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直线与圆的方程例题(总结版)


【考试大纲要求】
1.理解直线的斜率的概念,掌握两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一 般式,并能根据条件熟练地求出直线的方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式;能够根据直线的方程判断两条直线 的位置关系. 4.了解解析几何的基本思想,了解坐标法. 5.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. 6.掌握直线与圆的位置关系的判断方法,能利用直线和圆的位置关系解决相关问题. 直线方程考察的重点是直线方程的特征值(主要是直线的斜率、截距)有关问题,可与三角知 识联系;圆的方程,从轨迹角度讲,可以成为解答题,尤其是参数问题,在对参数的讨论中确定圆 的方程.

【基础知识归纳】
1.直线方程 (1)直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是: 0 ? ? ? 180 .
? ?

(2)直线的斜率 k ? tan? (? ? 90?) . 倾斜角是 90°的直线没有斜率;倾斜角不是 90°的直线都有斜率,斜率的取值范围是(- ∞,+∞). (3)直线的方向向量 设 F1(x1,y1) 2(x2,y2)是直线上不同的两点,则向量 F1 F2 =(x2-x1,y2-y1)称为直线 、F 的方向向量 向量

y ? y1 1 )=(1,k)也是该直线的方向向量,k 是直线的斜率.特别地, F1 F2 =(1, 2 x 2 ? x1 x 2 ? x1

垂直于 x 轴的直线的一个方向向量为 a =(0,1) . 说明:直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的. 每一条直线都有倾斜角和方向向量,但不是每一条直线都有斜率,要注意三者之间的内在联系. (4)直线方程的五种形式 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,(斜率存在) 两点式: 点) 一般式: Ax ? By ? C ? 0 . 引申:过直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , 1 斜截式: y ? kx ? b (斜率存在)

?

y ? y1 x ? x1 ,(不垂直坐标轴) ? y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式:

x y ? ? 1 (不垂直坐标轴,不过原 a b

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线系方程为:

R)(除 l2 外). A1x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (λ∈ 2.两条直线的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 存在斜率的两直线 l1 : y ? k1 x ? b1 ; l2 : y ? k2 x ? b2 .有:
1

① l1 ? l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 ; ③ l1 与 l2 相交 ? k1 ? k2;④ l1 与 l2 重合 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 . 0 一般式的直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 . 1 有① l1 ? l2 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 ;且 B1C2 ? C2 B1 ? 0 ; 1 ② l1 ? l2 ? A A2 ? B1B2 ? 0 ; 1

③ l1 与 l2 相交 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 ;④ l1 与 l2 重合 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 ;且 B1C2 ? C2 B1 ? 0 1 1 (2)点与直线的位置关系 若点 P( x0 , y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上,则有 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ; 若点 P( x0 , y0 ) 不在直 Ax ? By ? C ? 0 上,则有 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,此时点 P( x0 , y0 ) 到直线

Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2



平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离为 (3)两条直线的交点

d?

C1 ? C 2 A2 ? B 2



直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的公共点的坐标是方程 1

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

的解

相交 ? 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行 ? 方程组无解. 重合 ? 方程组有无数解. 3.曲线与方程 4. 圆的方程 (1)圆的定义 (2)圆的方程 标准式: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,其中 r 为圆的半径, ( a, b) 为圆心.
2 2 2 2 2 一般式: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0 ).其中圆心为
2 2

? D E ? ,半径为 1 D2 ? E 2 ? 4F ?? ,? ? 2 2 2? ?
? x ? r cos ? ? x ? a ? r cos ? 参数方程: ? ,? ? y ? r sin ? ? y ? b ? r sin ?
5. 点与圆的位置关系

(? 是参数). 消去θ 可得普通方程

2

判断点 P( x, y) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系代入方程看符号. 6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有:相离、相切和相交. 有两种判断方法: (1)代数法: (判别式法) ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 时分别相离、相交、 相切. (2)几何法:圆心到直线的距离 7.弦长求法 (1)几何法:弦心距 d,圆半径 r,弦长 l,则 d 2 ? ? ? ? r 2 . (2)解析法:用韦达定理,弦长公式. 8.圆与圆的位置关系 题型 1:直线的倾斜角 1. (07·上海)直线 4 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 答案: π ? arctan 4 解析:? 直线 4 x ? y ? 1 ? 0 可化为 y ? 4 x ? 1 , .

d ? r , d ? r , d ? r 时相离、相交、相切.

?l? ?2?

2

k ? tan ? ? ?4  ? ,?) ,? ( 2 ?

?

? ? ? π ? arctan 4 .
题型 2 :直线的斜率 2. (08·安徽卷)若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1有公共点,则直线 l 的斜率的
2 2

取值范围为





A. [? 3, 3] 答案:C

B. (? 3, 3)

? 3 3? , ?? ? ? 3 3 ? C.

? 3 3? ?? ? 3 , 3 ? ? ? D. ?

解析:记圆心为 D(2,0) ,记上、下两切点分别记为 B、C ,则
0 0 ? ? ?BAD ? 30? ? ?CAD ,∴ l 的斜率 k ? ? tan150 , tan 30 ? ,

? 3 3? k ? ?? , ? ? 3 3 ?. 即
题型 3 直线的方程 ) 3. (07·浙江)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 ( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0
3

C. 2 x ? y ? 3 ? 0 答案:D

D. x ? 2 y ? 3 ? 0

解 析 : (利 用 相 关 点 法 )设 所 求 直 线 上 任一 点 (x,y), 则 它 关 于 x ? 1 对 称 点 为 (2-x, y) 在 直 线

x ? 2 y ? 1 ? 0上,
即 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,化简得答案 D. 题型 4:直线与直线的位置关系 4 . 06 · 福 建 ) 已 知 两 条 直 线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互 相 垂 直 , 则 ( ( ) A.2 答案 D 解析:两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a(a ? 2) ? ?1 ,∴ a=-1,选 D. 题型 5:点与直线的位置关系
x ? y ? 14 ? 0 5. (06·湖南)圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 的最大距离与最小距离
2 2

a 等于

B.1

C.0

D. ?1

的差是 A.36 答案 C

( B. 18

) C. 6 2 D. 5 2

2 2 解析:圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 的圆心为(2,2),半径为 3 2 ,

| 2 ? 2 ? 14 | ?2 5 x ? y ? 14 ? 0 2 圆心到直线 的距离为 >3 2 ,
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ,选 C. 题型 6:圆的方程 6. (06 · 重 庆 ) 以 点 ( 2 , - 1 ) 为 圆 心 且 与 直 线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相 切 的 圆 的 方 程 为 ( ) A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2

答案 C 解析 r ?

|3 ? 2-4 ? 1)+5| (- 32+42

=3,故选 C.

4

? x ? 1 ? cos? ? y ? ?2 ? sin ? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 10.。 (08·福建)若直线 3x+4y+m=0 与圆 ?
的取值范围是 . 解析:将圆化成标准方程得

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,圆心 (1,?2) ,半径 r ? 1 . 直线与圆相离,

3 ? 1 ? 4 ? (?2) ? m


32 ? 4 2

?1
,∴

m?5 ? 5

,∴ m ? 0或m ? 10 .

题型 7:直线与圆的位置关系 7.(09?辽宁)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为
2


2

) B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

A. ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2 C.

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

答案 B 解析:圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半 径 2即可. 题型 8:圆与圆的位置关系
2 2 12. (07·山东)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的

圆的标准方程是_____ 答案 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

【解析】曲线化为

( x ? 6) ? ( y ? 6) ? 18 ,其圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为
2 2

d?

6?6?2 2

? 5 2.

所求的最小圆的圆心在直线

y ? x 上,其到直线的距离为 2 ,圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 .
【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时,应特别注意的几个方面:
(1)在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次要注意倾角的范围. (2)在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中 出现直线在两坐标轴上的“截距相等” “截距互为相反数” “在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的 截距的 m 倍(m>0) ”等时,采用截距式就会出现“零截距” ,从而丢解.此时最好采用点斜式或斜 截式求解. (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止由于“无斜率” ,从而造成丢解.如在求 过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,或讨论两直线的平行、垂直的
5

位置关系时,一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论. (4)有关圆的问题解答时,应注意利用圆的平面几何性质,如圆与直线相切、相交的性质,圆 与圆相切的性质,这样可以使问题简化. (5)对独特的数学方法——坐标法要引起足够重视.要注意学习如何借助于坐标系,用代数方 法来研究几何问题,体会这种数形结合的思想. (6)首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代 数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析 几何教学的始终.

典型例题
1.(2004 年湖北,文 2)已知点 M1(6,2)和 M2(1,7) ,直线 y=mx-7 与线段 M1M2 的交点 M 分有向线段 M1M2 的比为 3∶2,则 m 的值为 A.-

3 2

B.-

2 3

C.

1 4

D.4

3 3 6? ?7 3 2 =3,y= 2 解析:设 M(x,y) ,点 M 分 M1M2 所成比为λ = . 得 x= =5. 代入 y=mx 3 3 2 1? 1? 2 2 6?
-7,得 m=4. 答案:D 2.(2003 年辽宁)在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是
y y

O

x

O

x

A
y y

B

O

x

O

x

C

D

解:根据 a 的符号和表示直线的位置特征,显见 C 正确,因为当 a<0 时,y=ax 表示过原点且下 降的直线,y=x+a 表示纵截距小于零且上升的直线.故选 C. 答案:C 3.(2005 年春季北京,6)直线 x+ 3 y-2=0 被圆(x-1)2+y2=1 所截得的线段的长为 A.1 B. 2 C. 3 D.2

解析:圆心(1,0) ,r=1 到直线 x+ 3 y-2=0 的距离 d=

|1 ? 0 ? 2 | 1 ? ( 3)
2 2

=

3 1 1 . 则 弦长= .∴弦 2 2 2

长为 3 .
6

答案:C 4.(2004 年湖北,4)圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案:B 5.(2004 年天津,理 7)若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方 程是 A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 解:由(x-1)2+y2=25 知圆心为 Q(1,0).据 kQP·kAB=-1, ∴kAB=-

1 k QP

=1(其中 kQP=

?1? 0 =-1). 2 ?1

∴AB 的方程为 y=(x-2)-1=x-3,即 x-y-3=0. 答案:A 6. 已 知 两 圆 x ? y ? 10 和 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 20 相 交 于 A, B 两 点 , 则 直 线 AB 的 方 程
2 2 2 2



. 答案: x ? 3 y ? 0 7.圆 x ? y ? 2x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(
2 2



( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
A.
2 2

1 2

( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
B.
2 2

1 2

C. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2 答案 C 8 是 . 圆 心 . 为

D. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2

(11) ,







线

x? y ? 4















( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2
?x ? y ? 1 ? ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ?

9.若 x,y 满足约束条件 则 a 的取值范围是 (A)( ?1 , ) 2

,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值, (C) (?4, 0] (D) (?2, 4)
y I 4 I1 3 2

(B)( ?4 , ) 2

G1

B1 答案:B 解析:根据图像判断,当 a=0 时,显然成立;当 a>0 时,直线 ax+2y-z=0 的斜率 k=-a/2>kAC= -1,a<2;当 a<0 时,k=-a/2<kAB=2,a>-4,综合得 a 的取值范围是

F1

( ?4 ,2 )
-2 -1

1 0 1 2 3 4 G x

R D1 S H1

7
C1

9. (2008 全国 2,11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点 在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( A.3 B.2 C. ? )

1 3

D. ?

1 2

10.(2010 福建,8)设不等式组

所表示的平面区域是 ? ,平面区域 ?2 与 ? 关于 1 1

直线 3x-4y-9 对称。对于 ? 中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B,∣AB∣的最小值等于 1 A.

28 5

B. 4

C.

12 5

D. 2

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 11. (2010 浙江,7)若实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? m y ? 1 ? 0, ?
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2

12. (2009 安徽 7)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部 ? 3
?3 x ? y ? 4 ?

?x ? 0

4

分,则 k 的值是 (A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

? 2 x ? y ? 4, x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y 13. (2009 宁夏海南 6)设 ? ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域,如右图,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z=0,画出 y=- x 的图象,当它的平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为:z=2,无最大值,故选.B

8

22. (2009, 上海, 已知双曲线 C 的中心是原点, 22) 右焦点为 F 设过点 A (?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 。 (1) 求双曲线 C 的方程;

?

3, , 0 一条渐近线 m: x+ 2 y ? 0 ,

?

v

(2) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值; (3) 证明:当 k ?

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2
2 2

【解析】 (1)设双曲线 C 的方程为 x ? 2 y ? ? (? ? 0)

?? ?

?
2

? ,解 ? ? 2 双曲线 C 的方程为 3

x2 ? y2 ? 1 2
由题意,得

(2)直线 l : kx ? y ? 3 2k ? 0 ,直线 a : kx ? y ? 0

| 3 2k | 1? k 2

? 6 ,解得 k ? ?

2 2

(3) 【证法一】设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2|k| 1? k
2

,当k ?

2 时, d ? 6 又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0 ? 2
双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。故在

双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,?

双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 【证法二】假设双曲线 C 右支上存在点 Q( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? | kx0 ? y0 ? 3 2k ? 6 (1) ? 则? 1? k 2 ? 2 2 (2) ? x0 ? 2 y0 ? 2
2 由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k

设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ,当 k ?

2 时, t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 0 ; 2

t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 6 ?

2k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? k 2

?0

9

2 将 y0 ? kx0 ? t 代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t 2 ? 1) ? 0 ? k ?

2 ,t ? 0 , 2

?1 ? 2k 2 ? 0, ? 4kt ? 0, ? 2(t 2 ? 1) ? 0

? 方程 (*) 不存在正根,即假设不成立,

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6

10

练习题 一.选择题
1. (09·湖南重点中学联考)过定点 P ? 2,1? 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正向于 A、B 两点, 若使△ABC(O 为坐标原点)的面积最小,则 l 的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 3 y ? 5 ? 0 ( ) D. x ? 2 y ? 4 ? 0

C. 2 x ? y ? 5 ? 0

2. (09·湖北重点中学联考)若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 ( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 3.(09·陕西)过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为(
2 2




A. 3

B.2

C. 6

D.2 3

4.(09·宁夏海南)已知圆 C1 :( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 则圆 C2 的方程为
2

(
2

) B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

2 2 5.(09·重庆)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为





A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 6.(09·重庆)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2





B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2 2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2 2

7. (08·湖北)过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 ( ) A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条

2 2 8. (08·北京)过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5) ? ( y ?1) ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线 l1,l2 关

于 y ? x 对称时,它们之间的夹角为 A. 30
?

( C. 60
?


?

B. 45

?

D. 90

11

二.填空题
9 . 07 · 上 海 ) 已 知 l1 : 2 x ? my? 1 ? 0与 l2 : y ? 3x ? 1 , 若 两 直 线 平 行 , 则 m 的 值 为 ( ____________. 10.(08·天津)已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称.直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与 圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为____________. 11.(09·四川)若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点, 且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是
w

.

12.(09·全国)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为

2 2 ,则 m 的倾斜角可以是: ① 15?


② 30

?

③ 45

?

④ 60 ⑤ 75

?

?

其中正确答案的序号

.(写出所有正确答案的序号)

13.(09·天津)若圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3 ,则 a=___________ . 14. (09·辽宁)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则 圆 C 的方程为_____________. 三.解答题 15. (09· 广西重点中学第一次联考) 设直线 l 过点 A (2, , 4) 它被平行线 x–y +1=0 与 x-y-l=0 所截得的线段的中点在直线 x+2y-3=0 上,求直线 l 的方程.

16. (08·北京)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,对角线 BD 所在直线的
2 2

斜率为 1.

1) (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD
?

面积的最大值. 17. (08·江苏)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? x ? R ? 的图象与两
2

坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.

12

参考答案
一.选择题 1. 【答案】D 【解析】由题设,可知 S ?ABC ?

1 2 1 ab ,且 ? ? 1 , 2 a b

∴ ab ? a ? 2b ? 2 a ? 2b ? 2 2 ? ab ? ab ? 2 2 ? ab ? 8. 当且仅当 ?

?a ? 2b ?a ? 4 x y 时, ab ? 8 .∴ l 的方程为: ? ? 1 ? x ? 2 y ? 4 ? 0. ∴ ?? 4 2 ?2b ? a ? ab ?b ? 2

应选D. 2. 【答案】A 【解析】由(x-1)2+y2=25 知圆心为 Q(1,0).据 kQP·AB=-1, k ∴ AB=- k

1 k QP

=1(其中 kQP=

?1? 0 =-1). 2 ?1

∴ 的方程为 y=(x-2)-1=x-3, AB 即 x-y-3=0.∴ 应选 A. 3. 【答案】D 【解析】直线方程 y ? 3x ,圆的方程为: x2 ? ( y ? 2)2 ? 4

? 圆心 (0, 2) 到直线的距离 d ?

3?0 ? 2 ( 3)2 ? (?1)2

? 1 ,由垂径定理知所求弦长为

d * ? 2 22 ?12 ? 2 3 ,选 D.
4.【答案】B

? a ?1 b ?1 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ? 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? , ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?
解得 ?

?a ? 2 ,对称圆的半径不变,为 1. ?b ? ?2

5.【答案】B 【解析】圆心 (0, 0) 为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

1 2 , ? 2 2

而0 ? 6.【答案】A

2 ? 1 ,选 B. 2

2 【解法】设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,

13

故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1. 7. 【答案】C 【解析】由已知得圆心为 P(-1,2),半径为 13,显然过 A 点的弦长中最长的是直径,此时只有一 条,其长度为 26,过 A 点的弦长中最短的是过 A 点且垂直于线段 PA 的弦,也只有一条,其长度为 10(PA 的长为 12,弦长=2 132 ? 122 =10),而其它的弦可以看成是绕 A 点不间断旋转而成的,并 且除了最长与最短的外,均有两条件弦关于过 A 点的直径对称,所以所求的弦共有 2(26-10-1) +2=32.故选 C. 8. 【答案】C 【解析】此圆的圆心为 C(5,1) ,半径

r ? 2 .设直线 l : y ? x 上的点 P 符合要求,连结 PC,则由题意知 PC ? l ,
又 PC ?

5 ?1 2

? 2 2.

设 l2 与⊙ C 切于点 A,连结 AC,则 AC ?

2 .在 Rt ?PAC 中,

AC PC

?

1 ,∴ ?APC ? 30? , 2

∴l1 与 l2 的夹角为 60°. 故选 C. 二.填空题 9. 【答案】 ?

2 3 2 m 1 2 ? ? ?m?? . 【解析】 3 ?1 ?1 3

10.【答案】 x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 . 【解析】圆 C 的圆心与 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 . 设 AB 中点为 M,连结 CM、CA,在三角形 CMA 中
CM ? 3 ? 0 ? 4 ? (?1) ? 11 5
2 2

? 3,

又 | AM |? 3, ? R 2 ? CM ? MA ? 32 ? 32 ? 18,
故圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? 18.
2 2

11.【答案】4 【解析】由题知 O1 (0,0), O2 (m,0) ,
14

且 5 ?| m |? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 , 所以有 m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ∴ AB ? 2 ? 12.【答案】①或⑤ 【解析】两平行线间的距离为 d ?

5 ? 20 ? 4. 5

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o , l 1 的倾斜角

为 45 , 所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 .
o 0 0 o 0 0

o

13.【答案】1 【解析】由知 x2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0 的半径为 6 ? a2 ,

6 ? a 2 ? (?a ? 1) 2 ? ( 3 ) 2 解之得 a ? 1 .
14. 【答案】 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 三.解答题 15. 【答案】3x-y-2=0 【解析】由几何的基本的性质,被两平行线所截得的线段的中点一定在 y=x 上,将 x+2y-3=0 与 y=x 联立构成方程组解得交点的坐标为(1,1)点,又由直线 l 过点 A(2,4)由两点式得直线 l 的 方程为:3x-y-2=0. 16. 【解析】 (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方 程 为 y ? x ? 1 . 因 为 四 边 形 ABCD 为 菱 形 , 所 以 AC ? BD . 于 是 可 设 直 线 AC 的 方 程 为

y ? ?x ? n .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 由? 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 . ? y ? ?x ? n
因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,
2

解得 ?

4 3 4 3 ?n? . 3 3

设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) , (x

15

则 x1 ? x2 ?

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4 n . 2

所以 y1 ? y2 ?

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知, 点?

? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?
n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 , 即 x ? y ? 2 ? 0. (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形, 且 ?ABC ? 60 ,
?

所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2
2 2

?3n2 ? 16 由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2
2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ?n? ?. ? 4 3 3 ? ? ?
所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 17. 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ;令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,
2

由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0. (Ⅱ)设所求圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2

2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 .
2

这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,
2

故 D=2,F= b .
16

令 x =0 得 y 2 ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1. 所以圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程, 左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0,所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .
2 2

17



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