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连云港市灌云县四队中学高中数学教案2.3.2平面向量的坐标运算1 (苏教版必修4)


四队中学教案纸 备课 时间 教学 目标 重点 难点 教学

(学科: 高一数学 )

教时 坐标运算(1)
2

教学
1

课题

计划

课时

1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一 对有序实数一一对应关系; 2.能正确地用坐标表示向量; 3.掌握向量的和、差、数乘的坐标表示法。

1.平面向量的坐标运算 2.对平面向量的坐标表示的理解

教学过程
(一)复习:
? ? ? 1.平面向量的基本定理: a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ;

2.在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对实数 ( x, y ) 表示,那么,每一个向量 可否也用 一对实数来表示? (二)新课讲解:
1.向量的坐标表示的定义:

? ? ? ? ? a ? xi ? y j ,( x, y ? R ),实数对 ( x, y ) 叫向量 a 的坐标,记作 a ? ( x, y ) . ? ? 其中 x 叫 向量 a 在 x 轴上的坐标, y 叫向量 a 在 y 轴上的坐标。 ? ? a y 说明:(1)对于 a ,有且仅有一对实数 ( x, y ) 与之对应; ? A( x, y) j (2)相等的向量的坐标也相同; ? ? ? ? x O i ( 3) i ? (1, 0) , j ? (0,1) , 0 ? (0, 0) ; ??? ? (4)从原点引出的向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标。

分别选取与 x 轴、 y 轴方向相同的单位向量 i , j 作为基底 ,对于任一向量 a ,

?

?

?

A( x1 , y1 )
2.平面向量的坐标运算:

y

? ? ? ? ? ? 问题:已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,求 a ? b , a ? b . ? ? ? ? ? ? ? ? 解: a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j ? ? 即 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . ? ? 同理: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
1

B( x2 , y2 )

O

x

结论:两个向量和与差的坐 标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 3.向量的坐标计算公式: 已知向量 AB ,且点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,求 AB 的坐标.

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .

归纳:(1)一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标; (2)两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。

4.实数与向量 的积的坐标: 已知 a ? ( x, y ) 和实数 ? ,求 ? a ? ? ( xi ? y j ) ? ? xi ? ? y j ? (? x, ? y )

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 例 1 已知 a ? (2,1) , b ? (?3, 4) ,求 a ? b , a ? b , 3a ? 4b 的坐标. ? ? ? ? 解: a ? b = (2,1) ? (?3, 4) ? (?1,5) ; a ? b ? (2,1) ? (?3, 4) ? (5, ?3) ; ? ? 3a ? 4b ? 3(2,1) ? 4(?3, 4) ? (?6,19) .为
例 2 已知 坐标。
解:设顶点 D 的坐标为 ( x, y ) .

结论:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

ABCD 的三个顶点 A, B, C 的坐标分别为 (?2,1) 、 (?1,3) 、 (3, 4) ,求顶点 D 的

∵ AB ? (?1 ? (?2),3 ? 1) ? (1, 2) , DC ? (3 ? x, 4 ? y ) , 由 AB ? DC ,得 (1, 2) ? (3 ? x, 4 ? y) .

??? ?

????

??? ?

????

?1 ? 3 ? x ?x ? 2 ∴? ∴? ∴顶点 D 的坐标为 (2, 2) . ?2 ? 4 ? y ?y ? 2 ? ? ? 例 3 (1)已知 a 的方向与 x 轴的正向所成的角为120? ,且| a |? 6 ,则 a 的坐标为(?3,3 3) ,
(?3, ?3 3) . ? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? (1, ?2) , b ? (?3,1) , c ? (11, ?7) ,且 c ? xa ? yb ,求 x , y .
解:(2)由题意, (11, ?7) ? x(1, ?2) ? y(?3,1) ? ( x ? 3 y, ?2 x ? y) , ∴?

?11 ? x ? 3 y ? ?7 ? ? 2 x ? y

∴?

?x ? 2 . ? y ? ?3
??? ?

课外作业

2 1.已知向量 a ? ( x ? 3, x ? 3x ? 4) 与 AB 相等,其中 A(1, 2) , B(3, 2) ,求

?

x;

2

2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x,1) , ? ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u ? v ,求

?

?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

x.

教学反思

3


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