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数学5年真题备考题库 第五章 第1节 数列的概念与简单表示法 理(含解析)


第5章 第1节

数列

数列的概念与简单表示法

2 1 1. (2013 新课标全国Ⅰ,5 分)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 3 3

an=________.
解析:本题考查等比数列的定义、Sn 与 an 之间的关系,意在考查考生利用分类讨论思想 和等比数列的定义求解 an 的能力. 求解本题时, 按照 n=1 和 n≥2 两种情况分类解答, 当 n≥2 2 1 时,由已知得到 Sn-1= an-1+ ,然后作差得 an 的表达形式,再利用等比数列的定义和通项公 3 3 2 1 2 1 式求解.当 n=1 时,由已知 Sn= an+ ,得 a1= a1+ ,即 a1=1;当 n≥2 时,由已知得到 3 3 3 3 1? ? 2 1? 2 2 1 2 ?2 Sn-1= an-1+ ,所以 an=Sn-Sn-1=? an+ ?-? an-1+ ?= an- an-1, 所以 an=-2an-1,所以 3? ? 3 3? 3 3 3 3 ?3 数列{an}为以 1 为首项,以-2 为公比的等比数列,所以 an=(-2) 答案:(-2)
n-1 n-1

.

2. (2013 江西,5 分)正项数列{an}满足:an-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?n+1?an 解:本题主要考查数列的概念、一元二次方程、裂项求数列的和,旨在考查考生的转化、 化归能力与运算求解能力. (1)由 an-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 (2)由 an=2n,bn= , ?n+1?an 则 bn= 1 1 ? 1 1?1 = ? - ?. 2n?n+1? 2?n n+1? 1 1 1 1 1 1 1
2

2

? ?= - + - Tn= ?1- + - +?+ n-1 n n n+1? 2? 2 2 3 ?
1 ? 1? n 1- . ? ?= 2? n+1? 2?n+1? 3. (2010 安徽,5 分)设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( A.15 C.49 解析:a8=S8-S7=8 -7 =15.
2 2 2

)

B.16 D.64

答案:A 4. (2012 湖北,5 分)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石 子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3,6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn}.可以推测: (1)b2012 是数列{an}中的第________项; (2)b2k-1=________.(用 k 表示) 解析:求出数列{an},{bn}的通项公式.由题意可得 an=1+2+3+?+n=

n?n+1?
2



n∈N*, 故 b1=a4, b2=a5, b3=a9, b4=a10, b5=a14, b6=a15, 由上述规律可知: b2k=a5k=
?5k-1??5k-1+1? 5k?5k-1? (k 为正整数),b2k-1=a5k-1= = , 2 2 故 b2 012=b2×1 006=a5×1 006=a5 030,即 b2 012 是数列{an}中的第 5 030 项。 5k?5k-1? 答案:(1)5 030;(2) 2

5k?5k+1? 2

5. (2010 辽宁, 5 分) 已知数列{an}满足 a1=33, an+1-an=2n, 则 的最小值为________. 解析:在 an+1-an=2n 中,令 n=1,得 a2-a1=2; 令 n=2 得,a3-a2=4,?,an-an-1=2(n-1). ?2+2n-2??n-1? 把上面 n-1 个式子相加, 得 an-a1=2+4+6+?+2(n-1)= = 2

an n

n2-n,
∴an=n -n+33. ∴ =
2

an n2-n+33 33 =n+ -1≥2 33-1, n n n n

33 * 当且仅当 n= ,即 n= 33时取等号,而 n∈N , ∴“=”取不到. ∵5< 33<6,

an 33 53 ∴当 n=5 时, =5-1+ = , n 5 5 an 33 63 21 当 n=6 时, =6-1+ = = , n 6 6 2



53 21 > , 5 2

an 21 ∴ 的最小值是 . n 2
21 答案: 2


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