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08第1、2课时极限存在准则、两个重要极限


江苏教育学院运河分院高等数学

总 课 题 分 课 题

第一章 知识目标:

函数、极限与连续

总课时 分课时

第 15、 课时 16

1.4 极限存在准侧、两个重要极限 1.理解极限存在的两个准则具体内容; 2.掌握迫敛定理及其应用;

/>第 3、4 课时

3.熟练掌握两个重要极限的理解及其应用 技能目标: 教学目标 1.结合迫敛定理理解两个重要极限的运用; 2.培养学生学会观察问题、分析问题、解决问题的能力,要学 会自己总结的能力 情感目标: 极限存在准则的理解充分锻炼学生的数学思维能力, 教学过程 中通过对必要条件和充分条件的渗透, 为后续学习无穷大与无穷小 做必要准备;两个重要极限在“5+2”考试中占有非常重要的地位, 在教学过程中应使学生充分感受这两类重要极限的重要性. 重点难点 利用两个重要极限计算. 探究式教学法 教学方法
夹逼原则以及单调有界定理不需要学生证明,但是需要学生能够体会 这两个定理的可行性,在此教学模式下,要求学生能够自己举出一些满足 条件的极限实际例子,进而感受极限存在准则,在此基础上为学习两个重 要极限打下基础.

?知识复习
(一) 、极限存在的两个准则: 准则 1.单调有界数列极限一定存在 准则 2. (迫敛定理) (二) 、两个重要极限 重要极限 1: lim

?学生活动

1、复习:让学生试着 说一说极限存在准则

sin x ?1 x ?0 x

的内容, 并试着举一些 具体的例子 (证明不做 要求) ;

练习题:
1、利用迫敛性求极限: (1) lim

x ? cos x x ? ?? x

(2) lim

x sin x x ? ?? x 2 ? 4
2、学生练习:运用迫

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敛定理以及第一类重 要极限计算极限;

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(3) lim ?

? 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ?? 2 4 6 2n ? ?

(4) lim

n ??

?
k ?1

n

1 n ?k
2

2、计算下列极限:

(1) lim

sin 2 x x ?0 x

(2) lim

sin x 3 x? 0 (sin x ) 2

?学生活动

(3) lim
x?

cos x x?

?

?
2

(4) lim

x ?0

2

tan x x

3、注意练习题 3,学 生思考并回答: 分子分 母在自变量的变化趋 势下有着怎样的变化 趋势 (学生很容易能够

tan x ? sin x (5) lim x ?0 x3
(7) lim

arctan x (6) lim x ?0 x
(8) lim

sin 4 x x ?1 ?1

x ?0

x ?0

1 ? cos x 2 1 ? cos x

?新课讲授
一、极限存在的两个准则 准则 1.单调有界数列极限一定存在 准则 2. (迫敛定理)设 g ?x ? ? f ?x ? ? h?x ? 若 lim g ?x ? ? A , lim h?x ? ? A ,则 lim f ?x ? ? A 注: (1)对于数列也有类似的迫敛定理:略 (2)迫敛定理的证明不需要掌握但是要理解其原理,并能够进行熟练的 运用.

观察出来) ;在此基础 上让学生适时的跳一 跳: 既然在此变化趋势 下分子和分母均为无 穷小, 那么能否试着转 化成为第一类极限的 形式 (充分运用诱导公 式以及变量代换法)

二、两个重要极限 第二个重要极限:
1 ? 1? ? 1? 公式 2. lim ?1 ? ? ? e ; lim ?1 ? ? ? e ; lim ?1 ? v ? v ? e n ?? u ?? v ?0 ? n? ? u?
n u

注: (1)该定理中的数列为单调递增数列; (2) 该定理不仅仅适用于数列的极限, 同样的我们也可以由该极限得出以下极限:

? 1? lim ?1 ? ? ? e x ?? x? ?

x

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? 1? ? 1? lim ?1 ? ? ? e , lim ?1 ? ? ? e x ? ?? x ? ?? x? x? ? ?
同理,我们也可得出,对任意表达式 ? ,我们有:

x

x

? ??

lim (1 ?

1 )?e ?
?学生活动

?例题练习
例 1、求下列极限:

? (1) lim ?1 ? x ?? ?

2? ? x?

x ?10

?1? x ? x (2) lim ? ? x ?0 1 ? x ? ?

1

(3) lim ?

? x ?1? ? x ?? x ? 1 ? ?

x

(4) lim ?

? 2x ? 3 ? ? x ?? 2 x ? 1 ? ?
4 x ?1

x ?1

5、第二个重要极限由 于形式的多样化, 因此 判别起来相对较为复

(5) lim ?1 ? tan x ?
x ??

cot x

(6) lim x
x ?1

杂,但是方法较为固
csc2 ?3 x ?

(7) lim ?cos x ?
x ?0

cot2 x

(8) lim ?cos x ?
x?0

定, 要求学生对幂指次 式的运算性质非常熟

? 3x ? 2 ? (9) lim ? ? x ?? 3 x ? 1 ? ?
(11) lim ? 思考:

2 x ?1

? 2? (10) lim ?1 ? ? n ?? ? n?
(12) lim ?

2n

练.

? n ?1? ? n ?? ? n ?

n

? n ?1 ? ? n ?? n ? 2 ? ?

2 n ?1

ln(1 ? x) (13) lim x ?0 x

ex ?1 (14) lim x ?0 x

?板书设计

6、第 7、8 小题是针 对含有三角函数的第 二个重要极限的类型 的充分运用, 需要指出
第 3 页 共 4 页

1.3 极限存在准则 两个重要极限 两个重要极限 例题与练习 重要极限 1: 略 重要极限 2:

的是, 这种类型的问题 在学习了洛必达法则

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