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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业 3.1.5空间向量运算的坐标表示


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课时提升作业 (二十四)
空间向量运算的坐标表示

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b= A. B. C.D.平

行,则λ 等于( )

【解析】选 C.因为 a∥b,所以 = ,所以λ=- . 2.已知 a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则 b 等于( A.(2,-4,2) C.(-2,0,-2) B.(-2,4,-2) D.(2,1,-3) )

【解析】选 B.b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2). 【变式训练】 已知 A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令 a= 则 a+b 等于( A.(5,-9,2) C.(5,9,-2) 【解析】选 B. =(-1,0,-2)=a, ) B.(-5,9,-2) D.(5,-9,-2) =(-4,9,0)=b,所以 a+b=(-5,9,-2). ,b= ,

3.(2014·临沂高二检测)已知 A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在 平面 ABC 内的点是( )

A.(2,3,1) C.(1,2,1) 【解析】选 D. =x +y

B.(1,-1,2) D.(1,0,3) =(x+y,x+2y,x-y), 对四个选项逐个检验 , 只有当

(x+y,x+2y,x-y)=(1,0,3)时有解 4.(2014·杭州高二检测)已知 a=(1,2,-y),b=(x, 1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 ( A.x= ,y=1 C.x=2,y=B.x= ,y=-4 D.x=1,y=-1 )

【解析】选 B.a+2b=(2x+1,4,4-y), 2a-b=(2-x,3,-2y-2), 因为(a+2b)∥(2a-b), 所以 所以

5.(2014· 南宁高二检测)已知向量 边形 OACB 对角线的中点坐标为 A.(-2,-4,-1) C.(-2,4,-1)

=(2,-2,3),向量 ,则(x,y,z)=( B.(-2,-4,1) D.(2,-4,-1)

=(x,1-y,4z),且平行四 )

【解析】选 A.由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z) =2 ,

所以(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1), 所以

【变式训练】以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,AD,AA1 所在的直线为坐 标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形 AA1B1B 的对角线交点的坐标为 ( )

A. C.

B. D.

【解析】选 B.连接 AB1 和 A1B 交于点 O. 据题意知 AB1 与 A1B 的交点即为 AB1 的中点. 由题意得 A(0,0,0),B1(1,0,1), 所以 AB1 的中点坐标为 .

6.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的值分别为( A.-1,2 ) B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2

【 解 析 】 选 A. 由 c=ma+nb+(4,-4,1), 得 c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1).因为 c 与 a 及 b 都垂直,所以得 c·a= m+4+m+2n-4+m-n+1= 3m+n+1=0,c·b=2(m+2n-4)-(m-n+1)=m+5n-9=0, 即 m=-1,n=2. 【变式训练】若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λ b)⊥a,则实数λ 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-2 )

【解析】选 D.a+λb=(λ,1+λ,-1). 由(a+λb)⊥a,知(a+λb)·a=0, 所以 1+λ+1=0,解得λ=-2. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·启东高二检测)与 a=(2,-1,2)共线且满足 a·x=-18 的向量 x= 【解析】设 x=(x,y,z),由题意得 解得 x=-4,y=2,z=-4.所以 x=(-4,2,-4). 答案:(-4,2,-4) 8. 已知 A(0,2,4),B(5,1,3), 在 x 轴上有一点 P, 使 | 为 . |=| |, 则 P 点坐标 .

【解析】设 P(x,0,0), 则| | |= |= = = , ,

所以 x2+20=x2-10x+35,解得 x= . 所以点 P 坐标为 答案: 【举一反三】本题条件“在 x 轴上有一点 P”改为“在 y 轴上有一点 P”,结果 如何? 【解析】设 P(0,y,0), 则| | |= |= = = , , .

所以 y2-4y+20=y2-2y+35,

解得 y=- . 所以点 P 坐标为 .

9.(2014 ·长春高二检测 ) 已知 a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t), 则 |b-a| 的最小值 为 .

【解析】b-a=(1+t,1-t,t), |b-a|= 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10. 设正四棱锥 S-P1P2P3P4 的所有棱长均为 2, 建立适当的空间直角坐标系 , 求 , 的坐标. = ≥ .

【解析】建立空间直角坐标系,其中 O 为底面正方形的中心,P1P2⊥y 轴,P1P4⊥x 轴,SO 在 z 轴上. 因为|P1P2|=2,而 P1,P2,P3,P4 均在 xOy 平面上, 所以 P1(1,1,0),P2(-1,1,0). 在 xOy 平面内,P3 与 P1 关于原点 O 对称,P4 与 P2 关于原 点 O 对称, 所以 P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0). 又|SP1|=2,|OP1|= ,

所以在 Rt△SOP1 中,|SO|= 所以 =(1,1,),

,所以 S(0,0,

).

=(0,-2,0). 11.(2014· 福州高二检测)如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点, 点 A 的坐标是 ,点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.

(1)求向量 (2)设向量

的坐标. 和 的夹角为θ ,求 cosθ 的值.

【解题指南】利用三角形的知识先求出点 D 的坐标,然后再利用向量夹角公式求 解向量 和 的夹角的余弦值.

【解析】(1)如图所示,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E, 在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2, 得 BD=1,CD= .

所以 DE=CD·sin30°= . OE=OB-BD·cos60°=1- = , 所以 D 点坐标为 即向量 的坐标为 = , =(0,1,0). = , , .

(2)依题意: =(0,-1,0), 所以 = -

=

-

=(0,2,0). 和 的夹角为θ,则

由于向量 cosθ= =

=

=-

. .

所以 cosθ=-

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·黄山高二检测)已知空间三点 A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则 与 的夹角θ 的大小是( B.120° ) C.30° D.150°

A.60°

【解析】选 B.因为 所以 cos< = = =- ,又 0°≤< 所以θ=< , , , >=

=(-2,-1,3),

=(-1, 3,-2),

>≤180°,

>=120°.

2.(2014·泰安高二检测)设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 C 的距离|CM|的值为( A. B. ) C. D.

【解析】选 C. 由向量加减运算法则得 = 故|CM|= , = .

= (

+

)= (3,2,1)+ (1,-1,5)

3.空间三点 A(1,1,0),B(0,1,0),C 是( )

,下列向量中,与平面 ABC 垂直的向量

A.(1,0,1) C.(1,0,-1)

B.(0,1,1) D.(1,1,0)

【解题指南】将四个选项分别与平面上的向量求数量积 ,看是否为零,从而选出 正确结果. 【解析】选 B. =(-1,0,0), = , = ,与平面 ABC 垂直

的向量应与上面的向量的数量积为零, 选项 A 中的向量(1,0,1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意; 选项 B 中的向量(0,1,1)与上述向量的数量积为零,合题意; 选项 C 中的向量(1,0,-1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意; 选项 D 中的向量(1,1,0)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意,故选 B. 4.(2014· 长沙高二检测)若向量 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦 值为 ,则λ 等于( A.2 C.-2 或 【解析】选 C.由 cos<a,b>= 得 54-9λ=24 ,
ab = a b

) B.-2 D.2 或= = ,

即为 55λ2+108λ-4=0, λ=-2 或λ= . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 已 知 点 A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1), 若 是 . =2 ,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z), =2 ,则| |的值

【解析】设点 P(x,y,z),则由 则 即 P(-1,3,3), 则| |= 解得

=

=2

.

答案:2 6.已知点 A(λ +1,μ -1,3),B(2λ ,μ ,λ -2μ ),C(λ +3,μ -3,9)三点共线,则实 数λ +μ = .

【解题指南】首先利用三点共线转化为向量共线,再利用向量共线的坐标关系建 立λ,μ的等量关系. 【解析】 因为 ,即 答案:0 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5). (1)求△ABC 的面积. (2)求△ABC 中 AB 边上的高. =- = =(λ-1,1,λ-2μ-3), =(2,-2,6),若 A,B,C 三点共线,则 ∥

,解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0.

【解析】(1)由已知得 所以| · cos< sin< |= =

=(1,-3,2), ,| |=

=(2,0,-8), =2 ,

=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14, , , >= >= |·| × = = . , > = ,

所以 S△ABC= | = × ×2

|·sin< =3 . |=

(2)设 AB 边上的高为 CD,则|

=3

.

8.(2014·银川高二检测)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). (1)若 ∥ , ∥ ,求点 D 的坐标. =α +β 成立?若存在,求出α ,β 的值;若

(2)问是否存在实数α ,β ,使得 不存在,说明理由.

【解题指南】(1)先设出点 D 的坐标,再利用向量共线的关系式,列出与点 D 坐标 有关的等式. (2)探索型的问题的解决思路是先假设存在,再利用题目中的条件进行推导,若 求出则存在,否则不存在. 【解析】(1)设 D(x,y,z),则 =(-1,1,0). 因为 所以 ∥ , ∥ , =(-x,1-y,-z), =(-1,0,2), =(-x,-y,2-z),

解得

即 D(-1,1,2).

(2)依题意

=(-1,1,0),

=(-1,0,2), =α +β

=(0,-1,2). 成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+

假设存在实数α,β,使得 β(0,-1,2) =(-α,α-β,2β), 所以

故存在α=β=1,

使得





成立.

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