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高三热身考试卷


2010 届高三第二学期数学热身考试试卷
班 学号 填空题( 一, 填空题( 4 × 14 ) (1 + i )2 1. 复数 的虚部是 2+i
'

高三

姓名

成绩

2.

log 2 2 x 1 < 2 的解集是

>3. 已知 y = f ( x + 1) 为定义在 R 上的单调奇函数,则 f 1 (0) =
n n 4. (1 + 2 x ) 展开式的各项系数和为 an ,其二项式系数和为 bn ,则 lim b + a = n →∞ n n

n

b a

5. 方程 sin x cos(2 x +

π

π 1 ) + cos x sin(2 x + ) = ( x ∈ [0, π )) 的解集是 6 6 2

6. (理)半径为 1 ,与 y 轴相切于原点的圆的极坐标方程是
2 (文) y = x 的对称轴与准线的交点坐标是

7. 若直线 x y + 1 = 0 与圆 x + y 2 x + 1 a = 0 相切,则 a =
2 2

.

8. 棱长为 a 的正方体框架内放置一气球, 使其充气且尽可能地膨胀, 但保持球体基本形状, 则气球表面积的最大值为 9.已知等比数列 {an } 的公比为 q ,若 n 为奇数, a n +1 = m ,则 a5 n +1 =
2 2

10.(理)若 x, y , z ∈ R , x 2 y + 3 z = 0, 则

+

y2 的最小值为 xz

x + y ≤ 4, (文)已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 y ≥ x, 则 x 2 + y 2 的最大值为 x ≥ 1.
11. 连续掷两次骰子得到的点数分别是 m, n ,记向量 a = ( m, n) 与

b = (1, 1) 的夹角为 θ ,则 θ ∈ (0, ] 的概率是 2
12. 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次, i 次观测得到 第 的数据为 ai ,具体如下表所示:

π

i

1 40

2 41

3 43

4 43

5 44

6 46

7 47

8 48

ai

在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示 的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均数) ,则输 出的 S 的值是____________

13.有以下四个命题: (1) 若 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和, d 为公差,则 S n = Cn an Cn d ;
1 2

(2) 函数 f ( x ) =

1 1 1 4 + + (1 < x < 2) 的最小值是 ; x(1 x) ( x 1)(2 x) ( x 2)(3 x) 3
3 5 ,sin B = , 则角 C 可能是锐角也可能是 5 13

(3) 设 A, B, C 是 ABC 的内角,且 cos A = 钝角;

(4) 若曲线上任一点到两定点的距离之和是 2009,则该曲线是椭圆. 其中正确的命题序号是 14.写出同时满足下列三个条件的一个函数 f ( x ) :①它是一个奇函数;②在定义域内是减 函数;③存在正数 a ,使得 | f ( x) |< a ,且对任意一个小于 a 的正数 d,至少存在一个自 变量 x.0 ,使得 | f ( x0 ) |> d .则此函数可以是
' 二,选择题( 4 × 4 ) 选择题( 15. 三个命题 α : x ∈ X , β : y ∈ Y , γ : z ∈ Z ,若 α 是 β 的必要不充分条件, β 是 γ 的充要

条件,则集合 X 与 Z 的关系是(

)

A. X Z


B. Z X


C. X = Z

D. 以上都不对

16. 关于直线 l , m 及平面α,β,下列命题中正确的是 ( ) A.若 l‖α,α ∩ β=m,则 l‖m; B.若 l ‖α,m‖α,则 l ‖m C.若 l⊥α,l‖β,则α⊥β; D.若 l‖α,m⊥l,则 m⊥α 17. 设棱长为 1 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, 个顶点所组成的集合为 S , 8 则向量的集合

P = a a = PP2 , P P2 = 3, P , P2 ∈ S 中元素的个数是( 1 1 1
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
18. 定 义 域 和 值 域 均 为 [ a, a ] 的 函 数

{

}

)

y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 的图像如图所示, 其 中 a > c > b > 0 ,给出下列四个命题: ①方程 f g ( x ) = 0 有且仅有三个解;
②方程 g f ( x ) = 0 有且仅有三个解; ③方程 f f ( x ) = 0 有且仅有九个解; ④方程 g g ( x ) = 0 有且仅有一个解. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 ( ) D.4

三,解答题 19.(14`)如图:在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中, ∠ACB = 90 ,

AC = BC = CC1 = 2 ,
(1) 求直线 AB1 与 BC1 所成的角; (2) 求点 A1 到平面 AB1C1 的距离.
A1

C1

B1

C

A

B

20.(14`)已知点 A(2 cos x, 2 sin x ), B (cos x, 3 sin x ), O 为坐标原点. (1)求函数 f ( x ) = OA OB + a ( a ∈ R ) 的单调递增区间; (2)若 x ∈ [0,

π
2

], f ( x) 的最小值是 4,求 f ( x) 的最大值.

21. (14`)已知 A( 2, 0), B (2, 0) ,动点 P 与 A, B 两点连线的斜率分别为 k PA 和 k PB , 且满足 k PA k PB = t (t ≠ 0, t ≠ 1) . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)当 t < 0 时,曲线 C 的两焦点为 F1 , F2 ,若曲线 C 上存在点 Q 使得

∠F1QF2 = 120 ,求 t 的取值范围.

22.(18`) 1 理科) (理科)已知函数 y = f ( x ) 的反函数为 y = f ( x) ,定义:若对给定的实数 a ( a ≠ 0) ,函

F (9) < F ( cos 2 θ + a sin θ ) < F (1) 对任意的 θ ∈ (0, π ) 恒成立?若存在,求出 a 的范围;若
不存在,请说明理由. (文科)已知函数 y = f ( x ) 的反函数为 y = f 1 ( x ) ,定义:若对给定的实数 a ( a ≠ 0) ,函 文科)

( x + a ) 互为反函数,则称 y = f ( x ) 满足" a 和性质" . 2 (1)判断函数 g ( x) = ( x + 1) + 1, x ∈ [ 2, 1] 是否满足"1 和性质" ,并说明理由; ,则是否存在实数 a ,使得 (2)若 F ( x ) = kx + b ,其中 k ≠ 0, x ∈ R 满足"2 和性质"

数 y = f ( x + a) 与 y = f

1

( x + a ) 互为反函数,则称 y = f ( x ) 满足" a 和性质" . (1)判断函数 g ( x ) = ( x + 1) + 1, x ∈ [ 2, 1] 是否满足"1 和性质" ,并说明理由; (2)若 F ( x ) = kx + b ,其中 k ≠ 0, x ∈ R 满足"2 和性质" ,求函数 F ( x ) 的解析式;
2

数 y = f ( x + a) 与 y = f

1

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得 F (9) < F cos 2 θ + a sin θ < F (1) 对任意 的 θ ∈ (0, π ) 恒成立?若存在,求出 a 的范围;若不存在,请说明理由.

(

)

23.(18`) 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式 是 an = 2 到大的顺序排列构成的数列记为 {cn } .

n 1

, 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , 令 集 合

A = {a1 , a2 , , an ,} , B = {b1 , b2 , , bn ,} , n ∈ N * .将集合 A ∪ B 中的元素按从小
(1)若 cn = n , n ∈ N ,求数列 {an } 的通项公式;
*

(2)若 A ∩ B = φ ,数列 {cn } 的前 5 项成等比数列,且 c1 = 1 , c9 = 8 ,讨论 2 是数列中 的第几项,并求出数列 {bn } 的通项公式; (3)在(2)的条件下,求满足

cn +1 5 > 的正整数 n 的个数. cn 4

答案 1. 复数 2.

(1 + i )2 的虚部是 2+i

4 5

1 b an 4. (1 + 2 x ) n 展开式的各项系数和为 an ,其二项式系数和为 bn ,则 lim n = 1 n →∞ b + a n n π π 1 sin x cos(2 x + ) + cos x sin(2 x + ) = ( x ∈ [0, π )) 的 解 集 是 5. 方 程 6 6 2 2π 2π 8π , , 0, 3 9 9 6. (理)半径为 1,与 y 轴相切于原点的圆的极坐标方程是 ρ = ±2 cos θ 1 (文) y = x 2 的对称轴与准线的交点坐标是 (0, ) 4 2 2 .2 7.若直线 x y + 1 = 0 与圆 x + y 2 x + 1 a = 0 相切,则 a = 8.棱长为 a 的正方体框架内放置一气球,使其充气且尽可能地膨胀,但保持球体基本形状, 则气球表面积的最大值为 2π a 2 9.已知等比数列 {an } 的公比为 q ,若 n 为奇数, a n +1 = m ,则 a5 n +1 = mq 2 n
2 2

3 1 1 5 ( , ) ∪ ( , ) 2 2 2 2 1 3. 已知 y = f ( x + 1) 为定义在 R 上的单调奇函数,则 f (0) =

log 2 2 x 1 < 2 的解集是

10.(理)若 x, y , z ∈ R , x 2 y + 3 z = 0, 则

y 的最小值为 .3 xz x + y ≤ 4, (文)已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 y ≥ x, 则 x 2 + y 2 的最大 x ≥ 1.
+

2

值为

10

11.连续掷两次骰子得到的点数分别是 m, n ,记向量 a = ( m, n) 与

b = (1, 1) 的夹角为 θ ,则 θ ∈ (0, ] 的概率是 2

π

7 12

12. 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次, i 次观测得到 第 的数据为 ai ,具体如下表所示:

i

1 40

2 41

3 43

4 43

5 44

6 46

7 47

8 48

ai

在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示 的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均数) ,则输 出的 S 的值是____________. 7 13.有以下四个命题:
1

(1)若 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和, 为公差, S n = Cn an Cn d ; d 则
2

(2)函数 f ( x ) =

1 1 1 4 + + (1 < x < 2) 的最小值是 ; x(1 x) ( x 1)(2 x) ( x 2)(3 x) 3

(3)设 A, B, C 是 ABC 的内角,且 cos A =

3 5 ,sin B = , 则角 C 可能是锐角也可能是钝角; 5 13

(4)若曲线上任一点到两定点的距离之和是 2009,则该曲线是椭圆. 其中正确的命题序号是 (1) (2) 4.写出同时满足下列三个条件的一个函数 f ( x ) :①它是一个奇函数;②在定义域内是减 14. 函数;③存在正数 a ,使得 | f ( x) |< a ,且对任意一个小于 a 的正数 d,至少存在一个自 变 量 x.0 , 使 得 | f ( x0 ) |> d . 则 此 函 数 可 以 是 .

, )或f ( x) = arcsin x, x ∈ (1,1) . 2 2 15. 三个命题 α : x ∈ X , β : y ∈ Y , γ : z ∈ Z ,若 α 是 β 的必要不充分条件, β 是 γ 的充要 条件,则集合 X 与 Z 的关系是 ( )B A. X Z B. Z X C. X = Z D. 以上都不对
≠ ≠

f ( x) = sin x, x ∈ (

π π

16. 关于直线 l , m 及平面α,β,下列命题中正确的是 ( )C A.若 l‖α,α ∩ β=m,则 l‖m B.若 l ‖α,m‖α,则 l ‖m C.若 l⊥α,l‖β,则α⊥β D.若 l‖α,m⊥l,则 m⊥α 17. 设棱长为 1 的正方体 ABC A1 B1C1 中,8 个顶点所组成的集合为 S ,则向量的集合

P = a a = PP2 , P P2 = 3, P , P2 ∈ S 中元素的个数是( 1 1 1
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
18. 定 义 域 和 值 域 均 为 [ a, a ] 的 函 数

{

}

)C

y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 的 图像 如图 所 示,其中 a > c > b > 0 ,给出下列四个
命题: ① 方 程 f g ( x ) = 0 有 且 仅 有 三 个 解;

② 方 程 g f ( x ) = 0 有 且 仅 有 三 个 解; ③ 方 程 f f ( x ) = 0 有 且 仅 有 九 个 解; ④方程 g g ( x ) = 0 有且仅有一个解. 其中正确命题的个数是 ( )D A.1 B.2 C.3 D.4 19.如图:在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中, ∠ACB = 90 ,

AC = BC = CC1 = 2 ,
(1)求直线 AB1 与 BC1 所成的角; (2)求点 A1 到平面 AB1C1 的距离. (1)
A1

C1

B1

π
2

(2) 2
C

A

B

20.已知点 A(2 cos x, 2 sin x ), B (cos x, 3 sin x ), O 为坐标原点. (1)求函数 f ( x ) = OA OB + a ( a ∈ R ) 的单调递增区间; (2)若 x ∈ [0, (1) [ kπ , kπ +

π
2

], f ( x) 的最小值是 4,求 f ( x) 的最大值.

], k ∈ Z (2) 2 3 + 2 2 21. (14`)已知 A( 2, 0), B (2, 0) ,动点 P 与 A, B 两点连线的斜率分别为 k PA 和 k PB ,
且满足 k PA k PB = t (t ≠ 0, t ≠ 1) . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)当 t < 0 时,曲线 C 的两焦点为 F1 , F2 ,若曲线 C 上存在点 Q 使得

π

∠F1QF2 = 120 ,求 t 的取值范围. x y2 (1) + = 1( x ≠ ±2) 4 4t 1 (2) ( ∞, 4] ∪ , 0 . 4
22.(18`)已知函数 y = f ( x ) 的反函数为 y = f 1 ( x ) ,定义:若对给定的实数 a ( a ≠ 0) ,函数 . y = f ( x + a ) 与 y = f 1 ( x + a ) 互为反函数,则称 y = f ( x ) 满足" a 和性质" (1)判断函数 g ( x ) = ( x + 1) 2 + 1, x ∈ [ 2, 1] 是否满足"1 和性质" ,并说明理由; (2)若 F ( x ) = kx + b ,其中 k ≠ 0, x ∈ R 满足"2 和性质" ,则是否存在实数 a , (理科) 理科) 使得 F (9) < F cos 2 θ + a sin θ < F (1) 对任意的 θ ∈ (0, π ) 恒成立?若存在,求出 a 的范 围;若不存在,请说明理由. 文科) (2)若 F ( x ) = kx + b ,其中 k ≠ 0, x ∈ R 满足"2 和性质" ,求函数 F ( x ) 的解析式; (文科) (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得 F (9) < F cos 2 θ + a sin θ < F (1) (文科) 文科) 对任意的 θ ∈ (0, π ) 恒成立?若存在,求出 a 的范围;若不存在,请说明理由. 解: (1)函数 g ( x ) = ( x + 1) + 1, x ∈ [ 2, 1] 的反函数是
2
2

(

)

(

)

g 1 ( x) = x 1 1 , x ∈ [1, 2] ,∴ g 1 ( x + 1) = x 1, x ∈ [0,1] ,
而 g ( x + 1) = ( x + 2) 2 + 1, x ∈ [ 3, 2] ,其反函数为 y = 2 故函数 g ( x ) = ( x + 1) + 1, x ∈ [ 2, 1] 不满足"1 和性质"
2

x 1, x ∈ [1, 2] ,
1

xb , x ∈ R, k x + 2b x b 2k F 1 ( x + 2) = ,而 F ( x + 2) = k ( x + 2) + b, x ∈ R ,得反函数 y = . k k x + 2 b x b 2k 由"2 和性质"定义可知 = 对 x ∈ R 恒成立,∴ k = 1, b ∈ R, k k 即函数 F ( x ) = x + b , x ∈ R ,在 ( ∞, +∞ ) 上递减,
(2)设函数 F ( x ) = kx + b 满足"2 和性质" k ≠ 0. ∴ F ( x ) = , (理科) 理科) 所以假设存在实数 a 满足 F (9) < F (cos 2 θ + a sin θ ) < F (1) , 即 1 < cos
2

θ + a sin θ < 9 对任意的 θ ∈ ( 0, π ) 恒成立,

t 2 at + 8 > 0 它等价于 2 在 t ∈ ( 0,1] 上恒成立. t at < 0

8 t 2 at + 8 > 0 , t ∈ ( 0,1] a < t + , t 2 易得 a < 9 .而 t at < 0 知 a > t ,所以 a > 1 . 综合以上有当 1 < a < 9 使得 f ( cos 2 θ + a sin θ ) < 3 对任意的 θ ∈ ( 0, π ) 恒成立.
xb , x ∈ R, k x + 2b x b 2k F 1 ( x + 2) = ,而 F ( x + 2) = k ( x + 2) + b, x ∈ R ,得反函数 y = . k k x + 2 b x b 2k = 对 x ∈ R 恒成立,∴ k = 1, b ∈ R, 由"2 和性质"定义可知 k k 即函数 F ( x ) = x + b , x ∈ R ,在 ( ∞, +∞ ) 上递减,
(文科) 文科) (2)设函数 F ( x ) = kx + b 满足"2 和性质" k ≠ 0. ∴ F ( x ) = ,
1

即 1 < cos θ + a sin θ < 9 对任意的 θ ∈ ( 0, π ) 恒成立,
2

2 (文科)(3) 假设存在实数 a 满足 F (9) < F (cos θ + a sin θ ) < F (1) , 文科)

t 2 at + 8 > 0 在 t ∈ ( 0,1] 上恒成立. 2 t at < 0 8 t 2 at + 8 > 0 , t ∈ ( 0,1] a < t + , t 2 易得 a < 9 .而 t at < 0 知 a > t ,所以 a > 1 . 综合以上有当 1 < a < 9 使得 f ( cos 2 θ + a sin θ ) < 3 对任意的 θ ∈ ( 0, π ) 恒成立.
它等价于 23.(18`) 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式 是 an = 2 到大的顺序排列构成的数列记为 {cn } . (1)若 cn = n , n ∈ N ,求数列 {an } 的通项公式;
* n 1

, 数 列 {bn } 是 等 差 数 列 , 令 集 合

A = {a1 , a2 , , an ,} , B = {b1 , b2 , , bn ,} , n ∈ N * .将集合 A ∪ B 中的元素按从小

(2)若 A ∩ B = φ ,数列 {cn } 的前 5 项成等比数列,且 c1 = 1 , c9 = 8 ,讨论 2 是数列中 的第几项,并求出数列 {bn } 的通项公式; (3)在(2)的条件下,求满足

cn +1 5 > 的正整数 n 的个数. 4 cn 解: (1)若 cn = n ,因为 5,6,7 A ,则 5,6,7 ∈ B , 由此可见,等差数列 {bn } 的公

差为 1,而 3 是数列 {bn } 中的项, 所以 3 只可能是数列 {bn } 中的第 1,2,3 项, 若 b1 = 3 ,则 bn = n + 2 , 若 b2 = 3 ,则 bn = n + 1 , 若 b3 = 3 ,则 bn = n ; (2)首先对元素 2 进行分类讨论: ①若 2 是数列 {cn } 的第 2 项,由 {cn } 的前 5 项成等比数列,得

c4 = 23 = 8 = c9 ,这显然不可能;
②若 2 是数列 {cn } 的第 3 项,由 {cn } 的前 5 项成等比数列,得 b1 = 2 ,
2

因为数列 {cn } 是将集合 A ∪ B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的, 所以 bn > 0 ,则 b1 =

2, 2n ,

2 4 因此数列 {cn } 的前 5 项分别为 1,2, 2, 2,,这样 bn =

则数列 {cn } 的前 9 项分别为 1,2, 2, 2, 2, 4 2,5 2,8 2 4,3 上述数列符合要求; ③若 2 是数列 {cn } 的第 k 项( k ≥ 4 ) ,则 b2 b1 < 2 1 , 即数列 {an } 的公差 d < 1 , 所以 b6 = b1 + 5d < 2 + 5 = 7 , 1, 2, 4 < c9 ,所以 1, 2, 4 在数列 {cn } 的前 8 项中, 由于 A ∩ B = φ ,这样, b1 , b2 ,…, b6 以及 1, 2, 4 共 9 项, 它们均小于 8 ,即数列 {cn } 的前 9 项均小于 8,这与 c9 = 8 矛盾. 综上所述, bn =

2n , c 5 (3)当 n ≤ 4 时, n +1 = 2 > , cn 4
c6 3 2 5 c7 4 5 = < , = > , c5 4 4 c6 3 4
当 n ≥ 7 时, cn ≥ 4 2 ,因为 {an } 是公差为 2 的等差数列, 所以 cn +1 cn ≤

2,

cn +1 cn + cn +1 cn c c 2 5 = = 1 + n +1 n ≤ 1 + = ,此时的 n 不符合要求. cn cn cn 4 2 4 所以符合要求的是 n = 1, 2, 3, 4, 6 ,一共有 5 个值.
所以

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