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2015北京房山高三一模数学(文)(word版+答案+免费免点数)


房山 2015 高三一模
(文科)
考 生 须 知 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间为 120 分 钟 。 2. 第 Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置,在试卷上作答无效。 3. 考试结束后,将答题卡交回,试卷按学校要求自己保存好。

第I卷

选择题(

共 40 分)

一、 选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂 在答题卡上.

, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {1,, 2} B ? {2, 3} ,则 (CU A) ? B 错误!未找到引用源。=( 1.已知全集 U ? {1
A. {3} 2.双曲线



5} B. {4,
x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( 9 4
)

, 2, 3} C. {1

3, 4, 5} D. {2,

A. y ? ?

2 x 3

B. y ? ?

4 x 9

C. y ? ?

3 x 2

2 2 正视图

D. y ? ?

9 x 4

[来源:学_科_网]

3.一个空间 几何体的三视图如图所 示,则这个几何体的体积为( A.

4 3

B.
[来源:ZXXK]

8 3

C. 4

D. 8

2 侧视图

俯视图
[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

4.设 a ? R ,则 “ a ? 1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



B, C 所对的边分别为 a, b, B ? 45? , S△ABC ? 2 ,则 b 等于 ( 5.在△ ABC 中,角 A, 且 a ? 1, c,
A. 4 2 B. 5 C. 41 D. 5 2

)

x 6.在同一个坐标系中画出函数 y ? a 与y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0且a ? 1 ,则下列所给图象中可能正确的

是(


1

7.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn ? (



A. 2

n ?1

B. ( )

3 2

n ?1

C. ( )

2 3

n ?1

D.

1 2 n ?1

8.一个人骑车以 6 米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车 25 米时,交通信号灯由红变绿,汽 车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻 t 的速度 v(t ) ? t 米/秒,那么此人( A.可在 7 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 B.不能追上汽车,但其间最近距离为 16 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米 )

第 II 卷

非选择题(共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡指定位置. 9. 若复数 z ? (m ? 1) ? (m ? 2)i , ( m ? R )是纯虚数,复数 z 在复平面内对应的点的坐标为_____. 10.连续抛两枚骰子分别得到的点数是 a , b ,设向量 m ? (a, b) , 向量 n ? (1, ?1) ,则 m ? n 的概率是_____. 11.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为_____.
i ?1 s?0
s? s? 1 i


开始

i ? i?1

s?

9 ? 4


输出 s
结束
2

? 1 x ?( ) , x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f ( f (?1)) ? ____;若 f (2a 2 ? 3) ? f (5a) ,则实数 a 的取值范围是_____. ? ?1 ? 3x, x ? 0,
13.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? ax ? a < 0 .若 ?p 是真命题,则实数 a 的取值范围是_____. 14. 实数 x , y 满足 ?

?x ? y ? 3 ,若 y ? k (x ? 2) 恒成立,则实数 k 的最大值是_____. 2 x ? y ? 0 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分)
2

已知数列 ?an ? 中,点 (an , an?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上,且首项 a1 是方程 3x ? 4 x ? 1 ? 0 的整数解.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中,b1 ? a1 ,b2 ? a 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,当 Tn ? S n 时,请直接写出 n 的值.

16.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ ?6, ? ] 时,求函数 y ? f ( x) 的最大值与最小值及相应的 x 的值.

?
2

) 的图象的一部分如图所示.

1 3

17.(本小题共 13 分) 教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一, “择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。某
3

社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度,从 A, B, C , D 四个不同区域内分别选择一部分学生 家长作调查,每个区域选出的人数如条形图 所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查, 然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计,统计结果如下面表格所示: 满意 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25% 20% 0 40%

A 区域 B 区域
C 区域

50% 80% 50% 40%

D 区域

(Ⅰ)若家长甲来自 A 区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率; (Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出 2 人进行面谈,求这 2 人中至少有一人来自 D 区域的概率.

18.(本小题共 14 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中,侧面 EAB ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

C

AD ∥ BC , AB ? BC ? 2 AD , ?DAB ? 90? ,△ EAB 是正三角形, F 为 EC 的中点. (Ⅰ)求证: DF ∥平面 EAB ; (Ⅱ)求证: DF ? 平面 EBC .

D
19.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 , a 是常数, a ?R. (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间;

F

A

B

E
(III)证明:函数 f ( x) ( x ? 1) 的图象在直线 l 的下方.

20.(本小题共 14 分) 已知椭圆 W :

1 x2 y2 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的离心率为 , Q 是椭圆上的任意一点,且点 Q 到椭圆左右焦点 F1 , 2 a2 b2
4

F2 的距离和为 4 .
(Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程; (Ⅱ)经过点 ?0,1? 且互相垂直的直线 l1 、 l2 分别与椭圆交于 A 、 B 和 C 、 D 两点( A 、 B 、 C 、 D 都不与椭 圆的顶点重合) , E 、 F 分别是线段 AB 、 CD 的中点, O 为坐标原点,若 kOE 、 kOF 分别是直线 OE 、 OF 的斜 率,求证: kOE ? kOF 为定值.

5

房山区 2015 年高三第一次模拟试题
高三数学(文科) 参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 D 7 B 8 D

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. (0, ?1) ; 10.

1 137 ? 1 ? ; 11. ; 12. ? 5 , ? ? ,3 ? 6 60 ? 2 ?

;

4] 13. [0,

14.

2 3

三、解答题(写出必要的文字说明,计算或证明过程。共 80 分) 15.(本小题共 13 分) 解: (I)根据已知 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 即 an?1 ? an ? 2 ? d , 所以数列 {an } 是一个等差数列, an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 (II)数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n
2
n ?1

??????2 分 ??????4 分 ??????6 分 ?????9 分 ?????11 分

等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ? 3 ,所以 q ? 3 , bn ? 3 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

1 ? 3n 3n ? 1 ? 1? 3 2

Tn ? S n 即

3n ? 1 ? n 2 , 又 n ? N * ,所以 n ? 1 或 2 2

?????13 分

16. (本小题共 13 分) 2π 解:(I)由图象知 A=2,T=8= , ω π π ? ∴ω= ,得 f(x)=2sin? ?4x+φ?. 4 π π π 由 ×1+φ=2kπ+ ?φ=2kπ+ , k ? Z 4 2 4 π π? π π 又|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin? ?4x+4? 2 4 π π? (II)y=2sin? ?4x+4? ∵x∈ [ ?6, ? ] , ?????6 分

1 3



?
4

x?

?
4

? [?

5? ? , ], 4 6 5? ,即 x ? ?6 时 f (x) 取得最大值为 2 4
6

∴当

?
4

x?

?
4

??



?
4

x?

?
4

??

?
2

,即 x ? ?3 时 f (x) 取得最大值为 ?2

?????13 分

17.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由条形图可得,来自 A,B,C,D 四个区域的家长共有 200 人, 其中来自 A 区域的家长为 40 人, 由分层抽样可得从 A 区域的家长问卷中抽取了 20 ? 设事件 M =“家长甲被选中进行问卷调查”, 则 P( M ) ?

?????1 分 ?????2 分 ?????4 分 ?????5 分 ?????6 分

40 ? 4 份. 200

4 ? 0.1 . 40

(II) 由图表可知,来自 A,B,C,D 四区域的家长分别接受调查的人数为 4,5,6,5. 其中不满意的家长人数分别为 1,1,0,2 个 . 记来自 A 区域不满意的家长是 a;来自 B 区域不满意的家长是 b; 来自 D 区域不满意的家长是 c,d. 设事件 N=“从填写不满意的家长中选出 2 人,至少有一人来自区域 D” 从填写不满意的学生中选出 2 人,共有 (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件, 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件, 故 P?N ? ? ??10 分 ???11 分 ???13 分 ? ??8 分 ????9 分 ???7 分

5 . 6

18.(本小题共 14 分) 证明: (I)设 M 为 BE 的中点,连结 FM , AM ∵ F 为 EC 的中点

1 BC 2 ∵ AD ∥ BC , BC ? 2 AD
∴ FM ∥ BC , FM ? ∴四边形 AMFD 是平行四边形 ∴ AM ∥ DF 又 DF ? 平面 EAB , AM ? 平面 EAB ∴ DF ∥平面 EAB (II)∵ AD ∥ BC , ?DAB ? 900 ∴ BC ⊥ AB 又侧面 EAB ⊥底面 ABCD ,侧面 EAB ∴ BC ⊥平面 EAB ,又 AM ∴ BC ⊥ AM ∵△ EAB 是正三角形, F 为 EC 的中点 ∴ BE ⊥ AM 底面 ABCD ? AB , AB ? 平面 ABCD ???6 分

? 平面 EAB

BE ? B , BC ? 平面 EBC , BE ? 平面 EBC ∴ AM ⊥平面 EBC
又 BC
7

∵ AM ∥ DF ∴ DF ⊥平面 EBC 19.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f ?(x )=

???????14 分

1 ?a x

???????2 分

f (1)= ? a +1 , kl =f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为

y ? f (1)=kl (x ? 1) ,即 y =(1 ? a )x .
(Ⅱ) f ( x) 定义域为 ?0,???

???????4 分

f ?(x )=

1 ? ax 1 ?a ? x x 1 ? 0 , f ( x) 在 ?0,??? 为增函数 x

(1)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? (2)当 a ? 0 时, 令

1 ? ax 1 ? 0 得, x ? 0 或 x ? a x

①当 a ? 0 时, f ( x) 在 ?0,??? 为增函数 ②当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 上是增数,在 ? ,?? ? 是减函数 a? ?a ?

???????9 分

(Ⅲ)令 F ( x )=f (x ) ? (1-a )x =lnx ? x +1 ,x >0, 则 F ?( x )=

1 1 ? 1= (1 ? x ) , 解F ?( x )=0得x =1. x x
(1 , ? ?)

x
F ?( x )

(0 , 1)

?


0
最大值

?


F ( x)

F (1)<0 ,所以 ?x > 0 且 x ? 1 , F ( x )<0 , f ( x )<(1 ? a )x ,
即函数 y =f ( x ) (x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. 20.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)∵点 Q 到椭圆左右焦点的距离和为 4. ∴ 2a ? 4 , a ? 2 . 又e ? ?????13 分

c 1 ? ,∴ c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 . a 2

8

∴椭圆 W 的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 3

???????5 分

(Ⅱ)∵直线 l1 、 l2 经过点 (0,1) 且互相垂直,又 A 、 B 、 C 、 D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设 l1 : y ? kx ? 1 , l2 : y ? ? 由? ? x2

1 x ? 1 ;点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 E( xE , yE ) 、 F ( xF , yF ) k

? y ? kx ? 1

2 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kx ? 8 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4

∵ 点 (0,1) 在椭圆内,∴△ ? 0

8k 3 ? 4k 2 , 3 x ?x 4k yE ? kxE ? 1 ? xE ? 1 2 ? ? 2 ∴ 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k ,
∴ x1 ? x2 ? ? ∴ kOE ?

yE 3 ?? xE 4k

同理 kOF ?

∴ kOE ? kOF

yF 3 3k ?? ? 1 xF 4(? ) 4 K 9 ?? 16

???????14 分

9


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