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2012年高中精品教案集:3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生


3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生

一、教学目标: 1、 知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)会根据古典概型与几何概型的

区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、 过程与方法: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数 学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模 拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观: 本节课的主要特点是随机试验多, 学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点: 1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题的方法, 掌握数学思想与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果 的随机试验是不够的, 还必须考虑有无限多个试验结果的情况。 例如一个人到单位的时间可 能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中 的任何一点??这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念: (1) 几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个 基本事件出现的可能性相等. 3、 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。

(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当 指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于 古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概 率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间 不多于 10 分钟的概率. 分析: 假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间 有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概 率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站 等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时 间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 间不多于 10 分钟的概率为

60 ? 50 1 = ,即此人等车时 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等 可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的 概率.

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点 钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构 成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出的 种子中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件的 区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则

P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的 概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一 个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3] 上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内,也 就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是 事件 A 发生的概率。 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转 动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N, 则 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机 数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数 不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的 结果, 同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认 识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形 的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率

N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的近似 值为 fn(A)=

N1 . N

4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时, 一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀

随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的 量(如概率值、常数 ) 有关,然后设计适当的试验, 并通过这个试验的结果来确定这些量. 5、自我评价与课堂练习: 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草 履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求 硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 3.某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好 选中学生甲主机会有多大? 4.如图 3-18 所示,曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一个区域 A,直线 x=1、直线 y=1、x 轴 围成一个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落 在区域 A 内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。 6、评价标准: 1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 A: “在取出 2ml 的水样中有草履虫”的概率 等于水样的体积与总体积之比

2 =0.004) 500

2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为 事件 A,为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得 最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这 样线段 OM 长度(记作 OM)的取值范围就是[o,a], 只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求 事件 A 的概率就是 P(A)=

M 2a r o

(r , a]的长度 a ? r = a [0, a]的长度

3.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成。 (1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表

试 验 50 次数 1 出现 的频 数 1 出现 的频 率

100

150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000

1050

(4)利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

4.解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐标。 如果一个点(x,y)满足 y≤-x2+1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列相应地

就填上 1,否则填 0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 ? 0.947386 0.117618 0.516465 0.596393

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 ? 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695

计数 0 1 0 1 1 1 ? 0 1 1 0

7、作业:根据情况安排


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