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陕西省黄陵中学高新部2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


2015-2016 学年黄陵中学高新部第二学期期中考试高二年级数学(理 科)试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 12 小题,每小 题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A={x|-1<x≤2,x∈N},集合 B={2,3},则 A∪B 等于( ) A.{0,1,2,3} C.{-1,0,1,2,3} B.{1,2,3} D

.{2} )

2.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是(

?1 ? A.? ,1,1? ?3 ?

? 1 3 ? B..?- , ,-1? C .(-1,-3,2) D.( 2,-3,-2 2) ? 2 2 ?
) D.a +b >2ab
2 2

3.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A .a+b≥2 ab 1 1 2 B. + >

a b

ab

C. + ≥2

b a a b

4.在大桥上有 12 个固定的哨位,但平时只派 9 人执勤,规定两端的哨位必须有人执勤, 也不能让相邻哨位都空岗,则不同的排岗方法有( A.A9 种
3

)
3

B.A8 种
5

3

C.C8A9 种
2

3 9

D.C8 种 )

5.已知(1+ax)(1+ x) 的展 开式中 x 的系数为 5,则 a=(

A.-1
2

B.-3

C.-2

D.-4

6.函数 f(x)=x -x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0∈[-5,5],使 f(x0)≤0 的概率 是( )

A.1

B.

3 10

C .

2 3

D.

2 5 )

7. 下面几种推理是合情推理的是(

①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的 内角和都是 180°; ③张军某次考试成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸

n 边形内角和是(n-2)?180°.
A.①② B.①③ C.①②④ D.②④

8.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根 据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品, 在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取 1 件, 则其为二等品的概率是( )

1

A.0.09
2

B.0.20

C.0.25 )

D.0.45

9.不等式|x -2|<2 的解集是( A.(-2,0)∪(0,2)

B.(-2,2)

C.(-1,0)∪(0,1)

D.(-1,1)

1 10.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=- ,则 2

l 与 α 所成的角为(
A.30°

) C.120° D.150°

B.60°

11.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg a-lg

b 的不同值 的个数是(

)

A.9

B.10

C.18

D.20

8 12. 若向量 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ,则 λ = 9 A.-2 B. 2 55 2 C.-2 或 55 D.1

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13.若关于 x 的实系数一元二次方程 x +px+q=0 有一个根为 3-4i(i 是虚数单位),则 实数 p 与 q 的乘积 pq=________. → → → → 14.在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则OE= ________(用 a,b,c 表示). 1 15 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于 2 .

16.已知集合 M={1,2,3,4,5,6},集合 A、B、C 为 M 的非空子集,若? x∈A、y∈B、z∈C,

x<y<z 恒成立,则称“A—B—C”为集合 M 的一个“子集串”,则集合 M 的“子集串”共有
_______个. 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分) 1 3 2 3 4 5 6 17.(10 分)设 z= + i(i 是虚数单位),求.z+2z +3z +4z +5z +6z 2 2
2

18. (12 分)已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足 a?b=18, (ka+b)⊥ (ka-b),求向量 b 及 k 的值. 19.(12 分)二项式(2x-3y) 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和. 20.(12 分)有编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子.问: (1)共有多少种放法? (2)恰有 2 个盒子内不放球,有多少种放法?
9

21. (12 分)据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考 试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英 语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3 600 人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查 人群总数的 80%,则认为本次调查“失效”),就“是否取消英语听力”的问题,调查统计的 结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 应该取消 2 100 人 600 人 应该保留 120 人 无所谓

y人 z人

x人

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行深入访谈,问应在持“无 所谓”态度的人中抽取多少人? (2)已知 y≥657,z≥55,求本次调查“失效”的概率.

22. (12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,

侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,

AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O 为 AC 中点.
(1)证明:A1O⊥平面 ABC; (2)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值;

3

4

2015-2016 学年黄陵中学高新部 第二学期期中考试高二年级数学(理科)试题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 12 小题,每小 题 5 分,共 60 分) 1.解析:∵A={0,1,2},∴A∪B={0,1,2,3}, 、答案:A 1 ? 1 3 ? 、答案:B 2.解析:可知- a=?- , ,-1?, 2 ? 2 2 ? 3.解析:因为 ab>0,即 >0, >0,所以 + ≥2

b a

a b

b a a b

b a ? =2.答案:C a b
3

4.解析:将 3 个空岗插入 9 个实岗的 8 个空隙之间,有 C8种插法,每一种插法都对应着 一种排岗方法,因此一共有 C8种排岗方法.答案:D 5.解析:展开式中含 x 的系数为 C5+aC5=5,解得 a=-1,答案:A 6.解析:将问题转化为与长度有关的几何概型求解,当 x0∈[-1,2]时,f(x0)≤0,则所 2-?-1? 3 求概率 P= = .答案:B 5-?-5? 10 7.解析:①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推理,所以①②④为合情推理. 答案:C 8. 解析: 由频率分布直方图可知, 一等品的频率为 0.06?5=0.3, 三等品的频率为 0.02?5 +0.03?5=0.25,所以二等品的频率为 1-(0.3+0.25)=0.45.用频率估计概率可得其为二 等品的概率为 0.45.答案:D 9.解析:|x -2|<2? -2<x -2 <2? 0<x <4? -2<x<0 或 0<x<2,答案:D 1 10.解析:由于 cos〈m,n〉=- ,∴〈m,n〉=120°,所以直线 l 与 α 所成的角为 2 30°.答案:A 11.解析:lg a-lg b=lg ,lg 有多少个不同值,只要看 不同值的个数,所以共有 A5 -2=20-2=18 个不同值.答案:C 8 a?b 2-λ +4 2 12..解析:由已知得 = = ,∴8 5+λ =3(6-λ )解得 λ =-2 或 2 9 |a||b| 5+λ ? 9 2 λ = . 55 2 答案:-2 或 55 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13.若关于 x 的实系数一元二次方程 x +px+q=0 有一个根为 3-4i(i 是虚数单位),则 实数 p 与 q 的乘积 pq=________. 解析:由题意可得原方程的另一根为 3+4i, 由根与系数的关系可得
5
2 2 2 2 2 1 3

a b

a b

a b

2

(3+4i)+(3-4i)=-p, (3+4i)?(3-4i)=q, 化简可得 p=-6,q=25, ∴pq=-150. → → → 答案:-15014.在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的 → 中点,则OE=________(用 a,b,c 表示). → → → → → → 1 1 1 解析:OE=OA+ AD=OA+ ? (AB+AC) 2 2 2 → → → → → 1 =OA+ (OB-OA+OC-OA) 4 → → → 1 1 1 = OA+ OB+ OC 2 4 4 1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4 1 1 1 答案: a+ b+ c 2 4 4 1 15 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于( 2 A. 3 1 B. 16 4 1 C. 16 5 D. 16 )

1 1 3 解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 3+ 4= . 2 2 16 16.已知集合 M={1,2,3,4,5,6}, 集合 A、 B、 C 为 M 的非空子集, 若? x∈A、 y∈B、 z∈C, x<y<z 恒成立,则称“A—B—C”为集合 M 的一个“子集串”,则集合 M 的“子集串”共有_______ 个. 意可先分类,再分步:
6

第一类,将 6 个元素全部取出来,可分两步进行:第一步,取出元素有 C6种取法,第二 步,分成三组,共 C5种分法,所以共有 C6C5个子集串; 第二类,从 6 个元素中取出 5 个元素,共 C6种取法,然后将这 5 个元素分成三组共 C4种 分法,所以共有 C6C4个子集串;同理含 4 个元素的子集串数为 C6C3;含 3 个元素的子集串数为 C6C2.集合 M 的子集串共 C6C5+C6C4+C6C3+C6C2=111 个. 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分) 的取值范围 1 3 2 3 4 5 6 17.设 z= + i(i 是虚数单位),则 z+2z +3z +4z +5z +6z =( 2 2 A.6z B.6z
2 3 2 6 2 5 2 4 2 3 2 5 2 4 2 5 2 2 6 2

)

6

C.6 z
2 3 4 5 6

D.-6z
2 3 4 5 6 7

解析:设 S=z+2z +3z +4z +5z +6z ,zS=z +2z +3z +4z +5z +6z ,两式相减得 (1-z)S=z+z +z +z +z +z -6z = 所以 S=
2 3 4 5 6 7

z?1-z6? 7 - 6z , 1-z

z?1-z6? 6z7 , 2 - ?1-z? 1-z

1 3 6 因为 z = + i,故 z =1. 2 2 1 + 2 6z S=- =-6? 1-z 1 - 2 3 ? ? 1 =-6?- + i? ? 2 2 ? 3 ? ?1 =6? - i? 2 2 ? ? =6 z . 18.已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足 a?b=18,(ka+b)⊥(ka-b ),求 向量 b 及 k 的值. 解:a,b 共线,则存在实数 λ ,使 b=λ a, ∴a?b=λ a =λ |a|
2 2 2 2

3 i 2 3 i 2

=λ [ 2 +?-1? +2 ] =18, ∴λ =2,∴b=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b),∴(ka+b)?(ka-b)=0. ∴(ka+2a)?(ka-2a)=0, ∴(k -4)|a| =0,∴k=±2. 19.二项式(2x-3y) 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和. 解:设(2x-3y) =a0x +a1x y+a2x y +?+a9y . (1)二项式系数之和为 C9+C9+C9+?+C9=2 . (2)各项系数之和为 a0+a1+a2+?+a9=(2-3) =-1 (3)由(2)知 a0+a1+a2+?+a9=-1, 令 x=1,y=-1,得 a0-a1+a2-?-a9=5 , 5 -1 将两式相加,得 a0+a2+a4+a6+a8= ,即为所有奇数项系数之和. 2
7
9 9 9 0 1 2 9 9 9 9 8 7 2 9 9 2 2

2 2

20.有编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子.问: (1)共有多少种放法? (2)恰有 2 个盒子内不放球,有多少种放法? 解:(1)1 号小球可放入任意一个盒子内,有 4 种放法.同理,2、3、4 号小球也各有 4 种放法 ,故共有 4 =256(种)放法. (2)恰有 2 个盒子内不放球,也就是把 4 个小球只放入 2 个盒子内,有两类放法: ①一个盒子内放 1 个球,另一个盒子内放 3 个球.先把小球分为两组,一组 1 个、另一 组 3 个,有 C4种分法,再放到 2 个盒子内,有 A4种放法,共有 C4A4种方法; ②2 个盒子内各放 2 个小球.先从 4 个盒子中选出 2 个盒子,有 C4种选法,然后把 4 个小 球平均分成 2 组,每组 2 个,放入 2 个盒子内,也有 C4种选法,共有 C4C4种方法.由分类计数 原理知共有 C4A4+C4C4=84(种)不同的放法. 21.据《中国新闻网》报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语 考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考 英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3 600 人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调 查人群总数的 80%,则认为本次调查“失效”),就“是否取消英语听力”的问题,调查统计 的结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 应该取消 2 100 人 600 人 应该保留 120 人 无所谓
1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4

y人 z人

x人

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行深入访谈,问应在持“无 所谓”态度的人中抽取多少人? (2)已知 y≥657,z≥55,求本次调查“失效”的概率. 解:(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05, ∴ 120+x =0.05,解得 x=60, 3 600

∴持“无所谓”态度的人数为 3 600-2 100-120-600-60=720, 360 ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取 720? =72 人. 3 600 (2)y+z=720,y≥657,z≥55,故满足条件的(y,z)有: (657,63),(658,62),(659,61),(660,60),(661,59),(662,58),(663,57),(664,56), (665,55),共 9 种. 记本次调查“失效”为事件 A, 若调查失效,则 2 100+120+y<3 600?0.8, 解得 y<660. ∴事件 A 包含:(657,63),(658,62),(659,61),共 3 种.
8

3 1 ∴P(A)= = . 9 3 22.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,

AB⊥BC,O 为 AC 中点.
(1)证明:A1O⊥平面 ABC; (2)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; 解:(1)∵AA1=A1C=AC=2,且 O 为 AC 中点, ∴A1O⊥AC,又∵侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,交线为 AC,A1O? 面 A1AC, ∴A1O⊥平面 ABC.

(2)如图,以 O 为原点,分别以 OB、OC、OA1 所在直线为 x、y、z 轴, 建立空间直角坐标系,则由题可知 B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0, 3),A(0,-1,0) . → ∴A1C=(0,1,- 3),令平面 A1AB 的法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n?AA1=n?AB=0, → → 而AA1=(0,1, 3),AB=(1,1,0), 可求得一个法向量 n=(3,-3, 3), → |n?A1C| 6 21 所以|cos〈A1C,n〉|= = = , → 7 2? 21 |n|?|A1C| → 故直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值为 21 . 7

9


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