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江苏省连云港市某重点中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题


2012-2013 学年高二上学期期中考试数学试题 注意事项:1.本卷满分 160 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前,请将姓名,考试号等信息填写在答题纸的规定位置。 3.请用 0.5 毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域答题,在其他位 置答题一律无效。考试结束后,请将答题纸交回。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答 案

写在答题纸的指定位置上.) 1.已知等差数列 ?an ?的通项公式 an ? 3 ? 2n ,则它的公差 d 为 . sin A cos B ? 2.在 ?ABC 中, ,则 ?B = . a b 3.不等式(x -1)(2- x) ≥0 的解集是 4.已知 0<x<1 则 x(3-3x)取最大值时 x 的值为 5.在等差数列 {an } 中,当 a2 ? a9 ? ?4 时,它的前 10 项和 S10 = 6.在△ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B 的大小是 .



7.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b2 ? c2 ? 3bc ? a2 ,则
?A ?
2



P
30° 45°

8.函数 y=

x ?5 x ?4
2

的最小值是

600 C (第 9 题) A

B 9.如图,某人在高出海面 600 米的山上 P 处,测得海面上的航标在 A 正东,俯角 为 30°, 航标 B 在南偏东 60°, 俯角为 45°, 则这两个航标间的距离为 米。 10.已知正数 m、n 满足 nm=m+n+8,则 mn 的取值范围为

?x ? y ? 5 ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,求目标函数 Z ? 2 x ? 4 y 的最小值 ?y ? 0 ?
1 a ?a 12.等比数列 ?an ? 中, an ? 0 , q ? 1 ,且 a2 、 a3 、 a1 成等差数列,则 14 17 = 2 a12 ? a15

13.已知 ?ABC 中, a ? x, b ? 2, B ? 45? ,若该三角形有两解,则 x 的取值范围是
an ? an ? 2 ? an ?1 成立,则 2 称数列 ?an ? 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 ?an ? 满足如下两个条件:

14.对于数列 ?an ? ,如果对任意正整数 n ,总有不等式: (1)数列 ?an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ;

(2) 对正整数 n 1 ? n ? 10, n ? N * ) 都有 an ? bn ? 20 , ( , 其中 bn ? n2 ? 6n ?10 . 则数列 ?an ? 中的第五项 a5 的取值范围为 .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程
1

或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.) 15.(本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A 是锐角,且

3b ? 2a sin B . (1)求 A ; (2)若 a ? 7 , ?ABC 的面积为 10 3,求 b ? c 的值.


16.解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

17. (本题满分 14 分)已知:等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差 d < 0. (1)求数列 {an}的通项公式 an; (2)求
S n ? an 的最大值及相应的 n 的值. n

18. (本题满分 16 分)某种汽车购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、汽油
2

费费用共 0.9 万元,汽车的维修费为:第一年 0.2 万元,第二年 0.4 万元,第三年 0.6 万 元,·····依等差数列逐年递增。 (1)设该车使用 n 年的总费用(包括购车费用)为 f (n) ,试写出 f (n) 的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)。

x2 19.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 ax ? b

有两个实根为 x1=3, x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式; f ( x) ?
(k ? 1) x ? k . 2? x

20.(本题满分 16 分)
bn 1 已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 ? , an ? bn ? 1, bn?1 ? . 4 1 ? an 2

(1)求 b1,b2 , b3 , b4 ;

(2)求数列{ bn }的通项公式;

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,求实数 a 为何值时 4aSn ? bn 恒成立

3

高二数学参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在下面对应的 横线上)

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.应写出相应的解答过程、证明过程或 演算步骤)
15. (本小题共 14 分) 解:(1) 由 3b ? 2a sin B ? 3 sin B ? 2sin A sin B ? sin A ? 所以 A ? 60? ………………………………………………6 分 (2)由面积公式 S ?

3 ,又 A 是锐角, 2

1 3 bc sin A ? bc ? 10 3 ? bc ? 40 , 2 4 2 2 2 又由余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 49 ? b ? c ? 13…………………………14 分.

解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.
1 a 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a 1 a

2 4

若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. 6

(1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ;
1 ? x ? 1; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a

8

[

(2)当 a ? 1 时,式 (?) ?

10 12

综上所述,不等式的解集为: ①当 a ? 0 时,{ x x ? 或x ? 1 }; ②当 a ? 0 时,{ x x ? 1};
1 a

4

③当 0 ? a ? 1 时 2,{ x 1 ? x ? }; ④当 a ? 1 时, ? ;
1 ? x ? 1 }. a 18.答案见课本 111 页第 15 题。根据情况给分

1 a

⑤当 a ? 1 时,{ x

14

(2)? a1 ? 10, an ? 11? n ………………………………………………8

1 21 ? Sn ? ? n2 ? n 2 2 1 21 ? n 2 ? n ? (11? n) S n ? an 1 22 23 2 ? 2 ? ? (n ? ) ? . …………10 n n 2 n 2
因 f ( x) ? x ? 又4 ?

22 22 知 在 , f ?( x) ? 1 ? 2 ? 0 , f ( x)在(0, 22) 上单减, ( 22,??) 上单增, x x

22 ? 5 ,

1 2 ? f (5) ? 9 . ………………………………………13 2 5 S ? an 1 47 23 34 ? ? . ∴当 n = 5 时, n 取最大值为 ? ? 14 2 5 2 5 n
而 f ( 4) ? 9 19.解:(1)将 x1 ? 3, x 2 ? 4分别代入方程

x2 ? x ? 12 ? 0 ,得 ax ? b

? 9 ? 3a ? b ? ?9 ?a ? ?1 x2 ? 解得? , 所以f ( x) ? ( x ? 2). ? 2? x ?b ? 2 ? 16 ? ?8 ? 4a ? b ?

8

5

(2)不等式即为

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ? 0, 2? x 2? x 2? x
10 12 14 16

即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0. ① 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??). 当

② k ? 2时, 不等式为 x ? 2) 2 ( x ? 1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??); 当 ( ③当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) . 解:(1) bn ?1 ? ∵ a1 ?

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴ b2 ?

1 3 , b1 ? 4 4

4 5 6 , b3 ? , b4 ? 5 6 7

……………4 分

(2)∵ bn?1 ? 1 ?

2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ ? ? ?1 ? bn?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1 2 ? bn
……………6 分

∴数列{

1 }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列 bn ? 1
∴ bn ? 1 ?



1 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 bn ? 1
1 n?3

1 n?2 ? ……………8 分 n?3 n?3

(3) an ? 1 ? bn ?

1 1 1 n ∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)
∴ 4aSn ? bn ?

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)

……………10 分

由条件可知 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件设 f (n) ? (a ?1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 a=1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, a>1 时,由二次函数的性质知不可能成立 a<l 时,对称轴 ? ?

3 a?2 3 1 ? ? (1 ? )?0 2 a ?1 2 a ?1

……………13 分

f(n)在 (??,1] 为单调递减函数.

f (1) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? 0
∴a ?

15 4

∴a<1 时 4aSn ? b 恒成立

……………15 分

6

综上知:a≤1 时, 4aSn ? b 恒成立

…16

7


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