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2-1.1.2集合间的基本关系


1.1.2 集合间的基本关系

一、【教学目标】
知识点:1.理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集; 2.理解子集、真子集的概念; 3.能使用 Venn 图表达集合间的包含关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用; 能力点:1.初步体会集合语言,发展运用数学语言进行交流的能力; 2.探索利用直观图示(Venn 图)理解抽象概念,体会数形结

合思想的应用; 教育点:通过探究集合之间的包含与相等关系,培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学 习习惯及勇于探索的精神; 重 难 点:集合间的包含与相等关系,子集与真子集的概念; 点:属于关系与包含关系的区别,以描述法给出的集合间的关系;

自主探究点:对照实数的相等与不相等的关系,探究集合之间的包含与相等关系; 考试点:与集合基本运算相结合;与命题,逻辑联结词结合出题; 易错易混点:分类讨论时,忽视空集; 拓展点:分类讨论思想的应用.

教具准备 课堂模式

投影仪,多媒体课件等 探究学习、学案导学

二、【引入新课】
【师】今天我们先来看一看中国地图,先看山东省的区域在什么地方,再看一看全中国的区域.请问:山 东省的区域与中国的区域有何关系? 【生】山东省的区域在中国区域的内部. 【师】如果我们把山东省的区域用集合 A 来表示,中国的区域用集合 B 来表示,那么你会发现集合 A 在集 合 B 的内部,即集合 A 中的每一个元素都在集合 B 内. 【师】再看一看下面两个集合之间的关系:A={x|x 为山东人} ,B={x|x 为中国人} . 【生】山东人是中国人. 【师】我说的是从集合的角度看是什么关系? 【生】集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素. 【设计意图】创设问题情境,激发兴趣, 增强学生的求知欲望.

三、【探究新知】
【师】再来看一看下面给出的集合 A 中的元素与集合 B 中的元素有什么关系? (1) A=?1,2,3?,B= ?1,2,3,4,5? ; (2)设 A 为枣庄一中新校高一(14)班女生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合;

(3) A ? ?x | ?1 ? x ? 1 ?, B ? ?x | ?2 ? x ? 3? ; (4) C ? x | x是两条边相等的三角形 ,D= x | x是等腰三角形 . 【生】均有集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素. 【设计意图】通过引导学生分析实例,共同探究实例的共性,让学生从实例中抽象出数学概念,形成子集 的概念. 1.子集: 一般地,对于两个集合 A, B ,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合 有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集,记作 A ? B ,读作: “ A 含于 B ” (或 B 包含 A ) . Venn 图表示如下图所示:

?

?

?

?

B
A
【设计意图】通过合作探究讨论,师生合作得出子集的概念,增强学生的合作探究意识、归纳总结能力以 及语言表达能力. 【师】与实数中的结论“若 a ? b, 且a ? b, 则a ? b ”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 【生】若 A ? B ,且 B ? A ,则 A ? B. 2.集合相等: 如果集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因 此集合 A 与集合 B 相等.即:若 A ? B ,且 B ? A ,则 A ? B . 【师】观察下列各组集合,并指明两集合的关系: (1) A ? Z, B ? N; (2) A ? 长方形 ,B= 平行四边形 ; (3) A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? ?1, 2? .
2

?

?

?

?

?

?

【生】 (1) A ? B (2) A ? B (3) A ? B 【师】进一步观察(1) , (2) ,不难发现: A 的任意元素都在 B 中,而 B 中存在元素不在 A 中,具有这种 关系时,称 A 是 B 的真子集. 3.真子集 如果集合 A ? B , 但存在元素 x ? B , 且 x ? A, 则称集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ? B( B ? A ) .

?

?

【师】如果我们把方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的实数根组成的集合记作 M ,那么 M 中的元素是? 【生】这个方程没有实数根,集合 M 中一个元素都没有. 【师】很好,对于这种情况,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作: ? . 【设计意图】引导学生分析实例,让学生从实例中抽象出数学概念,得出本节课所要学习的基本概念.
2

四、【理解新知】
1.任何一个集合是它本身的子集, A ? A ; 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集, ? ? A ; 3.两集合相等,则集合中的元素完全相同; 4.对于集合 A, B, C ,如果 A ? B , B ? C ,那么 A ? C . 【设计意图】引导学生对定义进行分析,掌握子集、真子集的概念,并能识别给定集合的子集.

五、【运用新知】
例 1. 写出集合 ?a, b? 的所有子集,并指出哪些是它的真子集? 解:集合 ?a, b? 的所有子集为 ? , ?a? , ?b? , ?a, b? ,真子集有三个: ? , ?a? , ?b? . 规律总结:写一个集合的子集时,常按不含元素,含 1 个元素,含 2 个元素??以此类推,按规律写出. 活动: (1)写出集合 ?a, b, c? 的所有子集,并指出其子集、真子集的个数; (2)写出集合 ?a, b, c, d? 的所有子集,并指出其子集、真子集的个数. 学习练习求解,老师点评总结. 归纳猜想:对于一个含有 n 个元素的集合,其子集的个数与元素个数之间有什么关系? 规律总结:若集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 的子集共有( 2 )个,真子集共有( 2 ? 1 )个.
n n

【设计意图】通过练习,加深对子集、真子集概念的理解,培养学生的归纳总结能力. 例 2.判断下列各组中两个集合之间的关系: (1) A = {1, 2, 4},B = {x | x 是 8 的约数}; (2) C = {x | x 是奇数}, D = {x | x 是整数}; (3) E = {x | x 是菱形}, F = {x | x 是正方形}; (4) P = {x | x2 = 1}, Q = {x || x |= 1} . 分析:加强对子集、真子集概念的理解. 解: (1) A ? B ; (2) C ? D ; (3) E ? F ; (4) P ? Q .

?

?

?

练习:用符号 (1){菱形}

蜗 , , 躺 ,


填空: {等边三角形};

{平行四边形};{等腰三角形}

(2)已知 A = {x | x = 3k + 2, k ? Z} , B = {x | x = 6m - 1, m ? Z} ,则有 17

A ; -5 A; A

A ; 17 B ; {5}

B ; -5 A ; {5}

B; B.

?
(3) ?

{x ? R | x2 2 = 0} ; 0

{0} ; ?

{0} ; {0}

N.

, , 蜗 , , ? , ? , ? , ? (3)=, ? , ? , ? . 答案: (1) ? , ? (2) 蜗

?

?

?

?

?

?

?

?

【设计意图】通过练习,加深对子集、真子集概念的理解,区分属于关系和包含关系,培养学生的归纳总 结能力. 例 3.已知集合 A = {1, x, y} , B = {x , xy, x} ,且 A = B ,求 x, y 的值. 分析:两集合相等,则集合中的元素完全一样. 解: Q A = B ,
2 ì ?1= x , ì ? 1 = xy , \ í 或í 2 ? ? y = xy. ? ? y=x .

2

又 A = {1, x, y} ,由元素的互异性,

解得 í

ì x = - 1, ? ? y = 0. ?

总结:用列举法给出的集合,一定要注意检验元素的互异性.
2 练习:已知集合 A ? ?2,x, y? , B ? 2 x,2, y ,且 B ? A , A ? B ,求实数 x, y 的值.

?

?

1 ? x? ? x ? 0 ? ? 4 答案: x, y 的值为 ? 或? . ?y ?1 ?y ? 1 ? ? 2
【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力.
2 例 4.设 A ? x | x ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? ?x | ax ?1 ? 0? ,若 B ? A ,求实数 a 组成的集合.

?

?

解析: A ? ?3,5? , Q B ? A ,? B ? ?或B ? ? . (1)若 B ? ? ,则 a ? 0 ; (2)若 B ? ? ,则 a ? 0 ,这时 B ={ } ,故

1 a

1 1 1 1 ? 3或 ? 5 ,即 a ? 或 . a a 3 5

综上所述,由实数 a 组成的集合为 ?0, , ? . 【设计意图】利用分类讨论的思想解决问题,通过实例提示学生考虑包含关系时勿忘对空集的讨论.
2 练习:若集合 A ? x | (k ? 1) x ? x ? k ? 0 中只有一个元素,求实数 k 的值.

? 1 1? ? 3 5?

?

?

答案: k ? ?1或- . 【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力.

1 2

x 例 5. (拓展提高)已知集合 A = {x | - 2 #
取值范围.

5} , B = {x | m +1 #x

2m - 1} ,且 B ? A ,求实数 m 的

分析:对于集合 B 分 B ? ?或B ? ? 两种情况进行分类讨论。 解析: Q B ? A ,? B ? ?或B ? ? . (1)若 B ? ? ,则 m ? 1 ? 2m ? 1 ,解得 m ? ?2 ;

? m ? 1 ? 2m ? 1, ? (2)若 B ? ? ,则 ? m ? 1 ? ?2, 解得 ?2 ? m ? 3 . ? 2m ? 1 ? 5. ?
综上所述,实数 m 的取值范围为 {m | m ? 3} .

六、【课堂小结】
教师提问:本节课我们学习了哪些知识点,涉及到什么规律方法?学生作答: 1.知识点: (1)子集、真子集的概念,会判断给定集合之间的关系; (2)集合相等的概念;

(3)空集的概念,规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2.规律方法: (1)若集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 的子集有 2 个,真子集有 2 ? 1 个,非空子集有 2 ? 1 个,非
n n n

空真子集有 2 ? 2 个;
n

(2)当 B ? A 时,如果集合 A 是一个确定的集合,而集合 B 不确定时,那么在运算时,首先考虑 B =? 的 情况. 教师总结: 概念的应用用到了前面学过的知识, 提醒学生: 在学习新知时, 也要经常复习前面学过的内容, “温故而知新” .在应用中增强对知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性, 加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. 【设计意图】加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

七、【布置作业】
1.阅读课本 P6—P7;
2.书面作业:(1)课本第 7 页,练习;(2)课本第 12 页,A 组,第 5 题(判断并说明理由). 3.必做题: (1)下列四个集合中,表示空集的是( A. {0} )

B. {( x, y) | y 2 ? ? x2 , x, y ? R} C. {x || x |? 5, x ? Z, x ? N} D. {x | 2 x2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? N}

(2)下列给出的几个关系中: ① {?} ? {a, b} ;② {(a, b)} ? {a, b} ;③ {a, b} ? {b, a} ;④ ? ? {0} ,正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (3)若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合 C={z︱z=x+y,x∈A,y∈B}的真子集的个数为( A.6 B.8 C.3 D .7 (4)集合 A ? {2,0,1} ,集合 B ? {x || x |? a, x ? Z} ,则满足 A ? B 的实数 a 可以取的一个值是( A.0 B.1 C.2 D .3 . .



)

(5)已知集合 A= { -1, 1, 3 } ,B= { 3, m 2 } ,且 B ? A,则实数 m 的值是 (6)已知集合 A= x | x ? 4 ,B= ?x | ax ? 1? ,若 B ? A,则实数 a 的取值集合为
2

?

?

(7)若集合 A 满足 ?3? ? A ? ?1,3,5? ,则集合 A 所有可能的个数为

? ?



4.选做题: (1)设 A ? {x | x ? 3m, m ? Z} , B ? { y | y ? 6k , k ? Z} ,则 A, B 之间是什么关系? (3)已知集合 P ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, Q ? {x | x ? 3x ? 10} ,若 P ? Q ,求实数 a 的取值范围.
2

【设计意图】设计作业必做题 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的 布置,是为了让学生掌握集合的相关概念,会判断集合间的关系;选做题的设计难度递进,供有余力的学

生加深理解,提高解题能力.

八、【教后反思】
1.这一节课概念很多,学习概念对于较多的学生来说会感觉到枯燥无味,为了提高学生兴趣,我把 每一个概念都进了习题化. 2.本节课的亮点是例题覆盖全面,练习和例题相结合,有讲有练,有利于学生掌握和理解知识点, 提高解题能力;弱项是课堂容量较大,例 5 相对较难,在新授课时可降低难度,放在习题课中效果更好. 3.在教学方法上,主要是采用合作探究、讲练结合法进行教学,教师通过点拨引导的方式,启发学 生的思维活动,从具体问题出发引出数学概念,并在练习中反复应用和辨析,启发学生理解概念并能在实 践中总结判定方法.

九、【板书设计】
1.1.2 1.子集: 记作: 图示: 2.真子集: 记作: 3.集合相等: 4.空集: 规定: 规律总结: 集合间的基本关系 例1 例2 例3 练习 1: (学生口述) 练习 2: (学生板演)


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