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山东省青岛开发区一中2014届高三12月月考(数学文)


文科数学

2013.12

本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答 题卡—并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷 规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。山东中学联盟 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 锥体的体积公式: V ? 球的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, ,h 是锥体的高。 3

4 ? R 3 ,其中 R 是球的半径。 3

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (1)设集合 A ? ? x |

? ?

1 ? ? x ? 2? , B ? ?x | x 2 ? 1? ,则 A ? B ? 2 ?
(B) ?x | ?1 ? x ? 2? (C) ? x |

(A) ?x |1 ? x ? 2?

? ?

1 ? ? x ? 1? (D) ?x | ?1 ? x ? 1? 2 ?

(2)若函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 1 ?ln x, x ? 1
(B)1

则 f ((e)) (e 为自然对数的底数)= (D) ln(e2 ? 1)

(A)0

(C)2

(3)已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? (A)

4 3

(B)

3 4

3 ,则 tan(? ? ? ) 的值是 5 4 (C) ? 3

(D) ?

3 4 a b ? ? 2 ;③若 a ? b , b a

2 2 (4)已知 a, b, c ? R ,给出下列命题: ①若 a ? b ,则 ac ? bc ;②若 ab≠0,则

2 2 则 a ? b ; 其中真命题的个数为

(A)3 (5)函数 y ? 2sin(

(B)2

(C)1

(D)0

?
2

? 2 x) 是
(B) 最小正周期为 ? 的偶函数

(A)最小正周期为 ? 的奇函数

(C) 最小正周期为

? 的奇函数 2

(D) 最小正周期为

? 的偶函数 2

(6)设数列 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和,已知 a2 a4 ? 1, S3 ? 7 ,则 S5 ? (A)

15 2
x

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

(7)函数 f ( x) ? x2 ? 2 的大致图象为

(8)已知函数 f ( x) ? a log 2 x ? b log 3 x ? 2, f (

1 ) ? 4 ,则 f (2013) ? 2013

(A)0 (B)2 (C)-2 (D)4 (9)已知某几何体的三视图如右图所示,其中,主(正)视图,左(侧)视图 均是由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接直角三角形构成,根据图 中的数据可得此几何体的体积为( ) (A)

2? 1 ? 6 6 2? 1 ? 3 2

(B)

4? 1 ? 3 6 2? 1 ? 3 2

(C)

(D)

(10)设 a ? 0 ,且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x ”在 R 上是增函数”是“函数 g ( x) ? xa ”在 R 上是增函数” 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (11)函数 f ( x) ? x ? (A) (0, )
1 3

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 的零点所在区间是 2x
(B) ( , )

1 1 1 (D) ( ,1) 3 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB 等于 (12)已知 ?ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O.若 OA ? AB ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 ,则 CA?
(C) ( , ) (A)

1 6

1 1 6 3

3

(B) 2 3

(C)

3 2

(D)3

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)已知向量 a ? (1, 2) ,向量 b( x, ?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于______________.

(14) f (n) ? 1 ?

1 1 1 5 7 ? ? ... ? (n ? N ? ) ,计算 f (22 ) ? 2, f (23 ) ? , f (2 4 ) ? 3, f (25 ) ? ,推测当 n ? 2 2 3 n 2 2

时,有_____________.

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? (15)设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, ,若目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
a+b 的最小值为_____________. (16)已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列五个命题 ① 若l ? ? , ? / / ? , 则l / /? ③ 若l ? ? , ? ? ? , 则l / /? ② 若l ? ? , ? / / ? , 则l ? ? ④ 若? ? ? ? m, l / / m, 则l / /?

⑤ 若? ? ? ? m, l / / m, l / / ? , 则l / / m 其中真命题的序号是__________________________(把所有真命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B、C 成等差教列. ( I)若 b ? 13, a ? 3 ,求边 c 的值; ( II)设 sin A sin C ?

3 ,求角 A 的最大值. 4

(18)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2x ? k ? 2? x , k ? R . ( I)若函数 f ( x ) 为奇函数,求实数 k 的值; ( II)若对任意的 x ??0, ??? ,都有 f ( x) ? 2 成立,求实数 k 的取值范围.
?x

(19)(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,PA ? 平面 ABCD,且 AD= 2PA,E、F、G、H 分别 是线段 PA、PD、CD、BC 的中点. (I)求证:BC∥平面 EFG; (II)求证:DH ? 平面 AEG.

(20)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? nbn . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; ( II)设 cn ?

1 , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an (2bn ? 3)

(21)(本小题满分 13 分) 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形 广场的圆心为 O,半径为 100 m,并与北京路一边所在直线 l 相切 于点 M.A 为上半圆弧上一点,过点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.市 园林局计划在△ABM 内进行绿化.设△ABM 的面积为 S(单位: . m 2 ), ?AON ? ? (单位:弧度) ( I)将 S 表示为 ? 的函数; ( II)当绿化面积 S 最大时, 试确定点 A 的位置, 并求最大面积.

(22)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? an ? ln x ,其中实数 a 为常数. (I)当 a=-l 时,确定 f ( x ) 的单调区间: (II)若 f(x)在区间 ? 0, e? (e 为自然对数的底数)上的最大值为-3,求 a 的值; (Ⅲ)当 a=-1 时,证明 f ( x ) ?

ln x 1 ? . x 2

参考答案
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正确,准应参照 本标准相应评分。山东中学联盟 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. 1-5 BCDCB 6-10 BCAAD 11-12 CD (1)解析:答案 B.因为 A ? {x |

A ? B = {x | ?1 ? x ? 2} .

1 ? x ? 2}, B ? { x | x 2 ? 1} ? { x | ?1 ? x ? 1} ,所以, 2

(2)解析:答案 C.因为 e>1,所以 f (e) ? ln e=1 ,所以 f ( f (e)) ? f (1) ? 12 ? 1 ? 2. ( 3 ) 解 析 : 答 案 : D. 因 为

?

为 第 二 象 限 角 , 所 以 cos ? ? ? 1 ? ( ) ? ? , 所 以
2

s i? n 3 ? ?. tan ?? ( ? ? ) ?t ? an c o? s 4

3 5

4 5

2 2 (4)解析:答案:C.当 c ? 0 时, ac ? bc ? 0 ,所以①为假命题;当 a 与 b 异号时,

a b ?0, ?0, b a

所以②为假命题;因为 a ?| b |? 0 ,所以 a 2 ?| b |2 ,③为真命题.

π ? 2 x) ? 2cos 2 x ,所以函数是最小正周期为 π 的偶函数. 2 (6)解析:答案:B.设此数列的公比为 q(q ? 0) ,由已知 a2 a4 ? 1 ,得 a32 ? 1, 所以 a3 ? 1 ,由 S3 ? 7 , a a 1 ? 7, 即 6q2 ? q ?1 ? 0, 解得 q ? ,进而 a1 ? 4 , 知 a3 ? 3 ? 3 2 2 q q 1 4[1 ? ( )5 ] 2 ? 31 . 所以 S5 ? 1 4 1? 2 2 | x| (7)解析:答案:C.由函数 f ( x) ? x ? 2 为偶函数,排除答案 B 与 D;又由 f (0) ? ?1 ? 0 ,知选(C). 1 1 1 (8)解析:答案:A.设 F ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 F ( ) ? a log 2 ? b log 3 ? ?(a log 2 x ? x x x 1 b log3 x) ? ?F ( x) ,所以 F (2013) ? ? F ( ) ? ?(4 ? 2) ? ?2 , 2013 f (2013) ? F (2013) +2=0.
(5)解析:答案:B.因为 y ? 2sin( (9) 解析: 答案: A.由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥, 下部分是半球,

1 4? 2 3 1 1 2? 1 ? ?( ) ? ? ? 1?1? 1 ? ? . 2 3 2 3 2 6 6 x (10)解析:答案:D.函数 f ( x) ? a 在 R 上是增函数,即 a ? 1 ;但当 a ? 2 时,函
所以根据三视图中的数据可得 V ?
2 a 数 g ( x) ? x 在 R 上不是增函数. 函数 g ( x) ? x 在 R 上是增函数时,可有 a ?

1 x ,此时函数 f ( x) ? a 3

在 R 上不是增函数.
1 1 1 1 1 ( 11 )解析: 答案: C. 若 f ( x) ? x ? x ? 0 , 则 x 3 ? x ,得 x ? ( ) x , 令 g ( x) ? x ? ( ) x , 可得 2 2 8 8 1 1 1 1 1 2 1 1 g ( ) ? ? ? 0, g ( ) ? ? ? 0 ,因此 f(x)零点所在的区间是 ( , ) . 3 3 2 2 4 3 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? (12)解析:答案:D.因为 2OA ? AB ? AC ? 0 ,所以 (OA ? AB) ? (OA ? AC) ? 0 ,所以 OB ? OC ? 0 , 1 3

O 为 BC 的中点,故 ?ABC 是直角三角形,角 A 为直角.又 | OA |?| AB | ,故有 ?AOB 为正三角形, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AC |? 3 , | AB |? 1 , CA 与 CB 的夹角为 30? ,由数量积公式可得选 D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

n?2 ; (15) 4 ;(16)①②⑤. 2 (13)解析:答案: 9 . 因为 a ? b ? (1 ? x, 4) ,又 a ? (a ? b) , 所以 a ? (a ? b) ? 1 ? x ? 8 ? 0 ,解得 x ? 9. n?2 4 5 6 7 n . 因为 f (22 ) ? , f (23 ) ? , f (2 4 ) ? , f (25 ) ? ,所以当 n ? 2 时, (14)解析:答案: f (2 ) ? 2 2 2 2 2 n ? 2 n . 有 f (2 ) ? 2 A(1, 4) (15)解析:答案: 4. 满足约束条件的平面区域如图, 由 z ? abx ? y ,得 y ? ?abx ? z ,由 a ? 0, b ? 0 , 2 1 知 ?ab ? 0 ,所以,当直线 y ? ?abx ? z 经过点 A(1, 4) 时, z ? abx ? y 取得最大值,这时 ab ? 4 ? 8 ,即 ?1 2 ab ? 4 ,所以 a ? b ≥ 2 ab ? 2 4 ? 4 ,当且仅当 8x ? y ? 4 ? 0 a ? b ? 2 时,上式等号成立.所以 a ? b 的最小值为 4. 2 x ? y ? 2 ? 0 ?4 (16)解析:答案:①②⑤. 由面面平行的性质, 不难判断①和②都为真命题;对于③,由 ? ? ? 及 l ? ? ,知 l // ? 或 l ? ? ;命题④中,由 ? ? ? ? m 且 l // m ,得 l // ? 或 l ? ? ;对于⑤,如图,因为 l // ? , β 过 l 的作平面 ? 和平面 ? ,且 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b b δ 所以, l // a , l // b ,因此 a // b ,又 ? ? ? ? m , l m a ? ? ,所以 a // m ,进而 l // m .
n (13) 9 ; (14) f (2 ) ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解析: (Ⅰ)因为 A,B,C 成等差数列, 所以 2B=A+C, π 因为 A+B+C=π,所以 B= . 3
2 2 2

γ

α ??????3 分

a

因为 b= 13,a=3,b =a +c -2accos B, 2 所以 c -3c-4=0. 所以 c=4 或 c=-1(舍去). ??????6 分 2 (Ⅱ)因为 A+C= π, 3 2π 1 ? 3 ? ? 所以 sin Asin C=sin Asin? ? 3 -A?=sin A? 2 cos A+2sin A? π 3 1 1 1 1 ? cos2 A 2A- ?. = sin 2A+ ( ??????9 分 ) =4+2sin? 6? ? 4 2 2 由 sin Asin C= π 3 2A- ?=1, ,得 sin? 6? ? 4

2π π π 7π 因为 0<A< ,所以- <2A- < . 3 6 6 6 π π π 所以 2A-6=2,即 A=3. (18)解析: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 ? k ? 2
x
?x x x ?x

………………12 分 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x), x ? R , ??????????4 分

?x

2x 即 2 ? k ? 2 ? ?(2 ? k ? 2 ), 所以 (1 ? k ) ? (k ? 1) ? 2 ? 0 ,对一切 x ? R 恒成立,

所以 k ? ?1.

?x ?x (Ⅱ)因为 x ? ?0,???, 均有 f ( x) ? 2 ,即 2 ? k ? 2 ? 2 成立,

?x

x

2x 所以 1 ? k ? 2 对 x ? 0 恒成立,

????????????8 分

所以 1 ? k ? (2 ) min .
2x

因为 y ? 2 2 x 在 ?0,?? ?, 上单调递增,所以 (2 2 x ) min ? 1.

所以 k ? 0. ????????????12 分 (19)解: (Ⅰ)因为 E , F 分别为 PA, PD 中点,所以 AD ∥ EF , 因为 BC ∥ AD ,所以 BC ∥ EF , ??2 分 因为 BC ? 平面 EFG, EF ? 平面 EFG , ?4 分 所以 BC ∥平面 EFG . ??????6 分 (Ⅱ)因为 PA ⊥平面 ABCD ,所以 PA ⊥ DH , 即 AE ⊥ DH , ??????8 分 因为△ ADG ≌△ DCH , 所以∠ HDC =∠ DAG , ∠ AGD +∠ DAG =90° , 所以∠ AGD +∠ HDC =90° , 所以 DH ⊥ AG , 又因为 AE ∩ AG = A ,所以 DH ⊥平面 AEG . (20)解析: (Ⅰ)由已知, bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . 所以 S n ? 2n 2 ? n .从而 a1 ? S1 ? 1; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n2 ? n ? [2(n ? 1)2 ? (n ? 1)] ? 4n ? 3 , 又 a1 ? 1 也适合上式,所以 an ? 4n ? 3 . ?????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) c n ?

??????12 分 ????2 分

1 1 1 1 ? ( ? ), (4n ? 3)( 4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1

????8 分

所以 Tn ? c1 ? c 2 ? c3 ? ? ? ? ? c n ?

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 4? 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 ? ?

1 1 n . ????12 分 (1 ? )? 4 4n ? 1 4n ? 1 (21)解析: (Ⅰ)如图,BM=AOsinθ=100sinθ, l AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ,θ∈(0,π). A B ????????3 分 1 1 则 S= MB· AB= ×100sinθ×(100+100cosθ) 2 2 =5000(sinθ+sinθcosθ),θ∈(0,π).??6 分 M N O 2 (Ⅱ)S′=5000(2cos θ+cosθ-1) 北 =5000(2cosθ-1)(cosθ+1).令 S′=0, 京 1 得 cosθ= 或 cosθ=-1(舍去), 路 2 π 此时 θ= . ????8 分 3 当 θ 变化时,S′,S 的变化情况如下表: π ?0,π? ?π,π? θ 3 ? 3? ?3 ? 0 S′ + - S ? 极大值 π 所以,当 θ= 时,S 取得最大值 Smax=3750 3m2,此时 AB=150m,即点 A 到北京路一边 l 的距离为 3 150m. ????13 分 ?
(22)解:(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x ? ln x ,∴ f ?( x) ?

当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在区间 (0,1) 上为增函数,

1? x ,又 x ? 0 ,所以 x

当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (1,??) 上为减函数, 即 f ( x) 在区间 (0,1) 上为增函数,在区间 (1,??) 上为减函数. ???????4 分

(Ⅱ)∵ f ?( x ) ?

1 ? ax ,①若 a ? 0 ,∵ x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0, 在区间 (0,e] 上恒成立, x
4 e

f ( x) 在区间 (0,e] 上为增函数, f ( x)max ? ae ? ln e=ae+1=-3 ,∴ a ? ? ? 0 ,舍去;
②当 a ?[? ,0) 时,∵ x ? (0,e] ,∴ ax ? 1 ? 0,? f ?( x) ? 0, f ( x) 在区间 (0,e] 上为增函数,

1 e

4 f ( x)max ? ae ? ln e=ae+1=-3 ,∴ a ? ? ? 0 ,舍去; e 1 1 1 ③若 a ? ? ,当 x ? (0,? ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在区间 (0,? ) 上为增函数, a a e 1 1 当 x ? (? ,e) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (? ,e) 上为减函数, a a 1 1 1 f ( x)max ? f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?3 ,∴ a ? ?e2 ? ? . a a e 综上 a ? ?e 2 . ?????????9 分 (Ⅲ) 由(Ⅰ)知,当 a ? ?1 时, f ( x) 有最大值,最大值为 f (1) ? ?1 ,即 f ( x) ? ?1 , 所以 | f ( x) |? 1 , ????????????10 分

ln x 1 1 ? ln x ? ,则 g ?( x) ? , x 2 x2 当 x ? (0, e) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (0, e) 上为增函数, 当 x ? (e, +?) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (e, +?) 上为减函数, ln x 1 1 1 ? 有最大值 ? ? 1 ,???????????12 分 所以当 x ? e 时, g ( x ) ? x 2 e 2 所以 | f ( x) |? g ( x) ,
令 g ( x) ? 即 | f ( x) |?

ln x 1 ? . x 2

??????????13 分


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