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2014年高考数学真题分类汇编理科-概率与统计(理科)[1]


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一、 选择题
1.(2014 广东理 6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示,为了解该 地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和 抽取的高中生近视人数分别为( ).

小学生 3500



近视率/%
高中生 2000名

50 30

初中生 4500名

10 O 小学 初中 图2 高中 年级

图1
A. 200, 20 B. 100, 20 C 200,10

D. 100,10

2.(2014 湖北理 4)根据如下样本数据

x
y

3 4.0

4

2.5

5 ?0.5
).

6 0.5

7 ?2.0

8 ?3.0

得到的回归方程为 ? y ? bx ? a ,则( A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0

C. a ? 0, b ? 0

D. a ? 0, b ? 0

3.(2014 湖南理 2)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为

p1 , p2 , p3 ,则(
A. p1 ? p2 ? p3

). B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2 D.

p1 ? p2 ? p3
4.(2014 江西理 6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间 的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4 ,则与性别有关联的可能性最 大的变量是( ). 表1 表2
成绩 性别 男 女 总计 不及格 及格 总计 视力 性别 男 女 总计 好 差 总计

6 10

14
22

20 32

4 12

16 20

20 32

16

36

52

16

36

52

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表3
智商 性别 男 女 总计 偏高 正常 总计

表4
阅读量 性别 男 女 总计 丰富 不丰富 总计

8 8 16

12

24

36
B.视力

20 32 52
C.智商

14

2

16

6 30 36

20 32 52

A.成绩

D.阅读量

5. (2014 山东理 7)为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿 者的舒张压数据(单位: kPa )的分组区间为 ?12,13? , ?13,14? , ?14,15? , ?15,16? , ?16,17? , 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五组,右图是根据试验数据制 成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第 三组中有疗效的人数为( ).

频率 / 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 0 12 13 14 15 16 17 舒张压/kPa

6.(2014 陕西理 6)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距 离不小于该正方形边长的概率为( A. ). C.

1 5

B.

2 5

3 5

D.

4 5

7.(2014 陕西理 9)设样本数据 x1 , x2 ,? x10 的均值和方差分别为 1 和 4 ,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常数, i ? 1, 2,?,10 ) ,则 y1 , y2 ,? y10 的均值和方差分别为( A. 1 ? a, 4 B. 1 ? a, 4 ? a C. 1, 4 D. 1, 4 ? a ).

8. (2014 新课标 1 理 5)4 位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率( ).

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A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

9. (2014 新课标 2 理 5) 某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75 , 连续两天为优良的概率是 0.6 ,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良 的概率是( ). A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 10. ( 2014 浙江理 9 )已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球

3, n 3? ,从乙盒中随机抽取 i ?i ? 1,2? 个球放入甲盒中. ? m厖
( a )放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ?i ? i ? 1, 2? ; ( b )放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi ?i ? 1,2? . 则( ). B. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? D. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ?

A. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ? C. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ??2 ?

11. ( 2014 重庆理 3 )已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x ? 2.5 ,

y ? 3.5 ,则由观测的数据得线性回归方程可能为(
A. ? y ? 0.4x ? 2.3 C. ? y ? ?2x ? 9.5 B. ? y ? 2x ? 2.4 D. ? y ? ?0.3x ? 4.4

).

二、填空题
1.(2014 福建理 14)如图所示,在边长为 e ( e 为自然对数 的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概 率为 .

y

y ? ex

e
y ? ln x
O

e

x

2.(2014 广东理 11)从 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是

6 的概率为 . 3.(2014 江苏理 4 )从 1, 2, 3, 6 这 4 个数中一次随
机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率 是 . 4.(2014 江苏理 6)为了了解一片经济林的生长情
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

频率 组距

80

90 100 110 120 130 底部周长/cm

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况,随机抽测了其中株树木的底部周长(单位: cm ) ,所得数据均在区间 ?80,130? 上,其 频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 于 100cm . 5.(2014 江西理 12) 10 件产品中有 7 件正品, 3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件 次品的概率是 . 6.(2014 辽宁理 14)正方形的四个顶点 A ? ?1, ?1? , B ?1, ?1? , C ?1,1? , D ? ?1,1? ,分别 在抛物线 y ? ? x2 和 y ? x2 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质 y 点落在阴影区域的概率是 . 株树木的底部周长小

D
-1

1

y ? x2
C
1

O
-1

x
B y ? ? x2

A
7.(2014 天津理 9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分 层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校 一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 : 5 : 5 : 6 ,则应从一年级本科生中 抽取_______名学生. 8. (2014 浙江理 12) 随机变量 ? 的取值为 0,1, 2 , 若 P ?? ? 0 ? ? ________.

1 ,E ?? ? ? 1, 则 D ?? ? ? 5

三、解答题
1.(2014 安徽理 17) (本小题满分 12 分) 甲、 乙两人进行围棋比赛, 约定先连胜两局者直接赢得比赛, 若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 2.(2014 北京理 16) (本小题 13 分) 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立) : 场次 主场 1 主场 2 投篮次数 命中次数 场次 客场 1 客场 2 投篮次数 命中次数

2 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛 3 3

22

12

18

8
12

15

12

13

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主场 3 主场 4 主场 5

12

8

客场 3 客场 4 客场 5

21

7

23
24

8 20

18 25

15
12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一场不 超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这 比赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小.(只需写出结论) 3.(2014 大纲理 20) (本小题满分 12 分) 设每个工作日甲、 乙、 丙、 丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6 ,0.5 ,0.5 ,0.4 , 各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2) X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 4.(2014 福建理 18) (本小题满分 13 分) 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客 从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球, 球上所标的面值之和为该顾客 所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: ① 顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2) 商场对奖励总额的预算是 60000 元, 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计,并说明理由. 5.(2014 广东理 17) (13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数 (单位:件) ,获得数据如下:

30, 42, 41,36, 44, 40,37,37, 25, 45, 29, 43,31,36, 49,34,33, 43,38, 42,32,34, 46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率

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?25,30?
?30,35?
?35,40? ? 40,45?

3

0.12

5
8

0.20
0.32

n1

f1

? 45,50?

n2

f2

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有1 人的日加工零件数落在区 间 ? 30,35? 的概率. 6.(2014 湖北理 20) (本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入 流量 X (年入流量: 一年内上游来水与库区降水之和, 单位: 亿立方米) 都在 40 以上.其中, 不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将 年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制, 并有如下关系; 80剟 X 120 40 ? X ? 80 X ? 120 年入流量 X 发电机最多可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 7. (2014 湖南理 17) 某企业甲,乙两个研发小组,他 们研发 新产品成功的概率分别为 现安排甲组研发新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获得 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可 获得利润 100 万元,求该企业可获得 利润的分布列和数学期望. 8.(2014 江苏理 22) (本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、 3 个黄球和 2 个绿球, 这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球, 求取出的 2 个球颜色相同的概率 P ; (2) 从盒中一次随机取出 4 个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为 x1 ,x2 ,x3 ,

2 3 和 , 3 5

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随机变量 X 表示 x1 , x2 , x3 中的最大数. 求 X 的概率分布和数学期望 E ? X ? . 9.(2014 江西理 21) (本小题满分 14 分)
? 2 这 2 n 个连续正整数分成 A, B 两组, 随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n… 每组 n 个数,A 组

?

?

最小数为 a1 ,最大数为 a2 ; B 组最小数为 b1 ,最大数为 b2 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b2 ? b1 . (1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件“ ? 与 ? 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P ?C ? ; (3)对(2)中的事件 C , C 表示 C 的对立事件,判断 P ?C ? 和 P C 的大小关系,并说 明理由. 10.(2014 辽宁理 18) (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直方图, 如图所 示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量 低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列, 期望 E ? X ? 及方差 D ? X ? .
频率 组距

? ?

0.006
0.005 0.004

0.003 0.002 0
50 100 150 200 250

日销售量 / 个

11.(2014 山东理 18)(本小题满分 12 分) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 A, B ,乙被划分 为两个不相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定: 回球 一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小

1 1 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的 2 3 1 3 落点在 C 上的概率为 , 在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各一次, 小明 5 5
明回球的落点在 C 上的概率为 的两次回球互不影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;

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(2)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望.

D C

A B

12.(2014 陕西理 19) (本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) 概率

300
0.5

500
0.5

作物市场价格(元/kg) 概率

6

10

0.4

0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元 的概率. 13.(2014 四川理 17)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓 要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出 现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得

1 ?200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2
(1)设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反 而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 14.(2014 天津理 16) (本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 6 名男同学, 4 名女同学. 在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、 化学等其他互不相同的 7 个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名 同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

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15.(2014 新课标 1 理 18) (本小题满分 12 分) 从某企业的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如 下频率分布直方图:
频率 组距

0.033 0.024 0.022 0.009 0.008 0.002 165 175 185 195 205 215 225 235

质量指标值

(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的 中点值作代表) ;
2 (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ? , ? ,

2

?

?

其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 .
2

(i)利用该正态分布,求 P ?187.8 ? Z ? 212.2? ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位 于区间 ?187.8,212.2? 的产品件数.利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ? 12.2 .
2 若 Z ? N ? , ? ,则 P ? ? ? ? ? Z ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,

?

?

P ? ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ? ? 0.9544 .
16.(2014 新课标 2 理 19) (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y

2007
1

2008
2

2.9

3.3

2009 3 3.6

2010
4

4.4

2011 5 4.8

2012 6 5.2

2013 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入 的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

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?? 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n


2

? . ? ? y ? bt a
17.(2014 重庆理 18) (本小题满分 13 分) 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是1 , 3 张卡片上的数字 是 2 , 2 张卡片上的数字是 3 ,从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望(注:若三个

b c ,则称 b 为这三个数的中位数). 数 a, b, c 满足 a剟


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