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惠州市2012-2013学年第二学期高一数学期末考试试题及答案


惠州市 2012-2013 学年第二学期基础测试及期末考试 高一数学试题
说明:1、全卷分为两部分,基础测试和期末考试,满分 150 分,时间 120 分钟; 2、答卷前,考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号,填写在答题卷上; 3、考试结束后,考生将答题卷交回。

第一部分

基础测试(100 分)

一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的。 ) 1.已知 ? an ? 为等比数列, a1 ? 1 , a4 ? 8 ,则 ? an ? 的公比 q 等于( A. ?2 B. 2 C. 2 D. ? 2 ) . D. a 与 b 无公共点 ) .

2.已知直线 a //平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,则( A. a // b B. a 与 b 异面

C. a 与 b 相交 ) .

3.如图所示的空心圆柱体的正视图是(

A.

B.

C. ) . D. 1 : 4 ) . D.

D.

4.正方体各棱长为 1,它的表面积与体积的数值之比为( A. 1 : 6 B. 6 : 1 C. 4 : 1

5.在直角坐标系中,直线 y ? ? 3x ? 1 的倾斜角为( A. ?

π 6
2

B. ?

π 3

C. ) .

2π 3

5π 6

6.不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为( A. ? ?1, 4 ? B. ? ??, ?1? ? ? 4, ?? ?

C. ? ?4,1?

D. ? ??, ?4 ? ? ?1, ?? ?

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,a=4,b=4 3 ,A=30° , 则角 B 等于 ( A.30° ). B.30° 150° 或 C.60° D.60° 120° 或

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8.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 AD1 与 BA1 所成的 角为( ) .

D1

C1 B1

A1

A.30?

B . 4? 5

C . 6? 0

D.90?

9.已知直线 l 过定点 P(?1, 2) ,且与以 A(?2, ?3) , B(?4,5) 为端点的线

D A B

C

段有交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A. ? ?1,5? B. ? ?1,5 ?

) .

? C. ? ??, 1? ? ?5, ?? ?

? D. ? ??, 1? ? (5, ??)

二、填空题:(本大题共 3 题,每小题 5 分,共 15 分.请将答案填写在横线上.) 10.点 A(2,1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 .

11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 B=60° ,a=1,S△ABC= 则边 b = . .

3 , 2

12.过两点 A(?2, 4), B(?1,3) 的直线斜截式方程为

三、解答题:(本大题共 3 题,满分 40.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 13. (本小题满分 12 分) 设 ? an ? 为等差数列, S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? ?2, S7 ? 7 , (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2) Tn 为数列 ?

? Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ?n?

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14. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (1)求证:直线 A1C1 ? 面BDD1 B1 ; (2)若 AA1 ? 2 ,求四棱锥 D1 ? ABCD 的体积.

D1

C1 B1

A1

D A B

C

15. (本小题满分 14 分) 已知直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 ( k ? R ) . (1)求直线 l 经过的定点坐标; (2)若直线 l 交 x 负半轴于 A ,交 y 轴正半轴于 B , O 为坐标系原点, ?AOB 的面积为 S ,求 S 的最 小值并求此时直线 l 的方程.

第二部分

期末考试(共 50 分)

四、期末考试部分包括一道选择题(满分 5 分) ,一道填空题(满分 5 分)和三道解答题(满分 40 分) , 解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.直线 y ? ? A. ?3

a ) . x ? 2 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 垂直,则 a 等于( 2 3 2 B. ?6 C. D. 2 3
a3 ? a9 , Q ? a5 ? a 7 , 2

17.已知等比数列 {an } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,设 P ? 则 P 与 Q 的大小关系是 .
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18. (本小题满分 12 分) 在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,且 E , F 分别是 AB , BD 的中点. 求证(1)直线 EF / / 面ACD ; (2) 面EFC ? 面BCD . F B

E D

C

A

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 .
n

(1)求 a1,a2,a3 ; (2)证明: {an ?1 ? 2an } 是等比数列; (3)求 {an } 的通项公式.

20. (本小题满分 14 分) 已知 t ? R ,且 t ?(0,10),由 t 确定两个任意点 P(t,t),Q(10-t,0). (1)直线 PQ 是否能通过下面的点 M(6,1),N(4,5); (2) 在△OPQ 内作内接正方形 ABCD,顶点 A、B 在边 OQ 上,顶点 C 在边 PQ 上,顶点 D 在边

OP 上.
① 求证:顶点 C 一定在直线 y=

1 x 上. 2

② 求下图中阴影部分面积的最大值,并求这时顶点 A、B、C、D 的坐标.

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惠州市 2012-2013 学年第二学期基础测试及期末考试 高一数学 参考答案
一、 (本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。 ) 题号 答案 1 B
3

2 D
3

3 C

4 B

5 C

6 A

7 D

8 C

9 A

1. 【解析】 a4 ? a1 ? q ? 8 ? q ? q ? 2 ,故选 B. 2. 【解析】因为两直线的位置关系与其与平面平行无关,故选 D. 3. 【解析】由三视图画图规则,空心圆柱体的正视图应为矩形, (虚线表内柱投影线)选 C. 4. 【解析】正方体各棱长为 1,它的表面积为 6,体积为 1。表面积与体积之比为 6 : 1 。选 B 5. 【解析】 y ? ? 3x ? 1 斜率为 ? 3 , tan ? ? ? 3 , ? ? ? 0, ? ? ,故倾斜角为

2π 。选 C 3

6. 【解析】 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 ,所以解集为 ? ?1, 4 ? 。

7. 【解析】由

4 4 3 3 B ? 30?,180? ? ? , 所以 B ? 60° 120° , 或 .故选 D. ? ? sin B ? sin 30? sin B 2

8. 【解析】异面直线 AD1 , BA1 所成的角为 ?AD1C ? 60? ,选 C. 9. 【解析】直线 l 过点 A(?2,?3) 时,即为直线 MA ,其斜率 k 有最大值,且最大值为 k ? 直线 l 过点 B(?4,5) 时,即为直线 MB ,其斜率 k 有最小值,且最小值为 k ? 的斜率 k 的取值范围是 ? ?1,5? .选 A. 二、填空题:(本大题共 3 题,每小题 5 分,共 15 分.) 10. 2 11.

2 ? (?3) ? 5 ;当 ? 1 ? (?2)

2?5 ? ?1 .于是直线 l ? 1 ? (?4)

3
2 ?1 ?1 12 ? (?1) 2

12. y ? ? x ? 2 .

10. 【解析】 d ?

? 2

11. 【解析】 S ?

1 3 1 ac sin B ? ? ?1? c ? sin 60? ? c ? 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b ? 3 2 2 2

12. 【解析】 k ?

4?3 ? ?1 ,? y ? 3 ? (?1)( x ? 1) ? y ? ? x ? 2 ?2 ? (?1)

三、解答题:(本大题共 3 题,满分 40.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 13. (本小题满分 12 分)
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1 解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+2n(n-1)d,…………………………1 分 ∵S7=7,∴ 7 ? 7 ? (?2) ?
7?6 ? d ,解得 d ? 1 …………………………………………3 分 2

∴ an ? ?2 ? (n ? 1) ?1 ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 3 …………………………6 分 Sn 1 1 n?5 (2) n =a1+2(n-1)d=-2+2(n-1) ? ,…………………………………………8 分 2 ∵ Sn+1 Sn 1 1 ?S ? - n =2,∴数列 ? n ? 是等差数列,其首项为-2,公差为2,…………10 分 n+1 ?n? n?n-1? 1 1 2 9 2 ×2=4n -4n. …………………………………………12 分

∴Tn=n×(-2)+
14. (本小题满分 14 分)

(1 证明:∵ BB1 ? 面A1 B1C1 D1 ,且 AC1 ? 面A1 B1C1 D1 ,∴ BB1 ? AC1 ………………2 分 ∵ A1 B1C1 D1 为正方形,∴ A1C1 ? B1D1 …………………………………………4 分 又∵ BB1 ? 面BB1 D1 D , B1 D ? 面BB1 D1 D ,且 B1 D ? BB1 =B ……………6 分 ∴ A1C1 ? 面BB1 D1 D ,…………………………………………………………8 分 (2) AA1 ? 2 ,则 S ABCD ? 2 ? 2 ? 4 ……………………………………………………………10 分 ∵ DD1 ? 面ABCD ,∴ DD1 为四棱锥 D1 ? ABCD 的高……………………………12 分 ∴ VD1 ? ABCD = Sh ? 15. (本小题满分 14 分) 解(1)直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 化为 ( x ? 2)k ? y ? 1 ? 0 .…………………………1 分 因为该式子对于任意的实数 k 都成立,所以 ?

1 3

8 1 8 ? 4 ? 2 ? ,所以四棱锥 D1 ? ABCD 的体积为 。…………14 分 3 3 3

?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 ,解得 ? .…………3 分 ?? y ? 1 ? 0 ?y ?1

所以直线 l 过定点 (?2,1) .………………………………………………………………4 分 (2) x ? 0 时, y ? 1? 2k ;………………………………………………………………5 分

1? 2k .………………………………………………………………6 分 k 因为直线 l 交 x 负半轴于 A ,交 y 轴正半轴于 B ,所以 k ? 0 .…………………………8 分
当 y ? 0 时, x ? ?

1 1 ? 2k (1 ? 2k ) 2 1 (1 ? 2k ) ? ? ? 2k ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ,…………11 分 2 k 2k 2k 1 1 1 当且仅当 2k ? ,即 k ? 时( k ? ? 舍去) ,等号成立,…………………12 分 2k 2 2
所以 S ?OAB ?
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此时直线 l 的方程为

1 x ? y ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 .…………………………14 分 2

第二部分
16.D 【解析】 k1 ? k2 ? ?1 ? a ?
17. P ? Q

期末考试(共 50 分)

2 ,所以选 D。 3

【解析】{an } 等比,有 a5 ? a7 ? a3 ? a9 ,所以由基本不等式得 P ?

a3 ? a9 ? a3 ? a9 ? a5 ? a 7 ? Q 当 2 且仅当 a3 ? a9即公比q ? 1时等号成立。 q ? 1 ,所以等号不能成立!故 P ? Q 。 而

18. (本小题满分 12 分) 证明: (1)∵EF 是△ ABD 的中位线,∴EF∥AD,……………………………1 分 ∵EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,……………………………………2 分 ∴直线 EF∥面 ACD;…………………………………………………4 分 (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,…………………………………6 分 ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD………………………………8 分 又 EF∩CF=F,EF ? 面 EFC, CF ? 面 EFC …………………………9 分 ∴BD⊥面 EFC, ………………………………………………………11 分 ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD ………………………………12 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1) a1 ? S1 , 2a1 ? S1 ? 2 ,∴ a1 ? 2 .…………………………………………1 分

a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6 ……………………………………………………………2 分 a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16 ……………………………………………………………3 分
(2) Sn ? 2an ? 2 ,当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 2an ?1 ? 2
n

n ?1

,且 an ? Sn ? Sn ?1 ……………4 分

∴ an ? 2an ? 2an ?1 ? 2 ∵

n ?1

,∴ an ? 2an ?1 ? 2

n ?1

(n ? 2) ………………………………6 分

an ?1 ? 2an 2n ? n ?1 ? 2 ,………………………………………………………………7 分 an ? 2an ?1 2

∴ {an ?1 ? 2an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.…………………………………8 分 (3 由(2)得 an ? 2an ?1 ? 2 由累加法可得
n ?1

,∴

an 2a ? 2n ?1 a an ? ? n ?1 n ?1 ? nn 1 ? n ?1 ? 1 (n ? 2) ……10 分 n ?1 ? 2 2 2 2 2

an a ? 1 ? n ? 1 ? an ? (n ? 1) ? 2n ?1 (n ? 2) .………………………12 分 n ?1 2 20
高一数学 第 7 页 共 8 页

当 n ? 1 时, a1 ? 2 也满足上式,…………………………………………………………13 分 ∴ an ? (n ? 1) ? 2
n ?1

…………………………………………………………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解 (1) 当 t ? 10 ? t 即 t ? 5 时,直线 PQ 的方程为 x ? 5 ,显然不过 M(6,1),N(4,5);…………1 分 当 t ? 10 ? t 即 t ? 5 时,令过点 P、Q 的直线方程为

y ? 0 x ? (10 ? t ) , ? t ? 0 t ? (10 ? t )

得 tx-2(t-5)y+t2-10t=0,…………………………………………………………………2 分 假设 PQ 过点 M,则有 t 2 ? 6t ? 10 ? 0 ,而Δ =36-40<0,无实根,故 PQ 不过点 M,…3 分
2 假设 PQ 过点 N,同理得 t ? 16t ? 50 ? 0 ,解得 t1 ? 8 ? 14 , t2 ? 8 ? 14 (舍). …4 分

∵ t ?(0,10),故当 t ? 8 ? 14 ,直线 PQ 过点 N. …………………………………………5 分 (2) 由已知条件可设 A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),D(a,a).……………………………………6 分 ① 证明:点 C(2a,a),即 ?

? x ? 2a 1 1 ,消去 a 得 y= x,故顶点 C 在直线 y= x 上. ………8 分 2 2 ?y ? a

② 令阴影部分面积为 S ,则 S ? ∵ t ? 0,10 ? t ? 0 ,∴ S ?

1 |10 ? t | ? | t | ?a 2 , 2
………………………………………………10 分
2

1 2 (?t ? 10t ) ? a 2 2

∵点 C(2a,a)在直线 PQ 上,∴ 2at ? (2t ? 10)a ? ?t ? 10t ………………………………11 分

a?

1 1 5 25 (10t ? t ) , S ? ?10a ? a 2 ? ?(a ? )2 ? ,……………………………………12 分 10 2 2 4 5 25 时, Smax ? ,……………………………………………………………………13 分 2 4 5 2 5 5 2 2

∴当 a ?

此时 A( , 0), B(5, 0), C (5, ), D( , ) .………………………………………………………14 分

5 2

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