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第三章 流体运动的基本方程


3.1写出下列各量的数学表达式: (1)单位时间内以n为法向的面积元dA上的流体体积流量; [解] 设流速为V,单位时间令为“1”,则解为 n ?ν dA (2) ?t 时间内经固定不动空间 τ 的表面S净流入 τ 的质量; (3)流体体积 τ 内的动量、动能的随体导数。 [解] 动量的随体导数: [解] 设流体密度为 ρ , n 为其单位法向量,流速为ν ,则解为 ?

∫ ρ n ?ν dA?t

D τ ρν dτ Dt ∫ D? ν2 ? ?∫ τ ρ 动能的随体导数: dτ ? ? Dt ? 2 ? ?

(

)

3.2 求各种坐标系下的连续性方程(用微六面体) : (1)柱坐标; [解] (2)球坐标; (3)一般曲线坐标。 [解] 将连续性方程推广到一般曲线坐标系下,建立微元体如下图: 在 u 轴向:单位时间内 3.3 下列各种流体运动中,哪个方向速度分量为零,然后写出连续性方程: (1)流体质点在每一平行平面上作径向运动; (2)流体质点在空间作径向运动; (3)流体质点在每一个都交于z轴的平面上运动; (4)流体质点在同心的球面上运动; (5)流体质点在共轴的圆柱面上运动。若再加上无轴向运动,又如何? (6)流体质点在共轴且有共同顶点的锥面上运动。 3.5 在流体中取一任意形状的控制体,由此求连续性方程。 [解] 取一任意形状控制体(流场中) ,其体积为 τ ,表面积为S,密度为 ρ ( x, y, z , t ) ,左方流入流
1

∫ ρ n ?ν dA , 净流量为 ? ∫ ρ n ?ν dA - ∫ ρ n ?ν dA = ? ∫ ρ n ?ν dA ?p ?p 据质量守恒有: ∫ τ dτ = ? ∫ ρ n ?ν dA ,即 ∫ τ dτ + ∫ ?t ?t
体质量 ,右方流出流体质量
s2 s2 s1 s
s

? ∫ s1 ρ n ?ν dA

s

ρ n ?ν dA = 0

3.6 流体作有自由面的三维波动,底面为平面且流体等深,波动幅度小,求连续性方程。 [解] x方向:左端流入 ρu (h + ξ )dy?t ,右端流出 净流量 取一控制体(如上图) :

ρu (h + ξ )dy?t + ? ( ρu (h?+xξ )dy?t ) ,

? (ρu (h + ξ ))dxdy?t ?x

? (ρu (h + ξ ))dxdy?t ?y ? 控制体内质量变化为: (ρu (h + ξ ))dxdy?t ?y ? (h + ξ ) ? ? 据质量守恒: dxdy?t + ( ρu (h + ξ ))dxdy?t + (ρν (h + ξ ))dxdy?t = 0 ?t ?x ?y ?ξ ? ? 约去 dxdy?t ,且h为常量,整理得: + ( ρu (h + ξ )) + (ρν (h + ξ )) = 0 ?t ?x ?y
y方向:同理有:净流量



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