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超几何分布、二项分布、正态分布


超几何分布、二项分布、正态分布
【学习目标】 1、通过实例,理解超几何分布及其特点,掌握超几何分布列及其导出过程,并能进行简单 的应用。 2、理解 n 次独立重复试验(即 n 重伯努利试验)及其意义,理解二项分布并能解决一些简单 的实际问题。 3、借助直观图,了解是正态分布曲线与正态分布,认识正态分布曲线的特点及曲线表示的 意义。 4、会查标准正态分布表,会求满足正态分

布的随机变量 x 在某一范围内的概率。 【重点与难点】 重点:正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。 难点:正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计算。 【知识要点】 1、超几何分布:

一般地,若一个随机变量 x 的分布列为:P(x=r)=



其中 r=0,1,2,3,…… , , =min(n,M),则称 x 服从超几何分布。

记作 x~H(n,M,N),并将 P(x=r)=

,记为 H(r,n,M,N)。

如:在一批数量为 N 件的产品中共有 M 件不合格品,从中随机取出的 n 件产品中,不合格 品数 x 的概率分布列如表一所示: (表一)

其中 =min(n,M),满足超几何分布。 2、伯努利试验(n 次独立重复试验),在 n 次相互独立试验中,每次试验的结果仅有两种对 立的结果 A 与 出现,P(A)=p∈(0,1),这样的试验称为 n 次独立重复试验,也称为伯努利试 验。 P( )=1-p=q,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率(0≤k≤n)为 P(k)= (k=0,1,2,3,……,n),它恰好是(q+p)n 的二项展开式中的第 k+1 项。

3、二项分布:若随机变量 x 的分布列为 p(x=k)=

,其中 0<p<1,p+q=1,k

=0,1,2,……,n,则称 x 服从参数为 n、p 的二项分布,记作 x~B(n,p)。 如:n 次射击中,击中目标 k 次的试验或投掷骰子 n 次,出现 k 次数字 5 的试验等均满足二 项分布。 3、正态分布曲线。 (1)概率密度曲线:当数据无限增多且组距无限缩小,那么频率直方图的顶边无限缩小乃至 形成一条光滑的曲线,则称此曲线为概率密度曲线。

(2)正态密度曲线:概率密度曲线对应表达式为 P(x)= 称之为正态密度曲线。 正态密度曲线图象特征:

(x∈R)的曲线

①当 x<μ 时曲线上升;当 x>μ 时曲线下降;当曲线向左右两边无限延伸时,以 x 轴为渐 近线。 ②正态曲线关于直线 x=μ 对称。 ③σ 越大,正态曲线越扁平;σ 越小,正态曲线越尖陡。 ④在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1。

4、正态分布:若 x 是一个随机变量,对任意区间 下方和 x 轴上

,P

恰好是正态密度曲线

上方所围成的图形的面积, 我们就称随机变量 x 服从参数为 μ 和 σ 的正态分

布,简记为 x~N(μ,σ2)。 在现实世界中很多随机变量遵循正态分布。如:反复测量某一个物理量,其测量误差 x 通常 被认为服从正态分布;某一地区同性别同年龄组儿童的体重 W 也近似地服从正态分布。

若 x~N(μ,σ2),则随机变量 x 在 μ 的附近取值的概率很大,在离 μ 很远处取值的概率很少。 如图一所示:随机变量 x 取值落在区间(μ-σ,μ +σ)上的概率约为 68.3%,落在区间(μ- 2σ, μ+2σ)上的概率约为 95.4%,落在区间(μ-3σ,μ+3σ)上的概率约为 99.7%。 其中,μ 实际上就是随机变量 x 的均值,σ2 为随机变量 x 的方差,它们分别反映 x 取值的 平均大小和稳定程度。

5、标准正态分布:正态分布 N(0,1)称为标准正态分布,此时,P(x)= 通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率。

(x∈R),

数学家们发现,在多种微小因素影响下,如果没有一种影响占主导地位,则这样的随机变量 服从正态分布,特别是在独立地大数量重复试验时,就平均而言,任何一个随机变量的分布都将 趋近于正态分布,这就是中心极限定理,中心极限定理告诉我们在平均重复观察多次后,我们可 以利用正态分布对随机事件进行分析和预报。 可以证明, 对任一正态分布 x~N(μ, σ2)来说, 都可以通过 z= N(0,1)。 6、利用 Excel 进行有关概率计算。 (1)超几何分布函数计算:按“插入/函数/统计”选择超几何分布函数“HYPGEOMDIST”,然后 依次输入 r、n、M、N 的值,或直接在单元格内输入“=HYPGEOMDIST(4;5,10,30)”即可得 到后边例 1 中 H(4;5,10,30)的值,约为 0.029472443。 (2)二项分布函数计算:选择 “插入/函数/统计”,选择二项分布函数 “BINOMDIST”,然后依 提示输入相应的参数 k、n、p 的值,或在单元格内直接输入“=BINOMDIST(80,10000,0.006, 1)”即可得到后面例 4 中 P(x≤80)的值,约为 0.994。 (3)正态分布函数计算:选择“插入/函数/统计”,选择正态分布函数“NORMDIST”,输入相应 参数 x、μ、σ 的值,或在单元格内直接输入“=NORMDIST(184.5,184,2.5,1)”,就可得到后 边例 6 中 P(x≤184.5)的值,约为 0.5793。 7、二项分布的近似计算。 对于二项分布函数,当 n 比较大,而 p 比较小(p≤0.1),而乘积 np 大小“适中”时,可以利用 近似公式 P(x=k)= 【典型例题分析】 例 1:高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有 10 个红球,20 个白球,这 些球除颜色外完全相同,一次从中摸出 5 个球,摸到 4 个红球一个白球就中一等奖,求中一等奖 的概率。 解:以 30 个球为一批产品,其中红球为“不合格品”,随机抽取 5 个球,x 表示抽到的红球 数, 则 x 服从超几何分布 H(5,10,30), 来计算。 转化为标准正态分布 z~

由超几何分布公式可得:H(4;5,10,30)= 所以获一等奖的概率约为 2.95%。

≈0.0295,

例 2:生产方提供 50 箱的产品中,有两箱不是合格产品,采购方接收该批产品的准则是: 从该批产品中任取 5 箱产品进行检测,若其中的不合格产品不超过一箱,则接收该批产品,问: 该批产品被接收的概率是多少?

解:用 x 表示 5 箱中的不合格品的箱数, 则 x 服从超几何分布 H(5,2,50), 这批产品被接收的条件是 5 箱中有 0 或 1 箱不合格产品, 故该产品被接收的概率为 P(x≤1)即:

P(x≤1)=P(x=0)+P(x=1)=

= = = ≈0.992



答:该批产品被接收的概率约为 99.2%。 例 3:求抛掷 100 次均匀硬币,正好出现 50 次正面向上的概率。 分析:将一枚均匀硬币随机抛掷 100 次,相当于做了 100 次独立重复试验,每次试验有两个 可能结果,即出现正面(A)与出现反面( )且 P(A)=P( )=0.5。 解:设 x 为抛掷 100 次硬币出现正面的次数, 依题意随机变量 x~B(100,0.5), 则 P(x=50)= ≈8%。

答:随机抛掷 100 次均匀硬币,正好出现 50 次正面的概率约为 8%。 例 4:某保险公司规定:投保者每人每年交付公司保险费 120 元的人身意外保险,则投保者 意外伤亡时,公司将赔偿 10000 元,如果已知每人每年意外死亡的概率为 0.006,若该公司吸收 10000 人参加保险,问该公司赔本及盈利额在 400000 元以上的概率分别有多大? 解:设这 10000 人中意外死亡的人数为 x, 根据题意,x~B(10000,0.006),P(x=k)= 当死亡人数为 x 人时,公司要赔偿 x 万元, 此时,公司的利润为(120-x)万元, 由上述分布,公司赔本的概率为: ,

P(120-x<0)=1-P(x≤120)=1-

=1 -

≈0,

这说明,公司几乎不会赔本,利润不少于 400000 元的概率为:

P(120-x≥40)=P(x≤80)=



≈0.994,

即公司约有 99.4%的概率可以赚到 400000 元以上。

例 5:若随机变量 z~N(0,1),查标准正态分布表,求: (1)P(z≤1.52);(2)P(z>1.52);(3)P(0.57<z≤2.3);(4)P(z≤-1.49)。 解:(1)P(z≤1.52)=0.9357。 (2)P(z>1.52)=1-P(z≤1.52)=1-0.9357=0.0643。 (3)P(0.57<z≤2.3)=P(z≤2.3)-P(z≤0.57)=0.9893-0.7157=0.2736。 (4)P(z≤-1.49)=P(z≥1.49)=1-P(z≤1.49)=1-0.9319=0.0681。 例 6:某批待出口的水果罐头,每罐净重 x(g)服从正态分布 N(184,2.52),求: (1)随机抽取一罐,其实际净重超过 184.5g 的概率。 (2)随机抽取一罐,其实际净重在 179g 与 189g 之间的概率。

解 : (1)P(x > 184.5) = P 0.4207。 (2)P(179<x≤189)=P =P(-2<z≤2)=P(z≤2)-P(z≤-2) =P(z≤2)-P(z≥2)=P(z≤2)-[1-P(z≤2)] =2P(z≤2)-1=2× 0.9772-1=0.9544

= P(z > 0.2) = 1 - P(z≤0.2) = 1 - 0.5793 =

答:随机抽取一罐,其实际净重超过 184.5g 的概率是 0.4207,在 179g 与 189g 之间的概率 是 0.9544。 例 7:某电话站为 300 个电话用户服务,在一个小时内每一个电话用户,使用电话的概率等 于 0.01,求在一个小时内有 4 个用户使用电话的概率。 解:设 A 表示一个用户在这一小时内使用电话的事件, 记 p=P(A)=0.01,q=P( )=0.99, 本题相当于进行 300 次独立的贝努利试验,事件 A 出现的次数 k=4, 故 其 所 求 概 率 为 P(k) = ≈0.169。 ≈ =


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