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2014年全国高校自主招生数学模拟试卷(第二套)


2014 年全国高校自主招生数学模拟试卷二
一、选择题(36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1}
x2-2

=10x},则 A∩?RB 是( (D) ? )

)

(C){x|x≤2}

α α α

2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin3>cos3 ,则3的取值范围是( π π (A)(2k?+6,2k?+3), k?Z 5π (C)(2k?+ 6 ,2k?+?),k? Z

2kπ π 2kπ π (B)( 3 + 6, 3 +3),k? Z π π 5π (D)(2k?+4,2k?+3)∪(2k?+ 6 ,2k?+?),k? Z

3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是 等边三角形,则△ABC 的面积是( ) 3 (A) 3 ( B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3

4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差 数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y=3x+5的距离中的最小值是( 34 (A) 170 34 (B) 85 1 (C) 20 1 (D) 30 )

6 . 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10+x)=f(10?x) , f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.设 f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则 f(x)的值域是


n→∞
2 3 n

32 33 3n 2. 设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2, 3, 4, …), 则 lim (a +a +…+a ))=________. 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y2 4.在椭圆a2+b2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该 椭圆的离心率是 5-1 2 ,则∠ABF=_________.

5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是 ________. 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________

三、解答题(60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)=(n+32)S 的最大值.
n+1

1 13 2.若函数 f(x)=-2x2+ 2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b].

x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1:a2+a2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时, 对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的 结论.

2014 年全国高校自主招生数学模拟试卷二 参考答案
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1} 解:A={2},B={2,-1},故选 D.
x2-2

=10x},则 A∩?RB 是( (D) ?

)

(C){x|x≤2}

α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin3>cos3 ,则3的取值范围是( π π (A)(2k?+6,2k?+3), k?Z 5π (C)(2k?+ 6 ,2k?+?),k? Z 2kπ π 2kπ π (B)( 3 + 6, 3 +3),k?Z

)

π π 5π (D)(2k?+4,2k?+3)∪(2k?+ 6 ,2k?+?),k?Z

π α 2kπ π 解:满足 sin?>0,cos?<0 的 α 的范围是(2k?+2,2k?+π),于是3 的取值范围是( 3 +6, 2kπ π 3 + 3 ), α α α π 5π π 满 足 sin 3 > cos 3 的 3 的 取 值 范 围 为 (2k?+ 4 , 2k?+ 4 ) . 故 所 求 范 围 是 (2k?+ 4 , π 5π 2k?+3)∪(2k?+ 6 ,2k?+?),k?Z.选 D. 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是 等边三角形,则△ABC 的面积是( ) 3 (A) 3 ( B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3
y
B A

3 解:A(-1,0),AB 方程:y= 3 (x+1),代入双曲线方程,解得 B(2, 3), ∴ S=3 3.选 C. 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 2p+q p+2q 解:a2=pq,b+c=p+q.b= 3 ,c= 3 ; 1 1 2 2 2 4△=a -bc=pq-9(2p+q)(p+2q)=-9(p-q) <0.选 A. 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y=3x+5的距离中的最小值是( 34 (A) 170 34 (B) 85 1 (C) 20 1 (D) 30 |25x-15y+12| 5 34 )

O
C

x

解 : 直 线 即 25x - 15y+12=0 . 平 面 上 点 (x , y) 到 直 线 的 距 离 =

=

|5(5x-3y+2)+2| . 5 34

∵5x-3y+2 为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当 x=y=-1 时即可取到 2.选 B. 6 . 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10+x)=f(10?x) , f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x). ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函数; ∴ f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴ 是奇函数.选 C. 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.设 f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则 f(x)的值域是 .

1 1 解:f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x=1-2sin2x-2 sin22x.令 t=sin2x,则 1 1 9 1 1 f(x)=g(t)=1-2t-2t2=8-2(t+2)2.因此-1min ≤t≤1g(t)=g(1)=0, 1 9 9 max -1≤t≤1g(t)=g(-2)=8.故,f(x)∈[0,8]. 32 33 3n 2. 设 an 是(3? x) 的展开式中 x 项的系数(n=2, 3, 4, …), 则 lim (a +a +…+a ))=________. n n→∞ 2 3
n

3k 2· 32 18 2 - 解:an=3n 2Cn.∴ a = k-2 = ,故填 18. n(n-1) n(n-1) k 3 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 (a+log43)-(a+log83) log43-log83 1 1 解:q=a+log 3=a+log 3= = =3.填3. (a+log23)-(a+log43) log23-log43 2 4 x2 y2 4.在椭圆a2+b2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该 椭圆的离心率是 5-1 2 ,则∠ABF=_________.
B F

y

5-1 5+1 5+3 解:c= 2 a,∴|AF|= 2 a.|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2= 2 a2. 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2.即∠ABF=90°.填 90°. 或由 b2=a2-c2= 5-1 2 2 a =ac,得解.
H

O

A x

5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个 球的体积是________. 3 解:取球心 O 与任一棱的距离即为所求.如图,AE=BE= 2 a, 6 6 3 AG= 3 a,AO= 4 a,BG= 3 a,AB∶AO=BG∶OH. AO· BG 2 4 2 2 OH= AB = 4 a.V=3πr3= 24 πa3.填 24 πa3. .
B

A

O D G C E

法二:还原成正方体,正四面体的棱切球就是正方体的内切球。

6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 解:a、c 可以相等,b、d 也可以相等. ⑴ 当 a、c 相等,b、d 也相等时,有 C4=6 种; ⑵ 当 a、c 相等,b、d 不相等时,有 A3+A2=8 种; ⑶ 当 a、c 不相等,b、d 相等时,有 C3C2+C2=8 种; ⑷ 当 a、c 不相等,b、d 也不相等时,有 A3=6 种;共 28 种.填 28. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)=(n+32)S 的最大值.
n+1 3 1 1 1 2 2 2

1 n(n+1) 解:Sn=2n(n+1),f(n)= (n+32)(n+1)(n+2) = 得最大值).

1 1 ≤50错误!未指定书签。 .(n=8 时取 64 n+ n +34

1 13 2.若函数 f(x)=-2x2+ 2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b].

1 13 1 13 解:⑴ 若 a≤b<0,则最大值为 f(b)=-2b2+ 2 =2b.最小值为 f(a)=-2a2+ 2 =2a.即 a, b 是方程 x2+4x-13=0 的两个根,而此方程两根异号.故不可能. 13 13 ⑵ 若 a<0<b,当 x=0 时,f(x)取最大值,故 2b= 2 ,得 b= 4 . 1 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值,①f(a)=-2a2+ 2 =2a 时.a=-2± 17,但 a<0,故取 a= 1 13 39 -2- 17.由于|a|>|b|,从而 f(a)是最小值.②f(b)=-2b2+ 2 =32=2a>0.与 a<0 矛盾.故 舍. ⑶ 0≤a<b.此时,最大值为 f(a)=2b,最小值为 f(b)=2a. 1 13 1 13 ∴ -2b2+ 2 =2a.-2a2+ 2 =2b.相减得 a+b=4.解得 a=1,b=3. 13 ∴ [a,b]=[1,3]或[-2- 17, 4 ]. x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1:a2+a2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时, 对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的 结论. 解:设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形.易知圆的 y 外切平行四边形是菱形.即 PQRS 是菱形.于是 OP⊥OQ. P 设 P(r1cosθ,r1sinθ),Q(r2cos(θ+90°),r2sin(θ+90°),则在直角三 1 1 角形 POQ 中有 r12+r22=r12r22(利用△POQ 的面积).即 2+ 2=1. r1 r2 r1cos2θ r2sin2θ 1 cos2θ sin2θ 但 a2 + b2 =1,即 2= a2 + b2 , r1 1 sin2θ cos2θ 1 1 同理, 2= a2 + b2 ,相加得a2+b2=1. r2
2 2

S
x

Q

O

R

1 1 反之, 若a2+b2=1 成立, 则对于椭圆上任一点 P(r1cosθ, r1sinθ), 取椭圆上点 Q(r2cos(θ+90°), 1 cos2θ sin2θ 1 sin2θ cos2θ 1 1 1 1 r2sin(θ+90°),则 2= a2 + b2 , , 2= a2 + b2 , ,于是 2+ 2=a2+b2=1,此时 PQ 与 C0 相切.即 r1 r2 r1 r2 存在满足条件的平行四边形. 故证.


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