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1.1.2 导数的概念


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1.函数的平均变化率含义:

Δy f(x2 )- f(x1 ) = Δx x2 - x1
表示曲线上两点连线的斜率

几何意义是什么?

2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量 Δy=f(x2)-f(x1)

Δy f(x

2 )- f(x1 ) (2)计算平均变化率 = Δx x2 - x1
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在高台跳水运动中,平均 速度不能反映他在这段时间里 运动状态,需要用瞬时速度描 述运动状态. 物体在某一时刻的速度就 称为瞬时速度.

如何求运动员的瞬时速 度呢?比如,t=2时的瞬时速 度是多少?
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h(t)= -4.9t2 + 6.5t +10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 这段时间内
当△t = – 0.01时, 当△t = – 0.001时,

△t>0时, 在[2, 2 +△t ] 这段时间内
当△t = 0.01时, 当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
v ? ?13.051

v ? ?13.149 v ? ?13.10049

v ? ?13.0951 当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 △t = – 0.00001, v ? ?13.099951
△t = – 0.000001,

当△t =0.001时, v = -13.1049

v ? ?13.100049

v ? ?13.0999951

……

v ? ?13.1000049 ……
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当△t 趋近于0时, 平均速度 v 有什么样的变化趋势?
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2 的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的 瞬时速度是 –13.1.

h(2 +Δt)- h(2) lim = -13.1 Δt→0 Δt 表示“当t =2,△t趋近于0
时, v 平均速度 趋近于确定值–13.1”.

我们称确定值 -13.1 h(2 +△t)- h(2) △t 当△t趋近于0时的极限. 是
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1.运动员在某一时刻t0的 瞬时速度怎样表示? 2.函数f(x)在x=x0处的 瞬时变化率怎样表示?
-4.9(Δt)2 -(9.8t0 - 6.5)Δt h(t0 +Δt)- h(t0 ) 1. lim = lim Δt→0 Δt Δt→0 Δt = lim (-4.9Δt - 9.8t0 + 6.5)= -9.8t0 + 6.5
Δt→0

2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

Δy f(x0 +Δx)- f(x0 ) lim lim =Δx→ 0Δ x Δx→0 Δx
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一般地,函数y=f(x)在x=x0 处的瞬时变化率是

f(x0 +Δx)- f(x0 ) Δy lim = lim Δx→0 Δx→0 Δ x Δx
称为函数y=f(x)在x=x0 处的导数, 记作 f ?(x 0 )或y ? |x=x
即f?(x0 )= lim f(x0 +Δx)- f(x0 ) Δy = lim . Δx→0 Δ x Δx→0 Δx
0

注 意
1. f ?( x0 )与?x的具体取值无关.

y?|x=x 表示函数y关于
0

自变量x在x0处的导数.

2.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. 3. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同.
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由导数的定义可知, 求函数y=f(x)的导数的一般方法: ①求函数的改变量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ②求平均变化率 ?x ?x

③求值 f ?( x0 ) ? lim

?f . ?x ?0 ?x

口 诀

一差二化三极限
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例1 子弹在枪筒中运动可以看作匀加速直线运动,如果它 的加速度是a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出所用的 时间为1.6×10-3s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.
1 2 解: 运动方程为 s= at . 2

1 2 1 2 t 因为Δs= a(t0+Δt) - a 0 = 2 2

因为a=5×105,t0=1.6×10-3, 所以at0=8×102=800(m/s), 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
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例2 航天飞机发射后的一段时间内,第ts时的高度 h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s. (1)h(0)、h(1)分别表示什么; (2)求第1s内高度的平均变化率; (3)求第1s末高度的瞬时变化率,并说明它的意义. 解:(1) h(0)表示航天飞机未发射时的高度, h(1)表示航天飞机发射1s后的高度.
?t

h ?1? ? h ? 0 ? ? h 第 1s 内高度的平均变化率为 (2) = = 80(m/s) 1? 0

(3)

120

即第1s末高度的瞬时变化率为120m/s.它说明在第1s 末附近,航天飞机的高度大约以120m/s的速度增加.
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例3 分别求函数y=f(x)=x2在x=-2、-1、0、1、2处的导数. 解: ∵Δy=(x0+Δx)2-(x0)2= 2x0Δx+(Δx)2

?y 2x0?x ? ? ?x ? ∴ = =2x0+Δx ?x ?x ?y ∴ f ? (x0)= lim = lim (2x0+Δx)= 2x0 ?x ?0 ?x ?x ? 0
2

∴f′(-2)=-4, f′(-1)=-2, f′(0)=0, f′(1)=2,f′(2)=4.

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函数在点 x0 处的导数 f ?( x0 )、导函数

f ?( x ) 间的区别与联系:

①函数在一点 x0 处的导数 f ?( x0 ),就是在该点的函数的改变 量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是 变数. ②函数的导数是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数 f(x)的导函数 f ?( x0 ). ③函数在点 x0 处的导数 f ?( x0 )就是导函数 f ?( x) 在 x ? x0 处的 函数值,这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一.

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1.导数的概念:
f(x0 +Δx)- f(x0 ) Δy f?(x0 )= lim = lim Δx→0 Δ x Δx→0 Δx

2.求导数的步骤:
①求函数的改变量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ②求平均变化率 ?x ?x
?f ③求值 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

口 诀

一差二化三极限

3.导函数的概念:

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课堂作业

《导与练》

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