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吉林省延边二中2014-2015学年高二数学上学期12月段考试卷 理(含解析)


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吉林省延边二中 2014-2015 学年 高二上学期 12 月段考数学试卷(理 科)
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,每题只有一项是符合要求的) 1. (4 分) A. x>y 的一个充分不必要条件是() B. x>y>0 C. x<y D. y<x<0

2. (4 分)已知双曲线 C: 为() A. B. C.

的离心率为

,则 C 的渐近线方程

D. y=±x

3. (4 分)命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是() 3 2 3 2 A. 不存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 B. 存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 3 2 3 2 C. 存在 x∈R,x ﹣x +1>0 D. 对任意的 x∈R,x ﹣x +1>0

3

2

4. (4 分)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线

2

的渐近线的距离是()

A.

B.

C. 1

D.

5. (4 分)不等式 A. {x| ≤x≤2}

的解集是() B. {x| ≤x<2} C. {x|x>2 或 x≤ } D. {x|x≥ }

6. (4 分)给出以下四个命题: * ①若 x,y∈N ,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数一个是偶数; ②若﹣2≤x<3,则(x+2) (x﹣3)≤0; 2 2 ③若 x=y=0,则 x +y =0; 2 ④若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2. 那么() A. ①为假命题 B. ②的否命题为真 C. ③的逆否命题为假 D. ④的逆命题为真

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7. (4 分)已知椭圆 E:

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆

E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为() A. B.

C.

D.

8. (4 分)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10﹣a12 的值为() A. 20 B. 22 C. 24 D. 28

9. (4 分)设双曲线 线的离心率等于() A. B. C.

的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双曲

2

D.

10. (4 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 A. =4 ,则|QF|=() B. 5 C. D. 2

2

11. (4 分)设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 12,则 + 的最小值为() A. B. C. 6 D. 5

12. (4 分)椭圆 C:

的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取

值范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是() A. B. C. D.

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二、填空题(包括 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题纸上) 13. (4 分)双曲线 的离心率为 ,则 m 等于.

14. (4 分)若△ABC 的两个顶点坐标 A(﹣4,0) 、B(4,0) ,△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程为.

15. (4 分)抛物线的焦点为椭圆

=1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为.

16. (4 分)设 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若

|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x+1|. (1)解不等式 f(x)≥3; (2)若 f(x)≥a﹣1 的解集为 R,求 a 取值范围. 18. (10 分)△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

19. (12 分)设椭圆

=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为

,过点 F 且与 x 轴垂直

的直线被椭圆截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 A,B 分别为椭圆的左,右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点.若 =8,求 k 的值.

20. (12 分) 设{an}是等差数列, {bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13. (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记数列 的前 n 项和为 Sn,证明:Sn<6.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 21. (12 分) 已知向量 .

(Ⅰ)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,﹣1) ,当|AM|=|AN|时, 求实数 m 的取值范围.

吉林省延边二中 2014-2015 学年高二上学期 12 月段考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,每题只有一项是符合要求的) 1. (4 分) A. x>y 的一个充分不必要条件是() B. x>y>0 C. x<y D. y<x<0

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由 x>y>0? x>y>0. 解答: 解:∵x>y>0? ? x>y>0 或 x<y<0. 故选 B. 点评: 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要注意不等式的合理运用. , , ? x>y>0 或 x<y<0, 知 的一个充分不必要条件是

2. (4 分)已知双曲线 C: 为() A. B. C.

的离心率为

,则 C 的渐近线方程

D. y=±x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得 = ,由此求得 = ,从而求得双曲线的渐近线方程.

解答: 解:已知双曲线 C:

的离心率为

,故有

= ,

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= ,解得

= .

故 C 的渐近线方程为



故选 C. 点评: 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档 题. 3. (4 分)命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是() 3 2 3 2 A. 不存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 B. 存在 x∈R,x ﹣x +1≤0 3 2 3 2 C. 存在 x∈R,x ﹣x +1>0 D. 对任意的 x∈R,x ﹣x +1>0 考点: 命题的否定. 3 2 分析: 根据命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”是全称命题,其否定是对应的特称命题, 从而得出答案. 3 2 解答: 解:∵命题“对任意的 x∈R,x ﹣x +1≤0”是全称命题 3 2 ∴否定命题为:存在 x∈R,x ﹣x +1>0 故选 C. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化.要注意两点:1)全称命题变为特称 命题;2)只对结论进行否定.
3 2

4. (4 分)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线

2

的渐近线的距离是()

A.

B.

C. 1

D.

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的标准方程,算出抛物线的焦点 F(1,0) .由双曲线标准方程,算出它 的渐近线方程为 y=± x,化成一般式得: 所求距离. 2 解答: 解:∵抛物线方程为 y =4x ∴2p=4,可得 =1,抛物线的焦点 F(1,0) ,再用点到直线的距离公式即可算出

又∵双曲线的方程为 ∴a =1 且 b =3,可得 a=1 且 b= 双曲线的渐近线方程为 y=± 化成一般式得: .
2 2

, ,即 y=± x,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 因此,抛物线 y =4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d=
2

=

故选:B 点评: 本题给出抛物线方程与双曲线方程,求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离,着 重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.

5. (4 分)不等式 A. {x| ≤x≤2}

的解集是() B. {x| ≤x<2} C. {x|x>2 或 x≤ } D. {x|x≥ }

考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题. 分析: 把原不等式的右边移项到左边,通分计算后,然后转化为两个一元一次不等式组, 求出不等式组的解集即为原不等式的解集. 解答: 解:不等式 ,

移项得:

,即

≤0,

可化为:



解得: ≤x<2, 则原不等式的解集为: ≤x<2 故选 B. 点评: 此题考查了其他不等式的解法,考查了转化及分类讨论的数学思想,是 2015 届高考 中常考的题型. 学生进行不等式变形, 在不等式两边同时除以﹣1 时, 注意不等号方向要改变. 6. (4 分)给出以下四个命题: * ①若 x,y∈N ,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数一个是偶数; ②若﹣2≤x<3,则(x+2) (x﹣3)≤0; 2 2 ③若 x=y=0,则 x +y =0; 2 ④若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2. 那么() A. ①为假命题 B. ②的否命题为真 C. ③的逆否命题为假 D. ④的逆命题为真 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 由两个偶函数或奇函数的和为偶函数, 一个偶函数和一个奇函数的和为奇函数可得 A 错误;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 写出命题的否定判断 B 错误;由互为逆否命题的两个命题共真假说明 C 错误; 写出命题的逆命题说明 D 正确. * 解答: 解:①若 x,y∈N ,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数一个是偶数为真命题,选项 A 错误; ②若﹣2≤x<3,则(x+2) (x﹣3)≤0 的否命题为:若 x<﹣2 或 x≥3,则(x+2) (x﹣3) >0 为假命题,原因是当 x=3 时(x+2) (x﹣3)=0,选项 B 错误; 2 2 ③若 x=y=0,则 x +y =0 为真命题,则其逆否命题为真命题,选项 C 错误; 2 2 ④若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2 的逆命题为:若 x=1 或 x=2,则 x ﹣3x+2=0,为真命题,选项 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了充分条件、必要条件的判定方法,是基 础题.

7. (4 分)已知椭圆 E:

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆

E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为() A. B.

C.

D.

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程得

,利用“点差法”可得

.利用中点坐标公式可得 x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公

式可得

=
2

= .于是得到
2

,化为 a =2b ,再利用

2

2

c=3=

,即可解得 a ,b .进而得到椭圆的方程.

解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

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代入椭圆方程得



相减得







∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,

=

= .





化为 a =2b ,又 c=3=

2

2

,解得 a =18,b =9.

2

2

∴椭圆 E 的方程为



故选 D. 点评: 熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键. 8. (4 分)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10﹣a12 的值为() A. 20 B. 22 C. 24 D. 28 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质可知,项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项, 把已知条件化简后,即可求出 a8 的值,然后再由等差数列的性质得到所求的式子与 a8 的值相 等,即可求出所求式子的值. 解答: 解:由 a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120, 解得 a8=24, 且 a8+a12=2a10,则 2a10﹣a12=a8=24. 故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,是一道中档题.

9. (4 分)设双曲线 线的离心率等于()

的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双曲

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 2 分析: 先求双曲线的渐近线,再利用条件渐近线与抛物线 y=x +1 相切得方程只有一解,从 而得出 a,b 的关系,进而求出离心率 解答: 解:由题知:双曲线的渐近线为 y=± 又因为渐近线与抛物线只有一个交点,所以 所以 ( 心率 e= =
2 2 2 2 2

,所以其中一条渐近线可以为 y=



=x +1 只有一个解
2 2 2 2 2 2 2

﹣4=0 即 ( ) =4,a =4b 因为 c =a +b ,所以 c =b +4b =5b ,c= ,

,所以离

故选 B. 点评: 本题求解的关键是等价转化,从而利用方程思想解决. 10. (4 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 A. =4 ,则|QF|=() B. 5 C. D. 2
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 运用抛物线的定义,设 Q 到 l 的距离为 d,求出斜率,求得直线 PF 的方程,与 y =8x 联立可得 x=3,利用|QF|=d 可求. 解答: 解:设 Q 到 l 的距离为 d,则由抛物线的定义可得,|QF|=d, ∵ =4 ,则 Q 在 PF 的延长线上,

∴|PQ|=5d, ∴直线 PF 的斜率为﹣ =﹣2 ,

∵F(2,0) , ∴直线 PF 的方程为 y=﹣2 (x﹣2) , 2 与 y =8x 联立可得 x=3, (由于 Q 的横坐标大于 2) ∴|QF|=d=3+2=5, 故选:B. 点评: 本题考查抛物线的定义和简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.

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11. (4 分)设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 12,则 + 的最小值为() A. B. C. 6 D. 5

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 画出不等式组表示的平面区域,求出直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4, 6)时,观察当目标函数过(4,6)时,取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,要求 + 的 最小值,先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值. 解答: 解:不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 = +( )≥ = =( ) .

,当且仅当 a=b= ,取最小值

故选 B.

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.

12. (4 分)椭圆 C:

的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取

值范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆 C: 可知其左顶点 A1(﹣2,0) ,右顶点 A2(2,0) .设 P(x0,y0)

(x0≠±2) ,代入椭圆方程可得 已知给出的 的范围即可解出.

.利用斜率计算公式可得

,再利用

解答: 解:由椭圆 C:

可知其左顶点 A1(﹣2,0) ,右顶点 A2(2,0) .

设 P(x0,y0) (x0≠±2) ,则

,得





=



=



∴ ∵

=

= ,





,解得



故选 B. 点评: 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关 键. 二、填空题(包括 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题纸上) 13. (4 分)双曲线 的离心率为 ,则 m 等于 9.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的离心率计算公式 即可得出.

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解答: 解:∵双曲线

可得 a =16,b =m,

2

2

又离心率为 ,则 解得 m=9. 故答案为 9. 点评: 熟练掌握双曲线的离心率计算公式



是解题的关键.

14. (4 分)若△ABC 的两个顶点坐标 A(﹣4,0) 、B(4,0) ,△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程为 (y≠0) .

考点: 轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据三角形的周长和定点,得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点 A 的 轨迹是椭圆,椭圆的焦点在 y 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 解答: 解: (1)∵△ABC 的两顶点 A(﹣4,0) ,B(4,0) ,周长为 18,∴AB=8,BC+AC=10, ∵10>8,∴点 C 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆, ∵2a=10,2c=8,∴b=3, 所以椭圆的标准方程是 (y≠0) .

故答案为:

(y≠0)

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是 2015 届高考的重点.本题 具体涉及到轨迹方程的求法,注意椭圆的定义的应用.

15. (4 分)抛物线的焦点为椭圆 ﹣4 .

=1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 y =

2

考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 计算题.

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分析: 先求出椭圆

=1 的左焦点即位抛物线的焦点,再利用焦点的横坐标与系数 2p

的关系求出 p;即可求出抛物线方程. 解答: 解:因为椭圆 =1 的左焦点为(﹣ .0) ,所以 = ,2p=4 且抛物线开口

向左. 2 所以抛物线方程为 y =﹣4 x. 2 故答案为:y =﹣4 x. 点评: 本题考查抛物线标准方程的求法.在求抛物线的标准方程时,一定要先判断出开口 方向,再设方程.

16. (4 分)设 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若 .

|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的定义求出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后利用最小内角为 30°结合余弦定 理,求出双曲线的离心率. 解答: 解:因为 F1、F2 是双曲线的两个焦点,P 是双曲线上一点,且满足|PF1|+|PF2|=6a, 不妨设 P 是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c,|PF1|=4a,|PF2|=2a, ∵△PF1F2 的最小内角∠PF1F2=30°,由余弦定理, 2 2 2 ∴|PF2| =|F1F2| +|PF1| ﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2, 2 2 2 即 4a =4c +16a ﹣2c×4a× , 2 2 ∴c ﹣2 ca+3a =0, ∴c= a 所以 e= = .

故答案为: . 点评: 本题考查双曲线的定义,双曲线的离心率的求法,考查计算能力. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x+1|. (1)解不等式 f(x)≥3; (2)若 f(x)≥a﹣1 的解集为 R,求 a 取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)函数 f(x)表示数轴上的 x 对应点到 1 和﹣1 对应点的距离之和,而± 对应 点到 1 和﹣1 对应点的距离之和正好等于 3,由此可得不等式 f(x)≥3 的解集. (2)由题意可得,f(x)的最小值大于或等于 a﹣1.而 f(x)的最小值为 2,可得 2≥a﹣1, 求得 a 的范围. 解答: 解: (1)函数 f(x)=|x﹣1|+|x+1|表示数轴上的 x 对应点到 1 和﹣1 对应点的距离 之和,它的最小值为 2, 而± 对应点到 1 和﹣1 对应点的距离之和正好等于 3,故不等式 f(x)≥3 的解集为(﹣∞, ﹣ ]∪[ ,+∞) . (2)若 f(x)≥a﹣1 的解集为 R,则 f(x)的最小值大于或等于 a﹣1. 而 f(x)的最小值为 2,可得 2≥a﹣1,求得 a≤3. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转 化的数学思想,属于基础题. 18. (10 分)△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式 变形,求出 tanB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ)利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,把 sinB 的值代入,得到三角形面积 最大即为 ac 最大,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出 ac 的最大值,即可得到 面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知及正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinBsinC①, ∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②, ∴sinB=cosB,即 tanB=1, ∵B 为三角形的内角, ∴B= ; ac,
2 2

(Ⅱ)S△ABC= acsinB=

由已知及余弦定理得:4=a +c ﹣2accos 整理得:ac≤

≥2ac﹣2ac×



,当且仅当 a=c 时,等号成立, × = × ×(2+ )= +1.

则△ABC 面积的最大值为 ×

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,以 及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

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19. (12 分)设椭圆

=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为

,过点 F 且与 x 轴垂直

的直线被椭圆截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 A,B 分别为椭圆的左,右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点.若 =8,求 k 的值.

考点: 椭圆的标准方程;平面向量数量积的运算;直线的一般式方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)先根据椭圆方程的一般形式,令 x=c 代入求出弦长使其等于 率为 ,可求出 a,b,c 的关系,进而得到椭圆的方程. ,再由离心

(Ⅱ)直线 CD:y=k(x+1) ,设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,由

消去 y 得, (2+3k )

2

x +6k x+3k ﹣6=0,再由韦达定理进行求解.求得 即可求得 k 的值. 解答: 解: (Ⅰ)根据椭圆方程为 .

2

2

2

,利用

=8,

∵过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为



∴当 x=﹣c 时,

,得 y=±





=

, ,∴ = , . ;

∵离心率为 解得 b=

,c=1,a=

∴椭圆的方程为

(Ⅱ)直线 CD:y=k(x+1) , 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,



消去 y 得, (2+3k )x +6k x+3k ﹣6=0,

2

2

2

2

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∴x1+x2=﹣

,x1x2=

,又 A(﹣

,0) ,B(

,0) ,

∴ =(x1+ ,y1)?( ﹣x2.﹣y2)+(x2+ 2 2 2 =6﹣(2+2k )x1x2﹣2k (x1+x2)﹣2k , =6+ =8,解得 k= . ,y2)?( ﹣x1.﹣y1) ,

点评: 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等,考查方程思想.在椭圆中一定 要熟练掌握 a,b,c 之间的关系、离心率、准线方程等基本性质. 20. (12 分) 设{an}是等差数列, {bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13. (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记数列 的前 n 项和为 Sn,证明:Sn<6.

考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,然后根据条件建立方程组,解之即可求 出 d 与 q,从而求出{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ) 根据数列 的通项公式的形式可知利用错位相消法进行求和即可求出 Sn=6﹣ ,

可证得结论. 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 则依题意有 q>0 且 所以 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=q (Ⅱ) . 解得 d=2,q=2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)
n﹣1

=2

n﹣1

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

,①

,②

由②﹣①得:

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=

=

= ∵

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ,

∴Sn<6.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式,以及利用错位相消法求数列的和, 同时考查了不等式的证明,属于中档题.

21. (12 分) 已知向量



(Ⅰ)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,﹣1) ,当|AM|=|AN|时, 求实数 m 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;综合题. 分析: (I)由 整理可求 Q 点的轨迹方程.

(II)由

得(3k +1)x +6mkx+3(m ﹣1)=0,结合直线与椭圆有两个不同的交点,

2

2

2

可得△>0,从而可得 m 与 k 得关系,设弦 MN 的中点为 P 由|AM|=|AN|,可得 AP⊥MN,从而有 KAP?Kmn=﹣1,代入可求. 解答: 解: (I)由题意得: ∵ .∴ ?(4 分) ,

(II)由

得(3k +1)x +6mkx+3(m ﹣1)=0,

2

2

2

由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴△>0,即 m <3k +1①?(6 分) (1)当 k≠0 时,设弦 MN 的中点为 P(xp,yp) ,xM、xN 分别为点 M、N 的横坐标,则 ?(8 分)

2

2

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2

又|AM|=|AN|,∴ 得 0<m<2, 由②得

②,将②代入①得 2m>m ,解 , 故所求的 m 取值范围是 . ? (10

分) 2 2 (2)当 k=0 时,|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,m <3k +1,解得﹣1<m<1. ?(12 分) 点评: 本题考查了轨迹方程的求法,椭圆性质的应用,关键是看清题中给出的条件,灵活 运用韦达定理,中点坐标公式及两直线垂直与斜率关系的相互转化得应用.

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