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高中数学直线、平面垂直的判定与性质专题


专题

直线、平面垂直的判定与性质
考点精要

1.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理. 2.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.

热点分析
线线垂直,线面垂直,面面垂直仍然是考查的重点和难点.

知识梳理
1.线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个

平面内的任意一条直线都垂直,我 们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂 足. 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直 线垂直于这个平面. 推论 1. 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 推论 2. 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 3.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么两个平面互相垂直. 4.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面. 5.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直. 6.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这 条斜线的射影垂直. 例题精讲: 例 1. 如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1 ; (Ⅱ)设 D 是 AC 1 1 上的点,且 A 1B // 平面 B 1CD ,求 A 1 D : DC1 的值.

1

例 2 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2MA . (I)求证:平面 EFG ? 平面 PDC ; (II)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积之比.

例 3 (1).已知:如图,在直三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, AC ? BC , D 为 AB 的中点. 求证: (Ⅰ) CD ? 平面AA1B1B ; (Ⅱ) BC1 ∥平面 DAC 1 .

(2)如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SD ? 平面 ABCD , E 是 SD 的中点. (Ⅰ)求证: SB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证: AC ? BE .

(3)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,每个侧面均为正方形, D 为底边 AB 的中点, E 为侧棱 CC1 的 中点, AB1 与 A1B 的交点为 O . (Ⅰ)求证: CD ∥平面 A1 EB ; (Ⅱ)求证: AB1 ? 平面 A1 EB . O A D B 2 C A1 B1 C1

E

例 4(1)

一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示, (其中 D 为 A1B1 的中点)
A B C C1 A1

(Ⅰ).求证: C1D ? 平面 ABB1 A1 (Ⅱ).当点 F 在棱 BB1 上的什么位置时,有 AB1 ? 平面 C1DF , 请证 明你的结论 (Ⅲ).对(2)中确定的点 F ,求三棱锥 B1 ? C1DF 的体积.

D B1

1 2 主视图 1 侧视图

1

2 俯视图

(2)三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别 A 是 AB , AC 的中点. 1 M C (Ⅰ)求证: MN || 平面 BCC B ; (Ⅱ)求证: MN ? 平面 A B C ; B
1 1 1 1

(Ⅲ)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积. N

A1 B1 C1

(3)如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD, 点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 . (I) 证明: BC ⊥平面 AMN ;(II)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (III)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ;若存在, 求出 PE 的长;若不存在,说明理由.
B M C P

N A

D
D

3

例 5 . 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , ?ABC 是边长为 2 的等边三角形, D 为 AB 边 中点,且 CC1 ? 2 AB . (Ⅰ)求证:平面 C1CD ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求证: AC1 / / 平面 CDB1 ;
A1 C1 B1

(Ⅲ)求三棱锥 D ? CBB1 的体积.

C D A

B

例 6 . 如图 1,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的 正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: AD ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (Ⅲ)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ // 平面 ABD ,并求此时 PQ 的长. P
2 2
2

D

4

2 2

2 4 侧(左)视图 图2

A B

C

4 正(主)视图

图1

例 7 . 如图,已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径, AB ? 2 , C 是⊙ O 上一 点,且
PA ? AC ? BC , E , F 分别为 PC, PB 中点.

(Ⅰ) 求证: EF ∥平面 ABC ;(Ⅱ) 求证: EF ? PC ; (Ⅲ)求三棱锥 B - PAC 的体积.

4

针对训练
1.“直线 l 垂直于平面?内的无数条直线”是“ l ⊥?”的( A.充分不必要条件 A. l ?? 3.下列说法正确的是 ( B.必要不充分条件 B. l ⊥? ) ) D.既不充分也不必要条件 ) D. l ??或 l ∥? C.充要条件

2.如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面?的位置关系是( C. l ∥?

A.直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B.直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C.直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D.直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M 4.设 P 是平面 α 外一点,且 P 到平面 α 内的四边形的四条边的距离都相等,则四边形是( A.梯形 则 DH 等于 ( ) B.圆外切四边形 A. 6 C.圆内接四边形 B.5 D.任意四边形 C.4 D.3 )

5.平面 α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、BB1、CC1、DD1 分别交于 E、F、G、H.若 AE=3,BF=4,CG=5,

6.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? || ? ;②若 m ? ? , n ? ? , m || ? , n || ? ,则 ? || ? ; ③若 ? || ? , l ? ? ,则 l || ? ;④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l || ? ,则 m || n 其中真命题的个数是( A.1 A.充分不必要条件 ) B.2 C.3 D.4 ) D.既不充分也不必要条件 )

7.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( B.必要不充分条件 C.充要条件 8.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? ,? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? ,α∥β,则 l ? ? A.若 α∥β, l ? ? , n ? ? , 则 l∥n C.若 l ? n, m ? n, 则 l∥m 使平面 EDB ? 平面 ABD (1)求证: AB ? DE (2)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积.

B.若 l∥α,α∥β,则 l ? ? D.若 l∥α, ? ? ? ,则 l ? ? ) B.若 ? ? ? , l ? ? , 则l ? ? D.若 l ? ? , l∥β, 则? ? ?

9.若 l、m、n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是(

10.如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,

5

11.如图, 已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内, M, N 分别为 AB, DF 的中点.CD=2, 平面 ABCD⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长;

12. 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB//CD, △PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8, AB=2DC= 4 5 . (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

高考链接
1(09 北京文) (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上。 (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小。

6

2(05 北京文) (本小题共 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; (III)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

3 (11 海淀模拟) (本小题满分 13 分) 如图,已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,侧棱 BB1⊥底面 ABCD,E 是侧棱 CC1 的中点。 (I)求证:AC⊥平面 BDD1B1; (II)求证:AC//平面 B1DE。

4(11 海淀文).(本小题共 13 分)已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D, E, F 分别 为 BC, BB1, AA1 的中点. (I) 求证:平面 B1 FC // 平面 EAD ; (II)求证: BC1 ? 平面 EAD .
A1 B1 C1

F E

A
D
B

C

答案: 例 1



例2 略 7

针对训练 1.B2.D 3.B4.B5.C6.B7.B 8.C 9.D10. (1)略 11. (1) 6 (2)略 12. (1)略 (2) 16 3

(2) S ? 8 ? 2 3

答案

1 略 2 证明(共 14 分) (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; (III)∵ DE//AC1,∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角,
5 5 1 1 1 在△CED 中,ED= AC 1= ,CD= AB= ,CE= CB1=2 2 , 2 2 2 2 2

∴ cos ?CED ?

8 2?2 2 ? 5 2

?

2 2 , 5

∴ 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 3 略 4 略

2 2 . 5

8


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