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高三数学周日练习卷


高三数学周考试卷 2012.12.9
1 已知集合 M ? ?0,1,2 , N ? {x | x ? ?a, a ? M } ,则集合 M ? N = ? 2 设等差数列 ?an ? 的公差为正数,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15,a1a2 a3 ? 80, a11 ? a12 ? a13 ? 则 3 过点(5,2), 且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的

2 倍的直线方程是 4 设 a ? (sin

.

?
12

)2 , b ? 2

tan

?
12

, c ? log2 (cos

?
12

) ,则 a , b, c 由小到大的顺序为

5.在△ABC 中,AB=7,BC=5,CA=6,则 AB ? BC = 6 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ,则该双曲线的离心率为 7 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的圆心在第一象限,圆 C 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,且与直 线 x-y+1=0 相切,则圆 C 的方程为 π 1 8 已知直线 x=a(0<a< )与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,若 MN= ,则线 2 5 段 MN 的中点纵坐标为 9.若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2x ? a ? x ,则实数 a 的取值范围是 ..
2

??? ??? ? ?

10. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 ?0,??? 上 是 单 调 递 增 , 若 . f (lg2 ? lg 50 ? (lg5)2 ) ? f (lg x ? 2) ? 0 ,则 x 的取值范围为 ??? ? ??? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PC PA ? PB ? 4 AB ? 2 11、已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 , ,设向量 PC ? 2PA ? PB ,则 的最小 值是
| x| 12、设 x ? R , f ( x ) ? ( ) ,若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? k 对于任意的 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围

1 2

是 13. 椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA= 方程 14 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 的上焦点为 F ,直线 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆相交于点 A , B , C , D ,则 3 4

2 则椭圆的 3

AF ? BF ? CF ? DF ?

15)在△ABC 中,a.b.c 分别为内角 A.B.C 所对的边,且满足 sin A ? 2 ? 3 cos A (1)求角 A 的大小 (2)现给出三个条件:①a=2.②B=45°③C= 3b 试从中选出两个可以 确定△ABC 的条件写出你的选择, 并以此为依据求△ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) 16 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是直角梯形, ∠BAD=∠ADC =90° AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . , (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

17 某企 业拟在 2013 年度进行一系列促销活动,已知某产品年销量 x 万件与年促销费用 t 万元 之间满足 3-x 与 t+ 1 成反比例,当年促销费用 t=0 万元时,年销量是 1 万件,已知 2013 年产品的设备折旧、维修等固定 费用为 3 万元, 每生产 1 万件产品需再投入 32 万元的生产费用。 若将每件产品售价定为: 其生产成本的 150% 与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的商品正好能销完。 (1)将 2013 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数 (2)该企业 2013 年的促销费投入多少万元时,企业年利润最大?(注:利润=销售收入-生产成本-促 销费,生产成本=固定费用+生产费用) x2 y2 1 18 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,离心率为 ,右准线 a b 2 为 l:x=4.M 为椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于点 P. (1)求椭圆 C 的方程; ? ? (2)若AM=MP,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A 19 已知数列 {a n }中, a1 ? O N
(第 18 题)

P x

B

1 , 点(n,2a n ?1 ? a n )( n ? N * )在直线 y ? x上, 2 (Ⅰ)计算 a2 , a3 , a4的值;
(Ⅱ)令 bn ? an?1 ? an ? 1, 求证 : 数列 bn } 是等比数列; {

(Ⅲ)设 S n 、 Tn 分别为数列 {an } 、{bn } 的前 n项和, 是否存在实数 ,使得数列 { ? 列?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 的交点处的切线互相 平行。 (1)求此平行线的距离;

S n ? ?Tn } 为等差数 n

20 函数 f ( x) ? aex , g ( x) ? ln x ? ln a, 其中 a 为常数,且函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 的图象在其与坐标轴

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围; f ( x) (3)对于函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公共定义域中的任意实数 x0,我们把 | f ( x0 ) ? g ( x0 ) | 的值称 为两函 数在 x0 处的偏差,求证:函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2。
(3)若存在 x 使不等式

(20 选作).(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax 在(0,1)内是增函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若 b ? 1 ,求证:
ln(b ? 2) ? ln b ? 2 ln(b ? 1) ? ?1 b(b ? 1)

.

高三数学周考答卷 2012.12.9
一 填空题: 1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12 14

姓名

15(14 分)在△ABC 中,a.b.c 分别为内角 A.B.C 所对的边,且满足 sin A ? 2 ? 3 cos A (1)求角 A 的大小 (2)现给出三个条件:①a=2.②B=45°③C= 3b 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件写出你的选择, 并 以此为依据求△ABC 的面积(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分)

16 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90° AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . , (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

17 某企 业拟在 2013 年度进行一系列促销活动,已知某产品年销量 x 万件与年促销费用 t 万元 之间满足 3-x 与 t+ 1 成反比例,当年促销费用 t=0 万元时,年销量是 1 万件,已知 2013 年产品的设备折旧、维修等固定 费用为 3 万元, 每生产 1 万件产品需再投入 32 万元的生产费用。 若将每件产品售价定为: 其生产成本的 150% 与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的商品正好能销完。 (1)将 2013 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数 (2)该企业 2013 年的促销费投入多少万元时,企业年利润最大?(注:利润=销售收入-生产成本-促 销费,生产成本=固定费用+生产费用)

x2 y2 1 18 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,离心率为 ,右准线 a b 2 为 l:x=4.M 为椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于点 P. ? ? (1)求椭圆 C 的方程;(2)若AM=MP,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A O N B P

x

(第 18 题)

19 已知数列 {a n }中, a1 ?

1 , 点(n,2a n ?1 ? a n )( n ? N * )在直线 y ? x上, 2 (Ⅰ)计算 a2 , a3 , a4的值;
(Ⅱ)令 bn ? an?1 ? an ? 1, 求证 : 数列 bn } 是等比数列; { (Ⅲ)设 S n 、 Tn 分别为数列 {an } 、{bn } 的前 n项和, 是否存在实数 ,使得数列 { ? 列?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

S n ? ?Tn } 为等差数 n

20 函数 f ( x) ? aex , g ( x) ? ln x ? ln a, 其中 a 为常数,且函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 的图象在其与坐标轴 的交点处的切线互相 平行。 (1)求此平行线的距离;

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围; f ( x) (3)对于函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公共定义域中的任意实数 x0,我们把 | f ( x0 ) ? g ( x0 ) | 的值称 为两函
(3)若存在 x 使不等式 数在 x0 处的偏差,求证:函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2。

(20 选作).(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax 在(0,1)内是增函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若 b ? 1 ,求证:
ln(b ? 2) ? ln b ? 2 ln(b ? 1) ? ?1 b(b ? 1) .

高三数学周考附加题 2012.12.9
21B.选修 4-2:矩阵与变换

? 1 2? ?3? ? ,B = ? 2 ? . ? ?1 4? ? ? (1)求 A 的特征值 ?1 , ?2 及对应特征向量 ?1 , ?2 ,
给定矩阵 A= ? (2)求 A B .
4

22C. 选修 4-4:极坐标与参数方程 π 2 已知某圆的极坐标方程为:ρ -4 2ρ cos(θ - )+6=0. 4 (1)将极坐标方程化为普通方程;并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

23 如图,在棱长为 1 的正方体 A C1 中,E、F 分别为 A1D1 和 A1B1 的中点. (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角的余弦值: (2)求平面 AC C1 与平面 BF C1 所成的锐二面角: (3)若点 P 在正方形 ABCD 内部或其边界上,且 EP∥ 平面 BF C1 ,求 EP 的取值范围.

24 一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得 1 分,反面向上得 2 分. (1)设抛掷 5 次的得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? ; (2)求恰好得到 n (n?N* ) 分的概率.


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