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高中数学人教B版必修2配套课件:1.1.7柱、锥、台和球的体积


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第一章
立体几何初步

第一章

立体几何初步

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第一章
1.1 空间几何体

第一章

/>立体几何初步

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第一章
1.1.7 柱、锥、台和球的体积

第一章

立体几何初步

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课前自主预习

课堂典例讲练

方法警示探究 思想方法技巧

易错疑难辨析

课后强化作业

第一章

1.1 1.1.7

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课前自主预习

第一章

1.1 1.1.7

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空间几何体的体积是可以计算的,你知道常见几何体的 体积公式吗?
第一章 1.1 1.1.7

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1.长方体的体积:

长方体的长、宽和高分别为a、b、c,长方体的体积V长方
体=________.

abc

2.棱柱和圆柱的体积: (1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积, Sh 即V柱体=________.

(2) 底面半径是 r ,高是 h 的圆柱体的体积计算公式是 V 圆柱
=________. πr2h

第一章

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3.棱锥和圆锥的体积: (1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S,高是h,那么 1 它的体积V锥体=________. 3Sh (2) 如果圆锥的底面半径是 r ,高是 h ,则它的体积是 V 圆锥 1 2 =________. 3πr h

第一章

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4.棱台和圆台的体积: (1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S,高是h,则它 1 3h(S+ SS′+S′) 的体积是V台体=__________________. (2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r,高是h,则它 1 2 2 π h ( r + rr ′+ r ′ ) 的体积是V圆台=___________________. 3

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5.球的体积:

4 3 3πR 如果球的半径为R,那么球的体积V球=______________.

6.祖暅原理:幂势既同,则积不容异. 这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积

总相等,那么这两个几何体的体积相等.应用祖暅原理可说
等底面积 、________ 等高 的两个柱体或锥体的体积相等. 明:___________

第一章

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1. (2014· 江西九江三中高一月考)正三棱锥底面三角形的边 长为 3,侧棱长为 2,则其体积为( 1 A.4 3 C.4
[ 答案] C

)

1 B.2 9 D.4

第一章

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[ 解析]

如图,作 PO⊥底面 ABC,

∵正三角形 ABC 的边长为 3, 3 ∴AO= 3 × 3=1, ∴PO= PA2-AO2= 4-1= 3, 1 3 3 2 ∴VP-ABC=3× 4 ×( 3) × 3=4.

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2.已知圆柱的侧面面积为 S,底面周长为 C,则圆柱的体 积为( ) 4πS B. C3 CS D. 4π
D

C3 A.4πS CS C. 2π
[ 答案]

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[ 解析]

设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 2πr=C,2πrh

C S C 2 S CS 2 =S,所以 r=2π,h=C.于是 V 圆柱=πr h=π(2π) · C= 4π ,故选 D.

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3. (2014· 陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)若球的体积增加 到原来的 8 倍,则它的表面积增加到原来的( A.2 倍 C.2 3倍
[ 答案] B

)

B.4 倍 D.2 2倍

[ 解析]

设球原来的半径为 R,体积增加到原来的 8 倍时,

4 3 4 半径为 R′,则 8×3πR =3πR′3,∴R′=2R,故它的表面积 增加到原来的 4 倍.

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4.将一铜球放入底面半径为16cm的圆柱玻璃容器中,水

面升高9cm,则这个铜球的半径为________cm.
[答案] 12

[ 解析]

设铜球的半径为 R,

4 3 由题意,得3πR =π·162· 9,解得 R=12.

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5 .一个几何体的三视图如图所示 ( 单位: m) ,则该几何
体的体积为________m3.

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[答案] 30

[ 解析]

由三视图知该几何体由一个棱长为 3,4,2 的长方体

和一个底面是直角梯形高为 4 的直棱柱组成,则体积 V = 2+1 3×4×2+ 2 ×1×4=30.

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6.已知三棱锥的三条侧棱长都等于 13,底面是直角三角
形,且两直角边长分别为6和8,试求棱锥的体积. [解析] 如图所示,在三棱锥S-ABC中, SA=SB=SC=13, △ABC为直角三角形,且AB=6,BC=8,

过S作SO⊥平面ABC于O点,
连接OA、OB、OC,则易知:

第一章

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Rt△SOA≌Rt△SOB≌Rt△SOC, 所以 OA=OB=OC. 于是 O 为 AC 的中点,在 Rt△ABC 中, AC= AB2+BC2= 62+82=10,AO=5, 则 SO= SA2-AO2= 132-52=12, 根据棱锥的体积公式: 1 1 V 三棱锥=3Sh=3S△ABC· SO 1 1 =3×2×6×8×12=96.
第一章 1.1 1.1.7

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课堂典例讲练

第一章

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柱体的体积
将长为 a ,宽为 b(a>b) 的长方形以 a 为轴旋转

一周,所得柱体的体积为V1,以b为轴旋转一周,所得柱体的
体积为V2,则有( A.V1>V2 C.V1=V2 [分析] ) B.V1<V2 D.V1与V2的大小关系不确定

对于平面图形沿某条不同直线旋转成几何体,然

后比较各几何体体积的大小关系问题,首先找出对应关系,
然后再计算出体积,最后比较大小.
第一章 1.1 1.1.7

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[ 解析 ]

以 a 为旋转轴时,所得几何体的体积 V1 = ab2π ,

以b为旋转轴时,所得几何体的体积V2=a2bπ. ∴V1-V2=abπ(b-a),∵a>b,

∴V1-V2<0,∴V1<V2,故选B.
[答案] B

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如图,某几何体的主视图是平行四边形,左视图和俯视图 都是矩形,则该几何体的体积为( A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3
[ 答案] B

)

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[ 解析]

由三视图知,该几何体为平行六面体,由图知高 h

= 22-12= 3. 底面积:S=3×3=9, 所以其体积 V=9 3.

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锥体的体积
(2014· 陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 ) 已知

正四棱锥P-ABCD的底面边长为6,侧棱长为5,求四棱锥P-
ABCD的体积和侧面积.

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[ 解析]

连接 AC、BD,AC 与 BD 的交点为 O,取 BC 的

中点 E, 连接 OE、 PE、 PO, 则 PO 为正四棱锥 P-ABCD 的高, PE 为斜高. 由已知得 OE=3,OA=3 2, ∴PO= PA2-OA2= 25-18= 7, PE= PO2+OE2= 7+9=4.

第一章

1.1 1.1.7

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1 1 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=3×2×6×6× 7 =6 7. 1 四棱锥 P-ABCD 的侧面积 S=2×6×4×4=48.

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1.1 1.1.7

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(2014· 四川文,4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则 该三棱锥的体积是( A.3 B.2 C. 3 D.1 )

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[答案] D
[ 解析] 本题考查了三视图及体积计算公式等.由三视图

1 1 可知,该几何体的体积 V=3Sh=3× 3× 3=1.由三视图找出 垂直关系是关键.

第一章

1.1 1.1.7

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球的体积
在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C ,如果 PA 、

PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a,求这个球的体积.

[ 解析]

∵PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=a,

∴以 PA、PB、PC 为相邻的三条棱可以构造正方体.

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∵P、A、B、C 四点是球面上的四个点, ∴球是正方体的外接球,正方体的对角线是球的直径, 3 ∴2R= 3a,∴R= 2 a,
? 4 3 4 ? 3 3 ? 3 ?3 ∴V=3πR =3π? a? = 2 πa . ? 2 ?

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体积为 8的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积相等,

则球O的体积等于________.
[ 答案] 8 6π π

[ 解析]
3

设正方体棱长为 a,球半径为 r.
2 2

∵a =8,∴a=2,又∵4πr =6a ,∴r= 4 ? ∴V 球=3π? ? ? 6? ?3 8 6π = π . π? ?

6 π.

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易错疑难辨析

第一章

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如图所示,已知等腰梯形 ABCD 的上底 AD =
2cm,下底 BC=10cm,底角∠ ABC=60°,现绕腰 AB旋转一 周,求所得的旋转体的体积.

第一章

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[错解] 所得旋转体是如图所示的组合体.

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由于 AD=2cm, BC=10cm, ∠ABC=60° , 在 Rt△BCF 中, BF=5cm,FC=5 3cm. ∵AD∥BC,∴∠DAE=∠ABC=60° , 在 Rt△ADE 中, DE= 3cm, AE=1cm, 又在等腰梯形 ABCD 中可求得 AB=8cm, AF=AB-BF=8-5=3cm,EF=AE+AF=4cm,

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1 1 2 ∴旋转后所得几何体的体积 V=3π·BF· FC +3π·EF· (DE2+ FC2+DE· FC) 1 1 2 =3π×5×(5 3) +3π×4×[( 3)2+(5 3)2+ 3×5 3] =249π(cm3). 答:所得的旋转体的体积为 249πcm3.

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[辨析]

错解中,将所得旋转体漏掉了扣除以圆台上底面

为底面,高为1cm的圆锥的体积.
[ 正解] 过 D 作 DE⊥AB 于 E,过 C 作 CF⊥AB 于 F,所

得旋转体是以 CF 为底面半径的圆锥和圆台, 挖去以 A 为顶点, 以 DE 为底面半径的圆锥的组合体.

第一章

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由于 AD=2cm,BC=10cn,∠ABC=60° , 在 Rt△BCF 中,BF=5cm,FC=5 3cm.由 AD∥BC 得, ∠DAE=∠ABC=60° . 在 Rt△ADE 中,DE= 3cm,AE=1cm. 又在等腰梯形 ABCD 中可求得 AB=8cm, AF=AB-BF=8-5=3(cm),EF=AE+AF=4cm.

第一章

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1 1 2 所 以 旋 转 后 所 得 几 何 体 的 体 积 为 V = 3 π·BF· FC + 3 1 π·EF· (DE +FC +DE· FC)-3π·AE· DE2
2 2

1 1 1 2 2 2 =3π×5×(5 3) +3π×4×[( 3) +(5 3) + 3×5 3]- 3 π×1×( 3)2=248π(cm3). 答:所得的旋转体的体积为 248πcm3.

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思想方法技巧

第一章

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割补法
如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是 边长为 4 的正方形, AB∥EF , EF = 2 , EF 与平面 AC 的距离为 3,求该多面体的体积.

第一章

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[分析] [ 解析 ]

该多面体不是规则几何体,不易直接求体积,需 连接 EB 、 EC ,则多面体 ABCDEF 被分割成一个

要将其分割转化为多个锥体的体积和. 四棱锥E-ABCD和一个三棱锥F-EBC.

在四棱锥E-ABCD中,底面面积为S正方形ABCD=16,棱锥
的高就是EF与平面AC的距离,即h=3.

第一章

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1 1 ∴VE-ABCD=3S 正方形 ABCD· h=3×16×3=16. ∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF, 1 1 1 ∴VF-EBC=VC-EFB=2VC-ABE=2VE-ABC=4VE-ABCD=4. ∴VABCDEF=VE-ABCD+VF-EBC=16+4=20.

第一章

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[点评]

将不规则的几何体分割成若干个规则几何体,求

出规则几何体的体积即可解决,这是求几何体体积的一种常 用方法;同时熟练运用三棱锥体积公式中的“换底”技巧,

例如VF-EBC=VC-EFB.

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课后强化作业
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