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江西省新余市2015届高三数学上学期期末考试试题 文


江西省新余市 2015 届高三数学上学期期末考试试题 文
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

3 ? 2 ( 1 - i) 1、复数 ( )
A. ? i

B. i

3 i C. 2

3 - i D. 2

? ? x2 M ? ? y y ? x2? , N ? ? x ? y 2 ? 1? , ? ? 2 2.已知 则M ?N ?
A. {( ?1,1), (1,1)} 3、已知函数 f ( x) ? ax B. {1}
2009

C. [0, 2]

D. [0,1] )

? b sin x ? 1, 且 f (m) ? 2, 则 f (?m) ? (

A. 0 B. 1 C. 4 D. ? 1 4.等差数列{an}的前 n 项和 Sn,若 a3+ a7-a10=8,a11-a4=4,则 S13 等于 A.152 B.154 C.156 D.158

5.函数

f ( x) ? log 2 x ?

1 x 的一个零点落在下列哪个区间(
C. (2,3)



A. (0,1)

B. (1,2)
2

D. (3,4) )

6、要得到函数 y ? 2 cos x 的图像,需要把函数 y ? sin 2 x 的图像(

?
A. 向右平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位

?
B. 向左平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位

?
C. 向左平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位

?
D. 向右平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位 7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s 值为( ) A.102 B.410 C.614 D.1638 8. 若 直 线 l : ax ? by ? 1 ? 0 始 终 平 分 圆 M : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的 周 长 , 则
2 2

? a ? 2? ? ?b ? 2?
2

2

的最小值为(



-1-

A. 5

B.5

C. 2 5

D.10

9.从抛物线 y2= 4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 点为 F,则△PMF 的面积为 A.5 10.已知函数 源。 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则错误!未找到引用源。=( B.10 C.20 D. 15

PM ? 5

,设抛物线的焦

f ( x) ? log a x ? 1 (a ? 0, a ? 1)

,若错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用



A.2 B.4 C.8 D.随 a 值变化 11.假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机,若这两条短 信进人手机的时间之差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为

4 A. 25

8 B. 25

24 C. 25

16 D. 25

12.若存在正实数 M ,对于任意 x ? (1, ??) ,都有 是有界函数.下列函数:

f ( x) ? M

,则称函数 f ( x) 在 (1, ??) 上

f ( x) ?


1 x ?1;

f ( x) ?


x x ?1;
2

f ( x) ?
③ )

ln x x ;

④ f ( x) ? x sin x

其中“在 (1, ??) 上是有界函数”的序号为(

A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、某企业共有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职 称 90 人,现采用分层抽样来抽取 30 人,则抽取高级职称人数为 14. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
2 2 15.已知直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? a 交于 A 、 B 两点, O 是原点,C 是圆

上一点,若 OA ? OB ? OC ,则 a 的值为_______ . 16.设 n 是正整数,由数列 1,2,3,?,n 分别求相邻两项的和,得到一个有 n-1 项的新数列: 1+2,2+3,3+4,?,(n-1)+n 即 3,5,7,?,2n-1.对这个新数列继续上述操作,这样得到一系 列数列,最后一个数列只有一项. (1)记原数列为第一个数列,则第三个数列的第 j ( j ? N*且1 ? j ? n ? 2) 项是______; (2)最后一个数列的项是________________________. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

-2-

2a cos A ? b cos C ? c cos B .

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 6, b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积. 18.(本题满分 12 分)从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高全部介 于 155cm 和 195m 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [ 155 , 160 ) ,第二组 [ 160 , 165 ),…,第八组[ 190 , 195 ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (1)求第七组的频率并估计该校 800 名男生中身高在 180 cm 以上 (含 180 cm)的人数; (2)从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生,记他们的身

x? y ?5 高分别为 x, y ,事件 E ? { },求 P ( E ) .

19. (本小题 12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD ,

AB ? AD ,且

AB ? AD ?

1 CD ? 1 2 .现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF ,然后沿

E 的中点, 边 AD 将正方形 ADEF 翻折, 使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,M 为 ED 如图 2.

(1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求点 D 到平面 BEC 的距离 E .
D
C

M F

D

C

A

图2
F
A B

B

图1 20(本题满分 12 分)

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 已知椭圆 E : a 的离心率为 2 ,右焦点到直线 y ? x 的距离为 3 .
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

-3-

1 (Ⅱ)已知点 M (2,1) ,斜率为 2 的直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A, B ,设直线 MA 与 MB 的
斜率分别为

k1 , k2 ; k1 , k2 的值;
② 试猜测

若直线 l 过椭圆的左顶点,求 21(本题满 12 分)

k1 , k2 的关系,并给出你的证明.

已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 3 x .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值;

(Ⅱ)证明:存在 m ? (0, ??) ,使得

1 f ( m) ? f ( ) 2 ;

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是曲线 ? 上的不同两点.如 (Ⅲ) 记函数 y ? f ( x) 的图象为曲线 ? . 设点
果在曲线 ? 上存在点

M ( x0 , y0 ) ,使得:①

x0 ?

x1 ? x2 2 ;②曲线 ? 在点 M 处的切线平行于

直线 AB,则称函数 f ( x) 存在“中值伴随切线”,试问:函数 f ( x) 是否存在“中值伴随切线”? 请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4, C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过 点 A 作 AD ? CD 于 D ,交半圆于点 E , DE ? 1. (1)求证: AC 平分 ?BAD; (2)求 BC 的长.

1 ? ? x ? cos ? C1 : ? 2 ? y ? 3 sin ? ? 23 .( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 曲 线 ( ? 为 参 数 ), 曲 线
C 2 : ? sin(? ?

?
4

)? 2

1 ,将 C1 的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标缩短为原来的 3 得到曲

线

C3 . C 3 的普通方程,曲线 C 2 的直角坐标方程;
-4-

(1)求曲线

(2)若点 P 为曲线

C 3 上的任意一点,Q 为曲线 C 2 上的任意一点,求线段 PQ 的最小值,并

求此时的 P 的坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5,不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (1)若 a=1,解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)若 a ? 1, ?x ? R, f ( x) ? | x ? 1|? 2 ,求实数 a 的取值范围。

-5-

毕业年级期末考试数学试卷(文) 答案

3
1. 【答案解析】C 解析 :解:

( 1 - i)

2

=

3 3i 3 = = i - 2i - 2i ?i 2

.故选:C.

2 . 【答案解析】C 解析:由 M 中 y=x2≥0,得到 M=[0,+∞) ,

x2 ? y2 ? 1 由N中 2 ,得到﹣ 2 ≤x≤ 2 ,即 N=[﹣ 2 , 2 ],
则 M∩N=[0, 2 ].故选:C. 3.【答案解析】A 解析 :解:令 g ( x) = ax
2009

+ b sin x ,通过观察可知 g ( x) 为奇函数,

f(m)=g(m)+1=2,∴g(m)=1,∴f(﹣m)=g(﹣m)+1=﹣g(m)+1=0, 故选:A. 4.【答案解析】C 解析:∵{an}为等差数列,设首项为 a1,公差为 d, ∴a3+a7﹣a10=a1+2d+a1+6d﹣a1﹣9d=a1﹣d=8①;a11﹣a4=a1+10d﹣a1﹣3d=7d=4②, 联立①②,解得 a1= ,d= ;∴s13=13a1+ 5【答案】B【解析】 d=156.故选 C.

f () 1 ? ?1 ? 0, f () 2 ? 1?
试题分析:∵

1 1 ? 2 2 ,∴f(1) ?f(2)<0.根据函数的实根存在定理

得到函数

f ( x) ? log 2 x ?

1 x 的一个零点落在(1,2)上故选 B.
2

6【答案解析】B 解析 :解:∵函数 y ? 2 cos x =cos2x+1=sin(2x+ ∴把函数 y=sin2x 的图象向左平移 象,故选:B.

)+1=sin2(x+

)+1,

个单位,再向上平移 1 个单位,可得函数 y=2cos2x 的图

7.【答案解析】B 解析: 输出 s=410 故选 B 8.B

?

?

?

?



9.【答案解析】B 解析 :解:根据题意得点 P 的坐标为:

? 4, 4 ? 所以

S ?PMF ?

1 1 y p PM ? ? 4 ? 5 ? 10 2 2 ,所以选 B.
y ? log a x ? 1

10.【答案】B 【解析】试题分析:如图是函数 的简图,其图象关

-6-

于直线 x ? 1 对称,由

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )

? f ( x4 ) 得: x2 ? x3 ? 2 , x1 ? x4 ? 2 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 4 .
11.【答案解析】D 解析:分别设两个互相独立的短信收到的时间为 x,y.则所有事件集可表 示为 0≤x≤5,0≤y≤5.由题目得,如果手机受则到干扰的事件发生,必有|x﹣y|≤2.三个不等式 联立,则该事件即为 x﹣y=2 和 y﹣x=2 在 0≤x≤5,0≤y≤5 的正方形中围起来的图形: 即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积 52=25,

1 阴影部分的面积 25﹣2× 2 (5﹣2)2=16, 16 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为 25 .
故选:D.

f ( x) ?
12.【答案解析】A 解析:① 故①在(1,+∞)上不是有界函数;

1 x ? 1 在(1,+∞)上是递减函数,且值域为(0,+∞) ,

1
f ( x) ?


x 1 1 x? x? x ,由于 x ? 1 (x>1)即 f(x)= x >2(x>1) ,0<f(x)< ,故|f(x)
2

|

,故存在 M= ,即 f(x)在(1,+∞)上是有界函数;

1 ? x ? ln x 1 ? ln x ln x x ? f ( x) ? 2 x x 2 ,当 x>e 时,f′(x)<0,当 0<x<e 时, x ,导数 f′(x)= ③
f′(x) >0, 故 x=e 时取极大值,也为最大值且为 ,故存在 M= ,在 (1,+∞) 上有|f (x) |≤ , 故函数 f(x)在(1,+∞)上是有界函数; ④ f ( x) ? x sin x 导数 f′(x)=sinx+xcosx 在(1,+∞)上不单调,且|f(x)|≤x,故不存在 M, 函数 f(x)在(1,+∞)上不是有界函数. 故选 A. 13.【答案解析】3 解析 :解:由 = ,

所以, 高级职称人数为 15× =3 (人) ; 中级职称人数为 45× =9 (人) ; 一般职员人数为 90× =18 (人) . 所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为 3,9,18. 故答案为:3,
-7-

14.【答案解析】 12 ? 3 解析:由三视图可知,几何体是一个五面体, 五个面中分别是:一个边长是 2 的正方形;一个边长是 2 的正三角形; 两个直角梯形,上底是 1,下底是 2,高是 2;一个底边是 2,腰长是 的等腰三角形, = 12 ? 3 .

做出五个图形的面积 故答案为: 12 ? 3 . 15.【答案】2

1 OC ? 2 ? ? 2 ??? ? ??? ? ???? 2 【解析】试题分析:由 OA ? OB ? OC 得四边形 OACB 是菱形,则 ,所
以 a ? ( 2) ? 2
2

16.【答案解析】4j+4; (n+1)?2n-2(n∈N*)

第三个数列的第 j 项是:4j+4;

an an ?1 1 ? n ?1 ? n 2 4 由题意可知最后一个数列的项 an=2an-1+2n-2(n≥2,n∈N*) ,即 2 an an 1 1 1 1 n ?1 n n 所以数列{ 2 }是首项为 2 ,公差为 4 的等差数列;则 2 = 2 + 4 (n-1)= 4 ,
所以 an=(n+1)?2n-2(n∈N*) ,即最后一个数列的项是 (n+1)?2n-2(n∈N*) . 故答案为 4j+4; (n+1)?2n-2(n∈N*) . 17 解(1)由 2a cos A ? b cos C ? c cos B 及余弦定理或正弦定理可得 所以
A?

cos A ?

1 2

?
3

??5 分

28 (2) 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36.又 b+c=8,所以 bc= 3 . 1 7 3 由三角形面积公式 S=2bcsin A,得△ABC 的面积为 3 . ??12 分

7 18【答案】 (1) 0.06 , 144 (2) 15 . 4 ? 0.08 【解析】 (1)第六组的频率为 50 ,所以第七组的频率为
1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ;
由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以 800 名男生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人 6分
-8-

(2) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B , 则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况,

x? y ?5 因事件 E ? { }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基本
事件为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 19. ( 12 分) 解: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中 点, 所以 MN ∥ CD ,且

P( E ) ?

7 15 .

12 分

1 1 MN ? CD AB ? CD 2 2 . 由已知 AB ∥ CD , ,

所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC ,所以 AM ∥平面 BEC . 6分

(2) : BE ? 平面 BDE ,所以 BC ? BE

所以

S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2

S ?BCE ?


1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

VE ? BCD ? VD ? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h.
h? S ?BCD ? DE 1 6 ? ? S ?BCE 3 6 2

1 1 S ?BCD ? DE ? ? S 3 ?BCE ? h ,所以 则3

20. 解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点 (c, 0) ,由右焦点到直线 y ? x 的距离为 3 ,解得 c ?

6

c 3 3 ? 2 2 又由椭圆的离心率为 2 , a ? 2 ,解得 a ? 8, b ? 2 ,

x2 y 2 ? ?1 2 所以椭圆 E 的方程为 8

2分

(Ⅱ) ①若直线 l 过椭圆的左顶点,则直线的方程是

l:y?

1 x? 2 2 ,

-9-

1 ? y ? x? 2 ? ? 2 ? 2 ? x1 ? 0 ? x ? ?2 2 2 ? ? 或? 2 ?x ? y ?1 ? ? y1 ? 2 ? ? y2 ? 0 2 ?8 联立方程组 ? ,解得 ? ,
k1 ? ? 2 ?1 2 ?1 , k2 ? 2 2 . ???6 分
y? 1 x?b 2 .



②设在 y 轴上的截距为 b ,所以直线 l 的方程为

1 ? y ? x?b ? ? 2 ? 2 2 ?x ? y ?1 2 ?8 由?


得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 .
2 2

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2b, x1 x2 ? 2b 2 ? 4 .
k1 ? y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2

8分



k1 ? k2 ?


y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) .



y1 ?

1 1 x1 ? b, y2 ? x2 ? b 2 2 ,

1 1 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2 所以上式分子
? x1 x2 ? (b ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(b ? 1) ? 2b 2 ? 4 ? (b ? 2)(?2b) ? 4(b ? 1) ? 0 ,


k1 ? k2 ? 0 . ???12 分

1 ?4 x 2 ? 3 x ? 1 ?( x ? 1)(4 x ? 1) f '( x) ? ? 4 x ? 3 ? ? ( x ? 0) x x x 21. 解: (I) ,f '( x) ? 0 ? x ? 1 ,
x ? (0,1) 时 f '( x) ? 0, x ? (1, ??) 时 f '( x) ? 0, 故 x ? 1 时 f ( x) 有 极 大 值 1 , 无 极 小
值. ???2 分 (Ⅱ)构造函数:

1 1 3 F ( x) ? f ( x) ? f ( ) ? ln x ? 2 x 2 ? 3 x ? ( ? ln 2 ? ? ) ? ln x ? 2 x 2 ? 3 x ? ln 2 ? 1 2 2 2 ,

- 10 -

1 f (1) ? f ( ) 2 2 ,故 F (1) ? 0 ,又 F (e) ? ?2e ? 3e ? ln 2 ? e(3 ? 2e) ? ln 2 ? 0 ,所 由( I )知
以函数 F ( x) 在区间 (1, e) 上存在零点.即存在 m ? (1, ??) ,使得 分 ( Ⅲ
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 ? 2( x12 ? x2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ln x1 ? ln x2 ? ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 3 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

1 f ( m) ? f ( ) 2 . ???6


k AB ?

? f '( x0 ) ?

x ?x 1 2 ? 4 x0 ? 3 ? ?4 1 2 ?3 x0 x1 ? x2 2 ,

假 设 存 在 “ 中 值 伴 随 切 线 ” , 则 有

k AB ? f '( x0 )

, 可 得

x1 ?1 ln x1 ? ln x2 x1 x1 ? x2 x1 x2 2 ? ? ln ? 2 ? ? ln ? 2 ? x1 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x2 ?1 x2 ,
x1 t ?1 t ?1 ?t ln t ? 2 ? g (t ) ? ln t ? 2 ? , ? ? 0 x t ? 1 ,构造 t ?1 令 2 不妨设 x2 x1 则 0?t ?1 ,则

1 4 (t ? 1) 2 g '(t ) ? ? ? ?0 2 2 t ( t ? 1) t ( t ? 1) 有 恒成立,故函数 g (t ) 单调递增,且 g(1)=0 无零点,
所以函数 f ( x) 不存在“中值伴随切线” . ???12 分 22【答案解析】 (1)见解析(2) BC = 2 解析 :解: (1)连接 OC ,? OA ? OC ,? ?OAC ? ?OCA, 又

? CD











线



? OC ? CD,? AD ? CD,

? OC // AD,? ?OCA ? ?CAD, ?OAC ? ?CAD,
? AC 平分 ?BAD;
5分 (2)连接 CE , 由(1)知 BC ? CE ,

? A, B, C , D 四 点 共 圆 , ?B ? ?CED,? cos B ? cos ?CED
10 分

?

DE CB ? ,? BC ? 2. CE AB

- 11 -

23【答案】 (1)曲线 【解析】 (1)曲线

C 3 : x ? y ? 1 ,曲线 C 2 : x ? y ? 2 ; (2) 2 ? 1 ,
2 2

P(

2 2 , ) 2 2 .

C 3 : x 2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C 2 : x ? y ? 2

5分

(2)设 P( cos ? , sin ? ) ,则线段

PQ

的最小值为点 P 到直线 x ? y ? 2 的距离。

? PQ min ?

0?0?2 1?1

?1 ? 2 ?1

p(

2 2 , ) 2 2

10 分

- 12 -


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