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韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答



韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答
一、原料采购
某工厂正常情况下每天需要消耗某种原材料 4 吨, 因此每隔一段时间需要购买一次原材 料,原材料的价格为 2000 元/吨,原材料的保管费用每天 2 元/吨,每次购买原材料需要支 付运费 1600 元.为了保证每天都有原材料供应生产,请给出最优的原材料采购计划. 解:设每隔 t 天购买一次原材料,则总的保管费用为

2 ? (4 ? 1 ? 4 ? 2 ? ? ? 4 ? t ) ? 4t(t ? 1)
支付的总费用为:

-------(10 分)

Q(t) ? 4t(t? 1) ? 1600? 4t ? 2000
则平均每天支付的费用为

Q(t) 1600 1600 ? 4(t ? 1) ? ? 4 ? 2000 ? 4t ? ? 8004 ----(20 分) t t t 1600 从而当 4t ? ,即 t=20 时平均每天的支付费用最少.于是应该 20 天采购一次原材料. t
----(25 分)

二、运输成本
某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送 180t 支援物资的任务.该公司有 8 辆载重 为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员;每辆卡车每天往返的次数 为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元,B 型车 为 504 元.请为该公司安排一下应该如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低? 解:根据题意可得:
A 型车 载重(t) 车辆数 出车次数 每车每天运输成本(元) 6 8 4 320 B 型车 10 4 3 504 物资限制 共 180

设每天调出 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆,公司所花的成本为 z 元,则最低成本费数学模 型为

竞赛题参考解答第 1 页 共 7 页

min z ? 320x ? 504y
0 ? x ? 8, ? ? 0 ? y ? 4, S .t . ? ? x ? y ? 10 ? ?6 ? 4 x ? 10 ? 3 y ? 180 ? ? x, y ? Z ? ?

------------------------(10 分)

这是一个整线性规划问题,现用图解法进行求解. 可行域(如上图)为:由直线 l1 :x+y=10,

l 2 :4x+5y=30 以及 x=8,y=4 组成的凸四

边形区域. 直线 l :320x+504y=c 在可行域内平行移动. ---------(17 分) 易知:当 l 过 y=0 与 l 2 的交点时,z 取最小值. 由?

?y ? 0 ?4 x ? 5 y ? 30

解得 ?

? x ? 7.5 ?y ? 0

取最近的整点(8,0) ,即只调配 A 型卡车 8 辆,所花成本费最低.

z min =320×8=2560(元)
三、最短路径

---------------(25 分)

如下图,图中箭头方向表示可以进行移动,箭头上数字表示行走的距离(单位:km, 如 6 号位置能够前进到 7 号位置,距离为 4km;而 7 号无法前往 6 号).现我们所处 1 号位 置,因为行程需要前往 8 号位置,求最少需要走多少路程能够到达,并且写出具体路线.

竞赛题参考解答第 2 页 共 7 页

解: (1).列举法(略) (2).利用迪杰斯特拉算法:X 表示行进过的区域,X={1}, 第一步:min {d12,d14,d16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1 ----(5 分)

第二步:min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}, p2=2 第三步:min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3 X={1,2,4,6}, p6=3 第四步:min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3 X={1,2,4,6,7}, p7=3 ----(12 分)

第五步:min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6 X={1,2,4,5,6,7}, p5=6 第六步:min {d23,d53,d58,d78}=min {2+6,6+9,6+4,3+8}=min {8,15,10,11}=8 X={1,2,3,4,5,6,7}, p3=8 ----(20 分)

第七步:min {d38,d58,d78}=min {8+6,6+4,3+7}=min {14,10,11}=10 X={1,2,3,4,5,6,7,8}, p8=10 1 到 8 的最短路径为{1,4,7,5,8},长度为 10km. ----(25 分)

四、隔热厚度
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层.某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每
竞赛题参考解答第 3 页 共 7 页

年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:

C ( x) ?

k (0 ? x ? 10) (k 为一未知待定系数) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 3x ? 5

8 万元.设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值. 解:(Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm,

k (0 ? x ? 10 ) , 3x ? 5 40 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C ( x) ? , -----------------------(5 分) 3x ? 5
由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? 而建造费用为 C1(x)=6x, 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 *
(Ⅱ) f ' ( x) ? 6 ?

40 800 ? 6x ? ? 6x (0 ? x ? 10) ---(12 分) 3x ? 5 3x ? 5

2400 (3x ? 5) 2

令 f′(x)=0,即

23 2400 ,--------------(17 分) ? 6 ,解得 x ? 5, x ? ? (舍去) 2 5 (3x ? 5)

当 0<x<5 时,f′(x)<0,当 5<x<10 时,f′(x)>0, 故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为地 f (5) ? 6 * 5 ?

800 =70 -------(25 分) 15 ? 5

五、车间通风
某车间体积为 12000 立方米,开始时空气中含有 0.1% 的 CO2 ,为了降低车间内空气中

CO2 的含量,用一台风量为每分钟 2000 立方米的鼓风机通入含 0.03% 的 CO2 的新鲜空气,
同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动 6 分钟后,车间内 CO2 的百分比降 低到多少? 解:设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x ? t ? % 在 ?t, t ? dt ? 内,气量变化关系为:

CO2的通入量 ? 2000 ? dt ? 0.03 ; CO2的排出量 ? 2000 ? dt ? x(t ) ;

竞赛题参考解答第 4 页 共 7 页

CO2的改变量 ? CO2的通入量 ? CO2的排出量 .
故可得到: 12000dx ? 2000 ? dt ? 0.03 ? 2000 ? dt ? x(t ) , 进一步有: ----(10 分)

dx 1 ? ? ( x ? 0.03) , dt 6
1 ? t 6

----(15 分) ,结合初值条件: x |t ?0 ? 0.1 ,
1 ? t 6

求解以上微分方程得到: x ? 0.03 ? Ce

得到: C ? 0.07 ,故有: x ? 0.03 ? 0.07e



计算在 6 分钟后,有 x |t ?6 ? 0.03 ? 0.07e?1 ? 0.056 , 于是,鼓风机开动 6 分钟后, 车间内 CO2 的百分比降低到 0.056% . ----(25 分)

六、最大面积
工厂里有一块半圆形铁板,其半径为 R.半圆的一部分有破损,破损位置如图所示,其 中 BC=R/2,并且破损位置在以 B 所在的水平线右侧. 现要在半圆铁板剩余的部分上切割出一个直角三角形,如图甲乙两个方案: 甲方案是以半圆的直径所在边作为斜边,乙方案是选取半圆的直径所在边为直角边.哪 种方案所切割的直角三角形最大?并说明理由.

甲方案

乙方案

解:我们根据甲、乙的方案,分别求出两种方案所能切割出直角三角形的最大面积. 对于甲方案,以 AB 或者比 AB 短的线段作为直径的半圆内接三角形.显然,选取 AB 作 为直径时能够保证三角形尽量的大,此时内接半圆的半径为 ,即 . ----(5 分)

竞赛题参考解答第 5 页 共 7 页

以 O’ 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 , 此 时 O’(0,0),A(

3 R , 0 ),B( 4

). 设 D 点 的 坐 标 为

(

).

则三角形的面积

----(15 分)

关于 求导后可知,当

时,

对于乙方案,以 O 为圆心,O(0,0).设 D 点的坐标为(

).

则三角形的面积

关于 求导,

----(20 分)



,即



时,

取得极值.



时,
竞赛题参考解答第 6 页 共 7 页

通过比较,乙方案所切割出来的三角形面积大,因此乙方案要优于甲方案. --(25 分)

竞赛题参考解答第 7 页 共 7 页


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