 ?0且 ?1 a a

2.指数函数的图象和性质:

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质。
a ?1
6

0 ? a ?1
6 5 5

图 象
1

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

图 2-1 (1)定义域: R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x ? 0 时, y ? 1 (4)在 R 上是增函数 经典题例 例 1 求下列函数的定义域、值域:
1

图 2-2

(4)在 R 上是减函数

⑴ y ? 0.4 x ?1 分析 值范围

⑵y ?3

5 x?1

函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围,而值域是 y 的取

1



(1)函数 y ? 0.4 x ?1 由 y ? 0.4 和u ?
u

1 复合而成,由 x-1≠0 得 x≠1, 所以, x ?1

所求函数定义域为 (??,1) 又

(1, ??) ;

u?

1 ? 0,? y ? 1 ,故函数的值域为 (0,1) (1, ??) . x ?1

⑵该函数看成由函数 y ? 3u 和u ? 5x ?1 复合而成. 由 5x ? 1 ? 0 得 x ? 又由

1 1 ,所以,所求函数定义域为 [ , ??) ; 5 5

5x ?1 ≥0 得 y ? 1 ,所以,所求函数值域为 [1, ??) .

点评 充分利用指数函数的图像和性质是解题的关键,并注意书写步骤与格式的规范 性. 例 2 比较下列各题中两个值的大小: ① 1 .7
2.5

, 1.7 ;

3

② 0.8

?0.1

, 0.8

?0.2



③ 1 .7

0.3

, 0 .9

3 .1

分析 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的两个值是哪 个指数函数的两个函数值;对不同底数幂的大小比较可以与中间值进行比较.



① 1 .7

2.5

3 x 与 1.7 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y= 1.7 ,当 x ? 2.5 和 3 时的函

x 2.5 3 数值;因为 1.7 ? 1 ,所以函数 y= 1.7 在 R 是增函数,而 2.5 ? 3 ,所以, 1.7 < 1.7 ; ?0.1 ?0.2 x 的底数是 0.8,它们可以看成函数 y= 0.8 ,当 x ? ?0.1 和-0.2 时 x

② 0.8

与 0.8

的函数值;因为 0 ? 0.8 ? 1 ,所以函数 y= 0.8 在 R 是减函数,而 -0.1>-0.2 ,所以,

0.8 ?0.1 < 0.8 ?0.2 ;
③由指数函数的性质知: 1.7
0.3

>1; 0.9

3 .1

<1;所以, 1.7

0.3

> 0 .9

3 .1

.

点评 同底数幂大小的比较的基本步骤: (1) 确定所要考查的指数函数 (2) 根据底数情况指出指数函数的单调性 (3) 比较指数的大小,利用函数单调性得出同底数幂的大小关系 不同底数幂的大小比较常常利用中间量. 星级提速★ 1. 比较大小: (1) 3
0 .8

3 0 .7
1

(2) 0.7

?0.1

0 .7 0 .1 .

2.求下列函数的定义域和值域: (1) y ? 3 x ;
x

(2) y ? 5

x ?1

. ;

3. (1)函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)的图象必过定点 (2)函数 y ? a (3)函数 y ? a
x ?2

( a >0 且 a ≠1)的图象必过定点

x ?3

? 2 ( a >0 且 a ≠1)的图象必过定点

(4)函数 y ? a ? (b ? 1) ( a >0 且 a ≠1)的图象不经过第二象限,则 a 、b 必满足条
x

件 4. (1994 年高考题)某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 3 个小时,这种细菌由 1 个可繁殖成 ( ) A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个

星级提速★★ 1.将下列各数从小到大排列起来:

2 ? 3 3 6 5 ? ( ) 3 , ( ) 2 , ( ) 3 , ( )0 , ( ?2)3 , ( ) 3 . 3 5 2 7 3

1

1

2

1

2.设

1 1 1 ? ( )b ? ( ) a ? 1,则( 2 2 2
a b a

)
b

A. a < a < b

B. a < b < a

a

a

C. a < a < b

b

a

a

D. a < b < a . ① ② ③ ④

b

a

a

3.如图,指数函数① y ? a x ,② y ? b x ,③ y ? c x ,④ y ? d x 的图象则有 () A. a ? b ? 1 ? c ? d C. 1 ? a ? b ? c ? d B. b ? a ? 1 ? d ? c D. a ? b ? 1 ? d ? c .

4.若 f (52 x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125 )?

5. y ? (2a 2 ? 4) x 是一个指数函数,求实数 a 的取值范围.

6.函数 y ? 4x ? 3 ? 2x ? 3 的值域为[1,7],试确定 x 的取值范围。

星级提速★★★ 已知不等式 ( )

1 2

ax 2 ? 4

? 2ax 对一切实数x均成立,求a的取值范围。

趣味数学
? ? ? ? ? ? ? ? ?

请仅用一笔画四根直线,将上图 9 个点全部连接. 3.1.2 要点聚焦 1. a ? 1 时,y ? a 是增函数;0 ? a ? 1时, y ? a 是减函数 。求复合函数的单调性应遵循
x x

指数函数(2)

“同增异减”的原则. 2.函数最值问题:利用指数函数的单调性求最值.

经典题例 例1 设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) 2 ?1
x

(1)试证明对于任意 a , f ( x) 为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数. 分析 此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求 学生注意不同题型的解答方法。 证明 ⑴设 x1 , x 2 ∈R,且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?


2 2 ) ? (a ? x2 2 ?1 2 ? 1)
x1

?

2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? ? 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x

由于指数函数 y= 2 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 , 所以

2 x1 ? 2 x2 即 2 x1 ? 2 x2 <0,
x x
x

又由 2 >0 得 2 1 +1>0, 2 2 +1>0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f ( x) 为增函数。 点评 上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性.

(2)若f ( x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x) 即a 2 2 ? ?( a ? x ) 2 ?1 2 ?1 x ?1 2 2 2(2 x ? 1) 变形的: 2a ? ? x ? ? x (2 ? 1)2 x 2 x ? 1 2 ?1
-x

解得 : a ? 1 所以当a ? 1时,f ( x)为奇函数 点评:此题并非直接确定a的值,而是由已知条件逐步推导a值 1 例2.当9 x ? 10 ? 3x ? 9 ? 0时,求函数f ( x) ? 41? x ? ( ) x ? 2的最大值与最小值 2

x 2 x 由 9 ? 10 ? 3 ? 9 ? 0 ,得 (3 ) ?10 ? 3 ? 9 ? 0 ,
x x

?1 ? 3x ? 9即30 ? 3x ? 32 ,?0 ? x ? 2
又 f ( x) ? 4( ) x ? 4( ) x ? 4 ?( ) x ? ? 4( ) x .令t ? ( ) x , 则 ? t ? 1 4 2 2 2 4 ? 2 ?

1

1

? 1 ?

2

1

1

1

1 1 原函数可化为y ? 4t 2 ? 4t ? 4(t ? ) 2 ? 1( ? t ? 1); 2 4 1 由二次函数图像可知当t ? 时,ymin ? ?1;当t ? 1时,ymax ? 0 2
点评 闭区间上的指数函数在区间的端点处取得最值, 在闭区间的二次函数的最值在端 点或顶点处取得,用换元法解题时,注意新变量的取值范围。 星级提速★ 1.若 x0 是方程 2 ?
x

1 的解,则 x0 ∈ x



) D.(0.9,1)

A.(0.1,0.2) B.(0.3,0.4) 2. F ( x) ? (1 ?
x

C.(0.5,0.7)

2 ) ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( ) 2 ?1
B.可能是奇函数,也可能是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数 。

A.是奇函数 C.是偶函数 3.若 a 2 ? a
3 2

,则 a 的取值范围是

4.函数 y ? 32?3x 的单调递减区间是 5.函数 y ? ( )

2



1 3

? 2 x 2 ?8 x ?1

( ? 3 ? x ? 1 )的值域是



星级提速★★ 1.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个根,则 a 的取值范围是
x





A. (1,+ ? ) B. (0,1) C. (0,+ ? ) D. R 2.函数 y ? m 的值是 3.设 f ( x) ?
2x

? 2m x ? 1 ( m ? 0 且 m ? 1 ),在区间[-1,1]上的最大值是 14,则 m
.

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? 。求证: 2 2
2 2

(1)

? g ( x)? ? ? f ( x)?

? 1 ;(2) f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) .

4. a ? R , f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数. 2x ?1

5.已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f(x)是 R 上的增函数.

6.已知f ( x) ? a2 x ?3x?1, g( x) ? a x ?2 x?5 (a ? 0, a ? 1).试求f ( x) ? g( x)的解集

2

2

星级提速★★★ 在某 1000 个人中有 10 个人患有一种病,现要通过验血把这 10 个病人查出来,若采用 逐个人化验的方法需化验 999 次, (这里所需化验次数是指在最坏情况下化验次数,如果碰 巧,可能首先化验的 10 个人全是病人,10 次化验就够了。下面讨论的化验次数均指最坏情 况下的化验次数) . 为了减少化验次数,人们采用分组化验的办法,即把几个人的血样混在 一起,先化验一次,若化验合格,则这几个人全部正常,若混合血样不合格,说明这几个人 中有病人,再对它们重新化验(逐个化验,或再分成小组化验) 。试给出一种分组化验方法 使其化验次数尽可能地小,不超过 100 次.

参考答案 3.1.1 有理指数幂及其运算 第一课时 星级提速★1.C. 2.B 3.(1). 4 ? 4a b ? a b
?4 6 ?1 4

(2).

64b12 c18 x12 729a12 y 6

.

星级提速★★1.N 为偶数得 2a ,n 为奇数得 0, 2.B 星级提速★★★ 趣味数学 略 第二课时 500.

2n

3.> 4.-1 或 2。

1 27 星级提速★1.4; ;64; ; 10 8
星级提速★★1.A; 2.A 3.1;

2.C;

3. (1) 2 a ;(2) x
1 2 1 12

1 10

3 10

?

2 3

4.6

4.x ? y ;

1 4

1 4

4.(1) x

?

y

?

(2) ?

13 ; 6

5.证明略

?m ? n (m ? n) ? ? n 星级提速★★★1.A= ? . ?n ? m ( m ? n ) ? ? m
趣味数学 第三课时 略

星级提速★1. (1) 2 ; (2) 4.. a ?

7 1 9 ; (3) ; (4) ; 8 1000 25

2.

4 1 ; 3.(1)-12,(2) . ; 5 4

1 a

星级提速★★1.

a2 ?1 a2 ? 1
2004

2. (1)

2 1 1 ? 10 2 (2) a 3 2

3.x ? x ? 1;
2

4.

7 3

? 3 x; ? 5.

1 2

星级提速★★★ 趣味数学 略 第一课时

3.1.2 指数函数 2. (1)定义域 x x ? 0, x ? R? ;值域 y y ? 0且y ? 1, y ? R?

星级提速★1. (1)>; (2)>;

?

?

(2) 定 义 域 x x ? 1, x ? R? ; 值 域

?

? y y ? 1, y ? R?

3 . (1) 0,1? (2)

?

? 2,1? (3)

? ?3, ?1? (4) a ? 1且b ? 0 .4.B.
星级提速★★ 1. (?2) ? ( ) 2 ? ( )
3

3 5

1

5 3

?

1 3

6 2 ? 3 ? ( )0 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ;2.C;3.B;4.0;5 7 3 2

1

2

a ? 2且a ?

10 10 , 或a ? ? 2且a ? ? ;6. x ? (??, 0] ? [1, 2] 2 2
[0, 16  )
4. [0, ?? ?

星级提速★★★ 第二课时 星级提速★1.C 星级提速★★1.A 略

2.A 3. 0 ? a ? 1 2.

5. [3?9 ,39 ] 5. (1)奇函数;(2) ?1,1? ;(3)

1 或3 3

3. 略 4. a ? 1

?

时x ? 3或x ? 2;0 ? a ? 1时, 2 ? x ? 3 . 6. a ? 1
星级提速★★★总的化验次数不超过 85 次.


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