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2013年高考数学(理)真题分类解析汇编3.三角函数


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2013 年高考数学(理)真题分类解析汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 浙 江 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) 已 知 ( )

? ? R, sin ? ? 2

cos? ?
A.

10 ,则 tan 2? ? 2
C. ?

4 3

B.

3 4

3 4
2 2

D. ?

4 3

【答案】C 【天利解析】因为 ,又 sin α+cos α=1,

联立解得

,或

故 tanα=

=

,或 tanα=3,

代入可得 tan2α=

=

=﹣ ,

或 tan2α=

=

=

故选 C

2 . 2013 年 高 考 陕 西 卷 ( 理 ) 设 △ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 若 ( )

b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B 【天利解析】因为 b cos C ? c cos B ? a sin A ,所以 sin B cosC ? sin C cos B ? sin A sin A 又 sin B cosC ? sin C cos B ? sin(B ? C ) ? sin A 。联立两式得 sin A ? sin A sin A 。 所以 sin A ? 1, A ?

?
2

。选 B

3 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) 在 △ABC 中 , ( )

?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =

10 10 【答案】C

(A)

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

1

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4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图 )

? 象沿 x 轴向左平移 8 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为
3? 4

(A)

? (B) 4

?
(C)0 (D)

?
4

【答案】 B

? 个单位,得到函数 8 ? ? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ,因为此时函数为偶函数,所以 ? ? ? ? k? , k ? Z , 8 4 4 2 ? 即 ? ? ? k? , k ? Z ,所以选 B. 4
【天利解析】将函数 y=sin(2x + ? )的图像沿 x 轴向左平移
5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对 )

的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

1 b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 5? D. 6 1 sin B ,即 2

【答案】A 【天利解析】根据正弦定理得, sin A sin B cos C ? sin C sin B cos A ?

sin A cos C ? sin C cos A ?
选 A.

1 1 1 ? ,所以 sin( A ? C ) ? ,即 sin B ? ,因为 a ? b ,所以 B ? 。 2 2 2 6

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 已知函数 )

f ? x ? = cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是
2

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(A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? , 0 ? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

【答案】C 【天利解析】对于 A 选项,因为 f(2π﹣x)+f(x)=cos(2π﹣x)sin2(2π﹣x)+cosxsin2x=﹣ cosxsin2x+cosxsin2x=0,故 y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,A 正确; 对于 B 选项,因为 f(π﹣x)=cos(π﹣x)sin2(π﹣x)=cosxsin2x=f(x) ,故 y=f(x)的图象关于 x= 不对称,故 B 正确;
2 2 3

对于 C 选项,f(x)=cosxsin2x=2sinxcos x=2sinx(1﹣sin x)=2sinx﹣2sin x,令 t=sinx∈[﹣1,1], 则 y=2t﹣2t , t∈[﹣1, 则 y′=2﹣6t , y′>0 解得 1], 令 上增,在[ ]与[ ]上减,又 y(﹣1)=0,y(
3 2

, y=2t﹣2t , 故 在[ )=,故函数的最大值为

3

] ,故

C 错误; 对于 D 选项,因为 f(﹣x)+f(x)=+cosxsin2x+cosxsin2x=0,故是奇函数,又 f(x+2π)=cos(2π+x) sin2(2π+x)=cosxsin2x,故 2π 是函数的周期,所以函数即是奇函数,又是周期函数,故 D 正确。 综上知,错误的结论只有 C,故选 C
7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 函数 y ? x cos x ? sin x 的图 )

象大致为

【答案】 D 【天利解析】函数 y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 B,C.当 x ? ? 时,

f (? ) ? ?? ? 0 ,排除 A,选 D.
8 . (2013 年高考四川卷(理) 函数 )

f ( x) ? 2sin(? x ? ?),( ? ? 0, ?

?

? ? ? ) 的部分图象如图所 2 2

?

示,则 ? , ? 的值分别是(

)

3

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(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

? 3
时取得最小值,

【答案】A 【天利解析】因为在同一周期内,函数在 x= 所以函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= ﹣ = , 时取得最大值,x=

=π,解得 ω=2,

得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ) 又因为当 x= 所以 2sin(2? 因为 时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z) 选:A 。
0 0

,所以取 k=0,得 φ=﹣

9 . 2013 年 普 通 高等 学校 招 生 统 一 考试 重 庆 数学( 理 ) 试 题 (含 答 案) 4cos50 ? tan 40 ? ( )

(

) B.

A. 2

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ? 1

【答案】C 【天利解析】本题考查两角和差的正弦公式以及倍角公式。

4 cos 500 ? tan 400 ? 4 cos 500 ?

sin 400 cos 400

?

4cos 500 cos 400 ? sin 400 4sin 400 cos 400 ? sin 400 ? cos 400 cos 400 2sin 800 ? sin 400 2sin(600 ? 200 ) ? sin(600 ? 200 ) ? cos 400 cos 400

?

3 3 cos 200 ? sin 200 2sin(600 ? 200 ) ? sin(600 ? 200 ) 2 ? ? 2 0 cos 40 cos 400
4

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?

3 cos 400 ? 3 ,选 C. cos 400

10 . 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 ) 在 锐 角 中 ( )

?ABC , 角 A, B 所 对 的 边 长 分 别 为 a, b . 若

2a sin B ? 3b, 则角A等于
A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3
3 , 2

【答案】D 【天利解析】本题考查正弦定理的应用。由正弦定理得得 2sin A sin B ? 3 sin B ,即 sin A ? 以为三角形为锐角 ?ABC ,所以 A ?

?
3

,选 D.

11. (2013 年高考湖北卷(理) 将函数 y ? )

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长
)

度单位后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6

【答案】B 【天利解析】本题考查三角函数的图象与平移以及三角函数的图象与性质。 y= 3 cosx+sinx ? 2 cos( x ? 得到 y ? 2 cos( x ? m ?

?

?
6

) ,将函数 y ? 2cos( x ? ) 的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后, 6 6

?

) ,此时关于 y 轴对称,则 m ?

?

所以当 k ? 0 时,m 的最小值是
二、填空题

? ,选 B. 6

6

? k? , k ? Z ,所以 m ?

?

6

? k? , k ? Z ,

12. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) ?ABC 中, ?C ? 90 , M )
0

是 BC 的中点,若 sin ?BAM ? 【答案】

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

6 3
b , 4a2+b2 BC ,解得 2a2=b2,于是 sin?BAC=AB

AC 【天利解析】设 BC=2a,AC=b,则 AM= a2+b2,AB= 4a2+b2,sin?ABM= sin?ABC=AB= BM AM a 在△ABM 中,由正弦定理 = ,即1= sin?BAM sin?ABM 3 = 2a 6 2 2= 3 . 4a +b a2+b2 b 4a2+b2

5

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13 . 2013 年 高 考 新 课 标 1 ( 理 ) 设 当 ( )

x x ? ? 时 , 函 数 f ( x) ? sinx? 2 cos 取 得 最 大 值 , 则

cos? ? ______
【答案】 ?

2 5 . 5
sinx﹣ cosx) = sin x﹣α)其中 cosα= ( ( , sinα= ) ,

【天利解析】 =sinx﹣2cosx= ( (x) f

因为 x=θ 时,函数 f(x)取得最大值, 所以 sin(θ﹣α)=1,即 sinθ﹣2cosθ= , 又 sin θ+cos θ=1,联立解得 cosθ=﹣
2 2



14. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 如图 ?ABC 中,已知点 D )

在 BC 边上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________ 3

【答案】 3

【天利解析】

? 2 2 ? sin ?BAC ? sin(?BAD ? ) ? cos ?BAD ? 2 3
AB 2 ? AD 2 ? BD 2 2 AB ? AD

?根据余弦定理可得 cos ?BAD ?

?

2 2 (3 2) 2 ? 32 ? BD 2 ? ? BD ? 3 3 2?3 2 ?3

15. (2013 年高考四川卷(理) 设 sin 2? )

? ? sin ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan 2? 的值是_________. 2

?

【答案】 3 【天利解析】因为 sin2α=2sinαcosα=﹣sinα,α∈( 所以 cosα=﹣ ,sinα= 所以 tanα=﹣ 则 tan2α= , = = . = , ,π) ,

6

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16 .( 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 )) 若

1 2 cos x cos y ? sin x sin y ? ,sin 2 x ? sin 2 y ? , 则 2 3

sin( x ? y) ? ________
【答案】 sin( x ? y ) ?

2 . 3
1 2 2 , sin 2 x ? sin 2 y ? 2sin( x ? y ) cos( x ? y ) ? ,故 sin( x ? y ) ? . 2 3 3

【天利解析】 cos( x ? y ) ?

17 . 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 ) 已 知 △ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 应 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 若 ( )

3a 2 ? 2ab ? 3b2 ? 3c2 ? 0 ,则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
【答案】 C ? ? ? arccos

18. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 已知 ? 是第三象 )

1 3

限角, sin a ? ? ,则 cot a ? ____________. 【答案】 2 2 【天利解析】由 α 是第三象限的角,得到 cosα<0, 又 sinα=﹣ ,所以 cosα=﹣ 则 cotα= =2 =﹣

1 3

19. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 函数 )

y ? 3 sin(2 x ?
【答案】 ?

?
4

) 的最小正周期为___________.

【天利解析】 T =

2? =? 2

20. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所 )

对边的长分别为 a, b, c .若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____. 【答案】 ? 【天利解析】 3sin A ? 5sin B,

2 3

? 3a ? 5b, b ? c ? 2a ? cos C ?

a2 ? b2 ? c2 1 2 ?? ?C ? ? 2ab 2 3

7

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所以 ?
21. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) (纯 WORD 版含答案) 设 ? 为第二象限角, )

2 3

若 tan(? ?

?

4

)?
10 5

1 ,则 sin ? ? cos ? ? ________. 2

【答案】 ?

【天利解析】因为 tan(θ+

)=

= ,所以 tanθ=﹣ ,

因为 θ 为第二象限角,所以 cosθ=﹣

=﹣

,sinθ=

=



则 sinθ+cosθ=



=﹣



22. (2013 年高考江西卷(理) 函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x 的最小正周期为 T 为_________. )
2

【答案】 ? 【天利解析】本题考查三角函数的化简,以及三角函数的图象和性质。

y ? sin 2 x ? 2 3 sin 2 x ? sin 2 x ? 2 3 ?

? 2? ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,所以周期 T ? ?? . 3 2
三、解答题

1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 2

23. (2013 年高考北京卷(理) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. )

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

【天利解析】(I)因为 a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. 所以在△ABC 中,由正弦定理得

3 2 6 ? .所 sin A sin 2 A



2sin A cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3 6 n , 所 以 s i A? 3

(II) 由 (I) 知 cos A ?

?1

2

c o s A?

3 . 又 因 为 ∠B=2∠A, 所 以 3

c oB ? s

2 2 1 . 2 2 c o s? .所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? A? 1 3 3
5 3 . 9

在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

8

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所以 c ?

a sin C ?5. sin A

1 24. (2013 年高考陕西卷 (理) 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· . ) b 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? 【天利解析】(Ⅰ) f ( x) ? a· = cos x ? 3 sin x ? b

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

? ? 5? ? 5? ]时, x ? ) ? [- , ],由标准函数y ? sin x在[- , ]上的图像知, (2 . 2 6 6 6 6 6

? ? ? 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1,? . 2 ? 2?
25. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的 )

对边分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(1)求 C ;

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 , ? ,求 tan ? 的值. 2 5 cos ? 5

由题意得

9

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26 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) 已 知 函 数 ( )

?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期;
? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?













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27 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) 设 向 量 ( )

a?

?

3 s i n , s ixn b ,? x ?

?

? ?? cx s ? , s?n x ,? o ix? ? 2?

0,

.

(I)若 a ? b .求x的值;

b (II)设函数 f ? x ? ? a ? , 求f ? x ?的最大值.

【天利解析】
28. (2013 年高考上海卷(理) (6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? )

?0;

(1)若 y ? f ( x) 在 [?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 6

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的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上 述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值. 【天利解析】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ?? 4 ? ? ? 2 3 ? ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 3 2 ?
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? 故若 y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 14 ? . ? 15 ? ? 3 3 3 29. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 设 ?ABC 的内角 )
A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B (II)若 sin A sin C ?

?

?

3 ?1 ,求 C . 4

30 . 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 ) 在 ( )

?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

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A? B 3 cos B ? sin( A ? B)sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; ? ??? ??? ? (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. A? B 3 【天利解析】 ? ? ? 由 2cos 2 cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 2 5 3 ?cos ? A ? B ? ? 1? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? , ? ? 5 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 3 4 ? ?? ? 由 cos A ? ? ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? , 5 5 2cos 2
由正弦定理,有

b sin A 2 a b ? ,所以, sin B ? . ? a 2 sin A sin B

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4

.

根据余弦定理,有 4 2

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

??? ?

??? ?

??? ?

2 2

31. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所 )

对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a, c 的值; (Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

7 . 9

2 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,得 b ? ? a ? c ? ? 2ac(1 ? cos B) , 【天利解析】(Ⅰ)由余弦定理 2

又 a ?c ? 6,b ? 2 ,

cos B ?

7 9 ,所以 ac ? 9 ,解得 a ? 3 , c ? 3 .
4 2 9 ,

(Ⅱ)在△ ABC 中,

sin B ? 1 ? cos 2 B ?
a sin B 2 2 ? b 3 ,

sin A ?
由正弦定理得

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因为 a ? c ,所以 A 为锐角,所以

cos A ? 1 ? sin 2 A ?

1 3

sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
因此

10 2 27 .

32 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 安 徽 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) 已 知 函 数 ( )

?? ? f ( x) ? 4 c o? x? s? ? x ? ? ( s in ? ? 4? ?
(Ⅰ)求? 的值; 【天利解析】

的最小正周期为 ? . 0)

(Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上的单调性.

(Ⅰ) ? 2 2 cos?x(sin ?x ? cos?x) ?

2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin(2?x ?

?
4

)? 2

?

2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

2

]时, x ? (2
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0,

]上单调递增;在[ , ]上单调递减. 8 2

) ? [ , ? ? ],令2 x ? ? 解得x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?

?

?

?

?

?

33 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) 已 知 函 数 ( )

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( , 0) ,将函数 f ( x) 图 4
像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移 到函数 g ( x) 的图像. (1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (

?

?

2

个单位长度后得

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确 6 4

定 x0 的个数;若不存在,说明理由. (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点. 【天利解析】(Ⅰ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )
,所以 f ( x) ? cos 2 x

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图象,再将

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y ? cos x 的图象向右平移
(Ⅱ)当 x ? (

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x

? ?

1 2 1 , 0 ? cos 2 x ? , ) 时, ? sin x ? 2 2 6 4 2

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x 问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( 设 G ( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2 cos 2 x , x ? (

? ?

? ?

, ) 内是否有解 6 4

, ) 6 4

则 G ?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x) 因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( , ) 内单调递增 6 4 6 4

? ?

又 G( ) ? ?

?

6

? 2 1 ?0 ? 0 , G( ) ? 4 2 4
? ?
, ) 内存在唯一零点 x0 , 6 4

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( 即存在唯一的 x0 ? (

? ?

, ) 满足题意 6 4

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2 x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x) ? 0 的解,所以方 程 F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ?

cos 2 x , x ? k? ( k ? Z ) sin x

现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) sin x

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 sin x 2 2

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

x
h?( x) h( x )

(0, ) 2 ?
Z

?

?
2 0

( ,? ) 2 ?

?

(? ,

?
]
15

3? ) 2

3? 2 0
?1

(

3? , 2? ) 2 ?

]

Z

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当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数个交点, 从而不存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交点;当 a ? ?1 时, 直 线 y ? a 与 曲 线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内 有 3 个 交 点 , 由 周 期 性 , 2013 ? 3 ? 671 , 所 以

n ? 671? 2 ? 1342
综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点
34. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 本小题 )

b 满分 14 分.已知 a=(cos ? ,sin ? ),? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? .
(1)若 | a ? b |?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

【天利解析】(1)∵ | a ? b |? 又

2

∴| a ? b | ? 2
2

即 a?b

? ?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

2 2 2 2 2 2 ∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴

2

2

a ?b
(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) 两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ? ∴?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?

∴ sin ? ?

1 2

∴ sin ? ?

1 2

∵ 0 ? ? ?? ??

5 1 ?,? ? ? 6 6

35 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ( 纯 WORD 版 ) 已 知 函 数 ( )
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? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ?R . 12 ? ?
(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

(Ⅰ) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?
? ?

(Ⅱ) f ? 2? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

??

7 ? 24 ? 17 . ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? 25 ? 25 ? 25 3?

36. (2013 年高考湖南卷(理) 已知函数 )

? ? x f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

【天利解析】(I) f ( x) ?

3 1 1 3 3 3 . sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x ? f (? ) ? 3 sin ? ? 2 2 2 2 5

3 ? 4 ? 1 ? sin ? ? ,? ? (0, ) ? cos? ? , 且g (? ) ? 2 sin 2 ? 1 ? cos? ? 5 2 5 2 5
(II) f ( x) ? g ( x) ? 3 sin x ? 1 ? cos x ?

3 1 ? 1 sin x ? cos x ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2

? x?

?
6

? [2k? ?

?
6

,2k? ?

5? 2? ] ? x ? [2k? ,2k? ? ], k ? Z 6 3

37. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 本小题 )

满分 16 分.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1min 后, 再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min ,山路 AC 长为 1260m ,经测 量, cos A ?

12 3 , cosC ? . 13 5
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(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C

12 3 , cosC ? 13 5 ? 5 4 ∴ A、C ? 0, ) sinA ? ∴ , sinC ? ( 2 13 5
【天利解析】(1)∵ cos A ? ∴ sinB ? sin?? ? A ? C)? sin(A ? C) sinAcosC ? cosAsinC ? ? ( ? 根据

63 65

AB AC AC 得 AB ? ? sinC ? 1040 m sinC sinB sinB
2 2 2

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 d ? (130 t ) ? (100 ? 50t ) ? 2 ? 130 t ? (100 ? 50t ) ? ∴ d ? 200 (37t ? 70t ? 50)
2 2

12 13

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 37 37
∵0 ? t ? (3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) 得 BC ? ? 63 13 sinB sinA sinB 65

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min ,则 ∴?3?

500 710 ? ?3 v 50

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14
?1250 625 ? , ? 范围内 ? 43 14 ?

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 法二:解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示.
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则:AM=130x,AN=50(x+2), 2 2 2 2 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5 126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: +3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min. 5 14 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 M B D C
38 . 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) 在 ?ABC 中 , 角 A , ( )

A N

B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【天利解析】(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? sin 2 A 2
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

39. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) △ ABC 在内角 )

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值. 【天利解析】
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40. (2013年高考新课标1(理) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一 )

点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

【 天 利 解 析 】 (Ⅰ) 由 已 知 得 ,∠PBC= 60 ,∴∠PBA=30 , 在 △PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得

o

o

PA2 = 3 ?

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= ; 4 2 4 2

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(Ⅱ)设∠PBA= ? ,由已知得,PB= sin ? ,在△PBA 中,由正弦定理得, 得, 3 cos ? ? 4sin ? , ∴ tan ? =

3 sin ? ? ,化简 o sin150 sin(30o ? ? )

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

41. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满

分 9 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 { xn }
? 为 1、公比为 2 的等比数列,记 ?Pn APn ?1 ? ? n , n ? N .

是首项

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

8 (2)若点 A 的坐标为 (0, 2) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值.
y A

0

P1 P2

P3

P4

x
n ?1

【天利解析】(1)设 A(0,) ,根据题意, xn ? 2 t

.由 ?3 ? arctan

1 1 ,知 tan ?3 ? , 3 3

x4 x3 ? t t ? t ( x4 ? x3 ) ? 4t , 而 tan ?3 ? tan(?OAP4 ? ?OAP ) ? 3 2 2 x x 1 ? 4 ? 3 t ? x4 ? x3 t ? 32 t t 4t 1 所以 2 ? ,解得 t ? 4 或 t ? 8 . t ? 32 3
故点 A 的坐标为 (0, 或 (0, . 4) 8)

(2)由题意,点 Pn 的坐标为 (2

n?1

, , tan ?OAPn ? 0)

2n ?1 . 8 2

2n 2n ?1 ? 2n ?1 1 8 2 8 2 ? tan ? n ? tan(?OAPn ?1 ? ?OAPn ) ? ? . n n ?1 2 n ?1 2 2 2 16 2 2n 1? ? 8 2? ? 8 2 8 2 8 2 2n 8 2

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因为

16 2 2n 1 2 ? ? 2 2 ,所以 tan ? n ? ? , n 2 4 8 2 2 2 16 2 2n ? ,即 n ? 4 时等号成立. 2n 8 2

当且仅当

易知 0 ? ? n ?

?

, ? tan x 在 (0, ) 上为增函数, y 2 2
2 . 4

?

因此,当 n ? 4 时, ? n 最大,其最大值为 arctan

42 . 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 ( )

cosC+(conA-

sinA)cosB=0.

(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围 【天利解析】(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3 sin A cos B ? 0 即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 , 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

?
3

.
2 2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B .

1 1 2 1 2 ,有 b ? 3(a ? ) ? . 2 2 4 1 1 2 又 0 ? a ? 1,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 . 4 2
因为 a ? c ? 1, cos B ?

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