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2013高中数学选修2-2测试题一[1]


高中数学选修 2-2 综合测试题
(第一部分试题)一、选择题(共 8 题,每题 5 分)
1.复数 z ? (2 ? i )i 在复平面内的对应点在( A.第一象限 2.定积分 B.第二象限 ) ) C.第三象限 D.第四象限

1 1 ? 01 ? x dx 的值为(
B.ln2

A.1

C.

2 1 ? 2 2

D.

1 1 ln 2 ? 2 2

3.某班一天上午安排语、数、外、体四门课,其中体育课不能排在第一、第四节,则不同排法的 种数为 ( ) A.24 B.22 C.20 D.12 4. 已知 a ? 1? 7, b ? 3 ? 5, c ? 4 则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c 5.曲线 y ? A. [ B.c>a>b C.c>b>a ) D.b>c>a ) D. [? 3, ??) ) D.0

x3 ? 3x ? 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是(
B. (

3 , ??) 3

3 , ??) 3

C. (? 3, ??)

6. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a2 ? 3 , an?2 ?| an?1 ? an | ,则 a2009 =( A.1 B.2 ) y C.3

7. 函数 f ( x) ? x ln x 的大致图像为( y y

y

o A

1

o x B

1

x o C A1 1 x D1

o

1

x

D C1 B1

8. ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体, 黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱 向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA1→A1D1,?,黑蚂蚁爬行的路线是 AB→BB1,?,它们都遵 循如下规则: 所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线 * (i∈N ) ,设黑白蚂蚁都爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个 顶点处,则此时黑白蚂蚁的距离是( ) A. 2 B.1 C.0 D. 3

D A B

C

二、填空题(共 6 题,30 分)
1

9. 已知 f ( x) ? ln( x 2 ? ax ? 2a ? 2)(a ? 0) , 若 f ( x ) 在 [1, 则 a 的取值范围是. ? ?) 上是增函数, 10.若复数 z ?

1? i 1? i ? ,则复数 z= ___ 1? i 1? i

11.质点运动的速度 v ? (18t ? 3t 2 ) m/ s ,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是 . 12. 若 a,b ? R ,且 (a ? i)2 ? (1 ? b i)2 ? 3 ? 2i ,则

a 的值等于 b



13. 为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有 3 种不同颜色可供选择,则共有 _______种不同涂色方案(要求用具体数字作答). 14.若在区间[-1, 1]上,函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值 范围是_________________ 三、解答题(共 6 题,80 分) 15.已知复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 9m ? 18)i 在复平面内表示的点 为 A,实数 m 取什么值时, (1)z 为实数?z 为纯虚数? 13 题

(2)A 位于第三象限?

16.设 f ( x) ? ?

? x2 ?cos x ? 1

( x ≤ 0), ( x ? 0),

试求

?

π 2 ?1

f ( x ) dx .

17. 如图,设铁路 AB 长为 80,BC⊥AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; C (2)如何选点 M 才使总运费最小?

A

M

B

18.已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i ,且 O 是 坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z .

2

19. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,函数取极 ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 值 1. (1) 求 a,b,c 的值; (2) 若对任意的 x1,x2 ? ?? 1 均有 , 1? ,

f (x1 ) ?f (x2 )? s

成立,求 s 的最小值;

(第二部分)1.已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位, 若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的值为 (A) 4 (B) ?1
x ?0

( (C) 6

) (D) 0

2.设 f (x)为可导函数,且满足 lim 斜率是 (A)2 (B)-1

f (1) ? f (1 ? x) =-1,则曲线 y=f (x)在点(1, f(1))处的切线的 2x
( (C) ) (D)-2

1 2

3.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b2-4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax2+bx+c>0” 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)必要条件 4.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为 (A) (3,?3) (B) (?4,11) (C) (3,?3) 或 (?4,11) ( ( )

(D)不存在 )

5. 曲线 y ? e x , y ? e? x (A) e ? e
?1

和直线 x ? 1 围成的图形面积是
?1

(B) e ? e

(C) e ? e ? 2

?1

(D)

e ? e?1 ? 2


6.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是( (A) 1 (B)

2

(C)



(D)

2 2

7.定义运算

a b 1 ?1 ? ad ? bc ,若复数 z 满足 ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则复数 c d z zi


z?

8.如图,数表满足:⑴第 n 行首尾两数均为 n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第 n(n ? 1) 行第 2 个数为 f ( n) .根据表中上下两行数据关系, 1 2 2 可以求得当 n …2 时, f (n) ? . 3 4 3 4 7 7 4 9(本小题满分 10 分) ? ? ?
3

(1) 求定积分

?

1

?2

x2 ? 2 dx 的值;

(2)若复数 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i , 且

z1 为纯虚数,求 z1 z2

10(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

x x ?1

b . a

11(本小题满分 12 分)
2 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1, 2, 3,?,

(1) 当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 ?an ? 的一个通项公式; (2) 当 a1 ? 3 时,证明对所有 n ? 1 ,有 ① an ? n ? 2 ②

1 1 1 1 ? ?? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

高中数学选修 2-2 测试题一答案
一、 选择题(每题 5 分)

4

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

B

D

C

D

A

A

C

9.

1? a≤2 ;

10.

-1 ;

11。 108 m .; 12: ?2

13.

18;

14. [0,

33 2 ] 2

三、解答题 15.解: (1)当 m ? 9m ? 18 =0 即 m=3 或 m=6 时,z 为实数; …………………………3 分
2

当 m ? 8m ? 15 ? 0 , m ? 9m ? 18 ? 0 即 m=5 时,z 为纯虚数.…………………………6 分
2 2

(2)当 ?

? m 2 ? 8m ? 15 ? 0 ?m ? 9m ? 18 ? 0
2

即?

?3 ? m ? 5 即 3<m<5 时,对应点在第三象限. ……………12 分 ?3 ? m ? 6
π 2 0 0 π 2 0

16. 解:

?

π 2 ?1

f ( x)dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? x dx ? ? (cos x ? 1) dx
2 ?1 ?1

0

1 ? x2 3

0 ??

?(sin x ? x) 2
0

π

1 π 4 π ? ?1? ? ? . 3 2 3 2
17.解:(1)依题,铁路 AM 上的运费为 2(50-x) ,公路 MC 上的运费为 4 100 ? x2 ,则由 A 到 C 的总运费为 y ? 2(50 ? x) ? 4 100 ? x 2 ?(0 ? x ? 50) 分 (2) y? ? ?2 ? …………………………… 6

4x 100 ? x 2

?(0 ? x ? 50) ,令 y? ? 0 ,解得 x1 ?

10 10 , x2 ? ? (舍)……9 分 3 3

当0 ? x ?

10 10 时, y? ? 0 , y ? ;当 50 ? x ? 时, y? ? 0 , y ? 3 3
……………………………12 分

故当 x ?

10 时,y 取得最小值. 3

即当在距离点 B 为

10 时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省. 3

……………………13 分

18:设 z ? x ? y i( x,y ? R) .

5

由 OA ∥ BC , OC ? AB ,得 kOA ? kBC , zC ? zB ? z A ,

?2 y ? 6 , ? ? 即 ?1 x ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 32 ? 42, ?

? OA ? BC ,? x ? ?3 , y ? 4 舍去.
? z ? ?5 .
即 bn ? 8sin ? 对 n ?N*成立,由 m ? 8 知正整数 m 的最大值为 8?????????14 分

19.解:(1)函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0)
2 ? f( ? x) ? ? f(x), 即 bx ? 0 对于 x ? R 恒成立,? b ? 0 .

? x) f(x) ? ax3 ? cx , f ( ? 3ax2 ? c
1 3 ? a ? c ? 1 ,解得: a ? ,c ? ? . ? x ? ?1 时,函数取极值 1. ∴ 3a ? c ? 0, 2 2 1 3 c ? ? ?????????????????6 分 故 a ? ,b= 0, 2 2 ? (2) f(x) 1 3 3 3 3 3 x ? x , f ?( x) ? x 2 ? ? ( x ? 1)( x ? 1) , 2 2 2 2 2
?????8 分

? x) ? 0 ,? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上是减函数, x ? ?? 1, 1? 时 f (

故? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上最小值为 f (1) =-1,最大值为 f (?1) ? 1 , 因此当 x1,x2 ? ?? 1 , 1? 时, f (x1 ) ?f (x2 )? f Max ( x) ? fmin ( x) ? 2 .?12 分

f (x1 ) ?f (x2 )? s ? f Max ( x) ? fmin ( x) ? s ,故 s 的最小值为 2 ???14 分

6

第二部分答案
1B 2D 3A 4B
n2 ? n ? 2 2
(2)

5D

6B

二 填空题 7 1-i 8

9 (1)

1? 8 2 3

10 3

10(1)单调增区间 (0, ??) ,单调减区间 ( ?1, 0) (2)切线方程为 x ? 4 y ? 4 ln 2 ? 3 ? 0 (3)所证不等式等价为 ln 而 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

a b ? ?1 ? 0 b a

1 1 ? 1 , 设 t ? x ? 1, 则 F (t ) ? ln t ? ? 1 , 由 ( 1 ) 结 论 可 得 , x ?1 t

由此 F (t )min ? F (1) ? 0 ,所以 F (t ) ? F (1) ? 0 F (t )在(0,1)单调递减,在(1, ??)单调递增, 即 F (t ) ? ln t ? ? 1 ? 0 ,记 t ? 11

1 t

a 代入得证。 b

7

8


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