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2014年人教B版数学(理)一轮复习精品训练 第8章 平面解析几何9 Word版含解析]


[命题报告· 教师用书独具]

一、选择题 x2 y2 1.(2013 年揭阳模拟)过点 P(4,4)且与双曲线16- 9 =1 只有一个公共点的直 线有( ) B.2 条 D.4 条

A.1 条 C.3 条

解析:结合图形知,过 P(4,4)与双曲线只有一个公共点的直线,有两条与双 曲线相切,另两条与渐近线平行,共

4 条. 答案:D x2 y2 2.(2013 年海口模拟)若 AB 是过椭圆a2+b2=1(a>b>0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM、BM 与两坐标轴均不平行,kAM,kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率,则 kAM· kBM=( c2 A.-a2 c2 C.-b2 解析:解法一(直接法) ) b2 B.-a2 a2 D.-b2 设 A(x1,y1),M(x0,y0),则 B(-x1,-y1),

2 y0-y1 y0+y1 y2 0-y1 kAM· kBM= · = 2 x0-x1 x0+x1 x2 0-x1

2 2 ? b 2 2? ? b 2 2? ?-a2x0+b ?-?-a2x1+b ? ? ? ? ? = 2 2 x0-x1

b2 =-a2. 解法二(特殊值法) 因为四个选项为确定值,取 A(a,0),B(-a,0),M(0, b2 b),可得 kAM· kBM=-a2. 答案:B 3.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有 公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( ? 1 1? A.?-2,2? ? ? C.[-1,1] ) B.[-2,2] D.[-4,4]

解析:易知抛物线 y2=8x 的准线 x=-2 与 x 轴的交点为 Q(-2,0),于是, 可设过点 Q(-2,0)的直线 l 的方程为 y=k(x+2),当 k=0 时,y=0 与抛物线 y2
2 ?y =8x, =8x 有公共点满足题意,k≠0 时,联立? 整理得 k2x2+(4k2-8)x ?y=k?x+2?,

+4k2=0, 其判别式为 Δ=(4k2-8)2-16k4=-64k2+64≥0(k≠0 时), 可解得-1≤k<0 或 0<k≤1,又 k=0,∴-1≤k≤1,应选 C. 答案:C 1 1 4.(2013 年福州模拟)已知直线 l:y=2x+m 与曲线 C:y=2 三个交点,则实数 m 的取值范围是( A.(-2, 2) C.(1, 2)
2

|4-x2|仅有

) B.(- 2, 2) D.(1, 3)

x2 2 解析:先化简曲线 C:①当 4-x ≥0 即-2≤x≤2 时, 4 +y =1(y≥0).② x2 2 x2 2 当 4-x <0 即 x>2 或 x<-2 时, 4 -y =1(y>0),故曲线 C 表示椭圆 4 +y =1 的
2

x2 1 上半部分和双曲线 4 -y2=1 的上半部分, 双曲线一条渐近线斜率为2, 如图所示,

1 l 与这条渐近线平行,当 l 恰经过椭圆长、短轴端点时,斜率也为2,此时,曲线 C 与 l 只有 2 个公共点,当 m≤1 时,l 与曲线 C 至多有两个公共点,∴m>1.当 l 与椭圆相切时得到另一个临界值,此时,m= 2,故 m∈(1, 2)

答案:C x2 y2 5.(2013 年衡水模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),F(c,0)是它的右焦点, →· → =0, → -OB → |=2|OA → 经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, 且FA FB |OA → |,则椭圆的离心率为( -OF A. 2 C. 2-1 ) B. 3 D. 3-1

解析:设左焦点为 F1,连结 AF1,BF1,根据对称性,BF 綊 AF1,由题意知 → -OB → |= △ABF 为直角三角形,∠AFB 为直角,∴四边形 AF1BF 为矩形,由|OA → -OF → |得|BA → |=2|FA → |=|FF |,∴∠AF F=30° 2|OA ,则|AF|=c,|AF1|= 3c,∴2a 1 1 =( 3+1)c,∴e= 3-1. 答案:D 二、填空题 x2 6.(2013 年浙江五校联考)已知 F1 为椭圆 C: 2 +y2=1 的左焦点,直线 l:y =x-1 与椭圆 C 交于 A、B 两点,则|F1A|+|F1B|的值为________. x2 2 ? ? +y =1, 解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得? 2 ? ?y=x-1, 消去 y,得 3x2

4 ?4 1? -4x=0,解得 x1=0,x2=3,易得点 A(0,-1),B?3,3?.又点 F1(-1,0),因此 ? ? |F1A|+|F1B|= 12+?-1?2+ ?7?2 ?1?2 8 2 ?3? +?3? = 3 . ? ? ? ?

8 2 答案: 3 7.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(0,-1),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,-2),则直线 l 的方程为________. 解析: 由题意知, 抛物线的方程为 x2=-4y, 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 且 x1≠x2,
2 ?x1=-4y1, 2 联立方程得? 2 两式相减得 x2 1-x2=-4(y1-y2), ?x2=-4y2,



y1-y2 x1+x2 = =-1, x1-x2 -4

∴直线 l 的方程为 y+2=-(x-2),即 y=-x. 答案:y=-x ?3 ? →· → 8. 过点 P?2,-1?作抛物线 y=ax2 的两条切线 PA, PB(A, B 为切点), 若PA PB ? ? =0,则 a=________. ? 3? 解析:设切线方程为 y+1=k?x-2?,联立切线与抛物线方程并化简得 ax2 ? ? 3 -kx+2k+1=0,由题意知 Δ=0,即 k2-6ak-4a=0,又两切线垂直,所以 k1· k2 =-4a= 1 -1,故 a=4. 1 答案:4 x2 y2 9.(2013 年洛阳模拟)已知双曲线 4 -12=1 的离心率为 p,焦点为 F 的抛物 p |AF| 线 y2=2px 与直线 y=k(x-2)交于 A,B 两点,且|FB|=p,则 k 的值为________. 解析:易知 p=2,抛物线方程为 y2=4x,焦点 F(1,0),直线方程为 y=k(x ± 2 2-0 |AF| |yA| -1),∵|BF|=2,∴|y |=2,又|yAyB|=4,∴yA=± 2 2,∴xA=2,∴k= 2-1 B =± 2 2. 答案:± 2 2 三、解答题 10.(2013 年郑州模拟)已知圆 C:(x+ 3)2+y2=16,点 A( 3,0), Q 是圆

上一动点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M,设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A,B,△AOB(O 是坐标原 4 点)的面积 S=5,求直线 AB 的方程. 解析:(1)由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2 3, 所以轨迹 E 是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆, x2 2 即轨迹 E 的方程为 4 +y =1. (2)记 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意,直线 AB 的斜率不可能为 0,而直线 x=1 也不满足条件, 故可设 AB 的方程为 x=my+1.
2 2 ?x +4y =4, 由? 消去 x 得(4+m2)y2+2my-3=0, ?x=my+1,

-2m ? y + y = , 1 2 ? 4+m2 所以? 3 y1· y2=- . ? 4+m2 ? 1 1 S=2|OP||y1-y2|=2 2 m2+3 = 2 . m +4 4 由 S=5,解得 m2=1,即 m=± 1. 故直线 AB 的方程为 x=± y+1, 即 x+y-1=0 或 x-y-1=0 为所求. x2 2 11.已知椭圆 C:a2+y =1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M:(x-3)2+(y-1)2=3 相切. (1)求椭圆 C 的方程; →· → =0. (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且AP AQ 求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. ?y1+y2?2-4y1y2

解析:(1)圆 M 的圆心为(3,1),半径 r= 3. x 由题意知 A(0,1),F(c,0),(c= a2-1),得直线 AF 的方程为c+y=1,即 x +cy-c=0, 由直线 AF 与圆 M 相切得 ∴c2=2,a2=c2+1=3, x2 2 故椭圆 C 的方程为 3 +y =1. →· → =0 知 AP⊥AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直, (2)由AP AQ 1 故可设直线 AP 的方程为 y=kx+1,直线 AQ 的方程为 y=-kx+1, 将 y=kx+1 代入椭圆 C 的方程,整理得(1+3k2)x2+6kx=0, 解得 x=0 或 x= -6k , 1+3k2 |3+c-c| = 3, c2+1

2 ? -6k 1-3k ? , ? 故点 P 的坐标为 2 2?, ?1+3k 1+3k ?

k2-3? ? 6k , ? ?, 同理,点 Q 的坐标为 2 2 ?k +3 k +3? k2-3 1-3k2 - k2+3 1+3k2 k2-1 ∴直线 l 的斜率为 = 4k , -6k 6k - k2+3 1+3k2 6k ? k2-3 k2-1? k2-1 1 x - 直线 l 的方程为 y= 4k ? k2+3?+ 2 ,即 y= 4k x-2,∴直线 l 过 ? ? k +3 1? ? 定点?0,-2?. ? ? 12.(能力提升)(2012 年高考北京卷)已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m ∈R). (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y= kx+4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G,求证: A,G,N 三点共线.

解析:(1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,当且仅当 5-m>0, ? ?m-2>0, ? 8 8 > ? ?5-m m-2. 7 ?7 ? 解得2<m<5,所以 m 的取值范围是?2,5?. ? ? (2)当 m=4 时,曲线 C 的方程为 x2+2y2=8,点 A,B 的坐标分别为(0,2), (0,-2). ?y=kx+4, 由? 2 得(1+2k2)x2+16kx+24=0. 2 ?x +2y =8, 因为直线与曲线 C 交于不同的两点, 所以 Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0, 3 即 k2>2. 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=kx1+4,y2=kx2+4, -16k 24 x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 y1+2 ? 3x1 ? 直线 BM 的方程为 y+2= x x,点 G 的坐标为?y +2,1?. ? 1 ? 1 y2-2 y1+2 因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 kAN= x ,kAG=- 3x , 2 1 y2-2 y1+2 所以 kAN-kAG= x + 3x 2 1 kx2+2 kx1+6 = x + 3x 2 1 4 2?x1+x2? =3k+ x x
1 2

-16k 2× 1+2k2 4 =3k+ =0. 24 2 1+2k 即 kAN=kAG.

故 A,G,N 三点共线. [因材施教· 学生备选练习] y2 1. 设直线 l: 2x+y+2=0 关于原点对称的直线为 l′, 若 l′与椭圆 x + 4 =
2

1 1 的交点为 A,B,点 P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为2的点 P 的个数为 ( ) A.1 C.3 B.2 D.4

解析:直线 l 关于原点对称的直线 l′的方程为 2x+y-2=0,结合图形易知 直线 l′与椭圆的两个交点 A、B 分别是椭圆的长轴和短轴的两个端点,可得|AB| 1 5 = 5,因为△PAB 的面积为2,所以椭圆上的点 P 到直线 AB 的距离为 5 ,则确 5 定点 P 的个数即为求与直线 AB 平行且与 AB 距离为 5 的直线与椭圆交点的个数, 设直线方程为 2x+y+c=0,利用两平行线间的距离公式可得 c=-1 或 c=-3. 即直线方程为 2x+y-1=0,2x+y-3=0,结合图形知直线 2x+y-1=0 和椭圆 相交,而直线 2x+y-3=0 与椭圆相离,故满足条件的点共有 2 个. 答案:B 2. (2013 年泉州质检)若抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相 异的两点 A,B,则 a 的取值范围是________. 解析:设抛物线上的两点为 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的方程为 y=x+b,代 1 入抛物线方程 y=ax2-1,得 ax2-x-(b+1)=0,则 x1+x2=a.设 AB 的中点为 1 1 M(x0,y0),则 x0=2a,y0=x0+b=2a+b.由于 M(x0,y0)在直线 x+y=0 上,故 1 ? 1 ? x0+y0=0,由此得 b=-a,此时 ax2-x-(b+1)=0 变为 ax2-x-?-a+1?=0. ? ? 3 ? 1 ? 由 Δ=1+4a?-a+1?>0,解得 a>4. ? ? ?3 ? 答案:?4,+∞? ? ?


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