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§3 函数的奇偶性与单调性


§ 3. 函数的奇偶性与单调性
一、知识要点
(一)函数的单调性

(二)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 (1 )利用定义(要先 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x,都有 . f( - x)= - . . . . . . f(x) ,那么函数 f(x)叫做奇函 . . . . .. 数 . .

函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x, 都有 . f( - x)= f(x) , . . . . . . . . . 那么函数 f(x)叫做偶 函数 . . .. (1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于 y 轴对称) 判断定义域是否关于 原点对称) ( 2 )利用图象(图象 关于原点对称)

②若函数

f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 .

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇函数)的积(或 商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

二、典型例题 题型一:单调性的判断
2 例 1.(1) (2013 徐州一中高二月考)若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 1 的定义域为[-2,6],求 f ( x) 的单调减区间。

(2)已知 f ( x) 在 [0,??) 上是减函数,试比较 f ( )、f ( a ? a ? 1) 的大小。
2

3 4

例 2:证明 f ( x) ?

1 在 (0,??) 单调递减。 x

变式:

例 3. 题型二:函数的最值 例 4(1) (2014 徐州一中高一月考)定义在[t , t+3]上的 f ( x) ? x ? 4 x ? 4. 求 f ( x) 的最小值 g (t ) 的解析
2

式。 (2)(2009 南京市高三一检)已知 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,求 f ( x)在[?5,5]上的 最大值。

定轴动区间

动轴定区间

题型三:复合函数的单调性——同增异减 例 5.求单调性 (4) f ( x) ? 题型四:判断奇偶性 例 6(1) f ( x) ? x ? x ?1, x ?[?1,4]
2

1 x ? x ? 20
2

(2)

例 7:补全下列函数的图像

变式: (2012 山东改编 9)

① ② 题型五:奇偶性与单调性的综合运用 例 8、





2 例 9(1) f ( x) 是 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x) ? x ? x, 求 f ( x ).

(2)已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则 f(2)=_____________.


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