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材料力学II-能量法的应用补充


材料力学II

能量法的应用 LT
2013.08

能量法的应用
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能量法研究梁的横向剪切效应 能量法研究杆件的冲击应力 能量法研究压杆的临界载荷 能量法研究梁柱纵横弯曲变形与应力计 算等问题 此外,另一重要应用为求解静不定问题。

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

梁的横向剪切效应

压杆的临界载荷-能量法应用
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平衡的三种形式:稳定平衡、不稳定平 衡和随遇平衡。

压杆的临界载荷

压杆的临界载荷
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稳定性判定准则: 根据Dirichlet 定理,物体的平衡位置上其势能 Π具有极小值或极大值。若Π为极小,则平衡是 稳定的。如果给物体一微小干扰,则新的临近 位置的势能与原始状态势能的差值ΔΠ>0,一 旦去除干扰,物体必然要回复到势能极小的最 低位置。反之,若Π为极大,则平衡是不稳定 的。物体受干扰后ΔΠ<0,去除干扰,物体的 位置不能复原,将继续向势能小的方向离去。

压杆的临界载荷
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若ΔΠ>0,原始状态ΔΠ=min,属于稳定 平衡; 若ΔΠ<0,原始状态ΔΠ=max,属于不稳 定平衡; 若ΔΠ=0,势能不变,属于随遇平衡。 平衡相关物理概念从数学观点看可以归 结为寻求势能函数的极小值和极大值的 微分或变分问题。

压杆的临界载荷
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两类失稳形式: 弹性体的平衡问题,其稳定性取决于结 构的几何构造、约束条件和加载方式等 因素。一般归结为两类失稳形式。 (1)分支点失稳问题; (2)极值点失稳问题。

压杆的临界载荷——分支点失稳问题
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以中心受压理想等直杆件为例。

P1< Pcr时,为稳定直线平衡状态。

压杆的临界载荷
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以中点挠度f为横坐标,载荷P为纵坐标。则纵 轴上(f=0)任一点P1表示一种直线平衡状态。 OA线称为原始平衡路径。载荷超过临界载荷, P2>Pcr时,压杆可能处于直线平衡状态,也可 能处于弯曲平衡状态,但直线状态是不稳定的, 若给以干扰,压杆则不能回复直线构形而将继 续弯曲直到图示B点,此时挠度为f2。曲线AB 称为第二平衡路径。A点称为分支点或分叉点 (bifurcation point)。

压杆的临界载荷
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A点它是原始平衡路径与第二平衡路径的交点, 此点相对应的载荷则为临界载荷Pcr,此时的平 衡状态则为临界状态。 到达临界状态之前的平衡状态称为前屈曲平衡 状态(Pre-buckling equilibrium configuration); 而超过临界状态之后的平衡状态则称为后屈曲 平衡状态(Post-buckling equilibrium configuration)。

压杆的临界载荷
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分支点A处第二路径的切线为水平,因此, 在一阶无穷小的邻域内,挠度为不定值, 也即载荷保持常数不变而压杆可以有任 意微小弯曲的平衡形式。此即所谓的随 遇平衡概念。

压杆的临界载荷
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变换横坐标为压杆缩短变形量Δ,相应图 形如右图所示。

压杆的临界载荷——极值点失稳问题
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某些变形体系不存在分支点,此时不能用平衡 形式发生分支现象来定义失稳特征。但这类系 统所受载荷与变形的关系曲线常具有极值点。 这类问题在实际工程中也是比较多的,如有缺 陷的压杆(制造工艺缺陷,加载装置偏差等) 或承受偏心载荷的杆件。杆件自始至终都处于 弯曲平衡状态,更大可能是出现局部塑形变形, 以致曲线出现极值点。载荷达到极大值,呈现 不稳定现象。此极限承载能力也定义为临界载 荷Pcr。

压杆的临界载荷——极值点失稳问题

压杆的临界载荷——极值点失稳问题
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曲线OA部分为稳定平衡,极值点以后部 分为不稳定平衡。A点为临界状态。 对于受轴向压力P作用的扁锥,力P与轴 向位移间的关系如图b所示。不仅存在相 对极大值A点,还存在相对极小值B点。 这类无分支点的稳定问题也称为跳跃 (snap)问题。

压杆的临界载荷——极值点失稳问题

压杆的临界载荷
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? ? ?

稳定性问题研究经典方法主要有四种: 静力平衡法(Euler欧拉方法); 能量法(Timoshenko铁摩辛柯法); 缺陷法; 振动法。

压杆的临界载荷
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静力平衡法就是从平衡状态来研究杆件 的屈曲特征,即研究直线形式之外的弯 曲平衡形式。就是研究载荷达到多大时, 弹性系统可以发生不同的平衡状态,即 求解弹性系统的平衡路径(曲线)的分 支点所对应的载荷值(临界载荷)。材 料力学I中已经学习过了。

压杆的临界载荷
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对于弹性系统可以沿用刚体平衡稳定性的 能量判据。当压杆收到微小干扰后。观察 其能量变化情况。随着杆件的弯曲变形, 应变能的增量为U,同时载荷下降,位能 的增量为V(注意:由于位能实际上是减 少的,所以V为负值),则总势能的增量 为ΔΠ=U+V。当载荷P低于某特定数值时, ΔΠ总为正定,即ΔΠ>0,则压杆的直线平 衡形式是稳定的。

压杆的临界载荷
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当载荷增大超过一定数值后,ΔΠ转为负定,即 ΔΠ<0,则系统的直线平衡形式是不稳定的。 当载荷达到临界值Pcr时,施加微小干扰而总势 能不变化,即ΔΠ=0,此时压杆处于随遇平衡, 即原来的直线平衡将由稳定过渡到不稳定,此 时处于临界状态。能量法求解稳定性问题就是 研究该临界状态下的载荷确定方法。

压杆的临界载荷
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缺陷法: 缺陷法认为完善而无缺陷的理想中心受压直杆是不 存在的。原始材料缺陷,杆件具有初始曲率,偏心载 荷等因素都会使杆件开始受力时即产生弯曲变形,弯 曲程度当然要看缺陷大小、严重程度而定。一般情况 下缺陷总是相对很小,开始阶段载荷不大时的弯曲变 形并不显著,只有当载荷接近理想无缺陷系统的临界 值时,变形才迅速增大,藉此可以确定其失稳条件。 缺陷法就是求解具有初始缺陷的弹性系统的变形无限 增大时的载荷值。

压杆的临界载荷
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振动法: 振动法是以动力学观点研究压杆稳定问题。当压杆在 给定压力作用下,施加一定的初始扰动之后,必将产生 自由振动。如果振动随时间的增加是收敛的,则压杆是 稳定的。所谓收敛是指振动具有一定的频率和振幅,考 虑到阻尼,振动必将逐渐衰减,经过一段时间后压杆仍 将恢复到初始的直线状态。如果压力超过一定数值,杆 件的振动发散,则压杆为不稳定的。所谓发散就是指振 动的振幅将至无限增大。振动法所解决的问题是求弹性 系统自由振动开始发散时的载荷值。

压杆的临界载荷
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对于载荷、支撑方式或截面变化比较复杂的压 杆,材料力学I所述方法计算临界载荷很不方便。 这类问题宜采用能量法求解。 下面研究能量法分析压杆稳定问题的过程。

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压杆的临界载荷
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临界载荷作用下,压杆具有两种平衡形式:直 线形式与微弯形式。 当压杆处于临界状态并由直线形式转入到微弯 形式的过程中,由于压杆始终处于平衡状态, 轴向压力在轴向位移上所作之功Δ W(即前述 减少的位能)等于压杆因弯曲变形所增加的应 变能Δ Vε ,即临界状态的能量特征为 Δ W=Δ Vε (1)

? ?

设压杆在微弯平衡时的挠曲线方程为 w=w(x)

?

载荷作用点因弯曲变形引起的轴向位移, 也称为曲率缩短,为λ。

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则当压杆由直线形式转入到微弯形式的 过程中,压杆增加的应变能为
M ( x) 2 ?V? ? dx l 2 EI

?

(2)

?

或表达为
1 2 ?V? ? ? EIw' ' dx 2 l
(3)

?

而轴向载荷Fcr所作之功为

?

ΔW=Fcrλ

易见,轴向位移λ等于挠曲线的总长AB’弧与其投影之差,即

? ? ( AB' )? | AB'|? ? (ds ? dx)
l

(a)

?

由图易见, (级数展开近似计算 )
2 2 2

1 2 ds ? (dx) ? (dw) ? 1 ? w' dx ? (1 ? w' )dx 2
?

将其代入(a)式得

1 ? ? ? w'2 dx 2 l

(4)

?

而载荷Fcr所作之功为

Fcr 2 ?W ? w' dx ?l 2
?

将该式与(3)式代入(1)式得压杆的临界载荷为

Fcr ?

EIw' '2 dx ?
l

? w' dx
2 l

(5)

一旦获得挠曲线方程w(x) ,从上式即可求出压杆的临 界载荷。

?

一般情况下,挠曲线方程为未知。通常 只能根据压杆的位移边界条件,假设一 适当的挠曲线方程进行求解。显然由此 求得的临界载荷一般为近似解而非精确 解。但实践证明,只要挠曲线方程选择 适当,所得解答仍然是足够精确的。

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(5)式为端部承压细长杆临界载荷计算的一般公式,它 适用于等截面杆、也适用于变截面杆。对于其他非端部 承压的细长压杆,临界载荷同样可以利用关系式(1)确 定。 推导(5)式时应变能计算采用的是基于变形计算公式 (3),也可以采用基于弯矩的应变能计算公式(2)。
M ( x) 2 dx EIw' ' 2 dx Fcr ? l ? l EI w' 2 dx w' 2 dx

?

?

?

?

l

?

l

?

?

例 1 试用能量法确定图示两端铰支细长压杆的临界载 荷,设弯曲刚度EI为常数。 解:假设压杆微弯平衡时的挠曲线方程为

w ? a sin

?x
l

(a)

式中,a代表压杆中点挠度。显然上述方程满足位移边界条件: w(0)=0,w(l) =0。

?

将(a)式代入到公式(5)可得临界载荷为

a? 2 ?x 2 2 EIw' ' dx ?l EI (? 2 sin ) dx ? 2 EI ? l l Fcr ? l ? ? 2 2 a? ?x 2 l w' dx ?l ( cos ) dx ?l l l
?

所得解答与精确解相同。之所以如此,是因为 假设的挠曲线方程就是真实的挠曲线方程。

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例 2 如图所示细长 压杆,一端固定、另 一端自由,承受集度 为q的轴向均布载荷 作用。试用能量法确 定载荷q的临界值qcr。

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解:解法一 设压杆微弯平衡时的挠曲线方程为
w ? f (1 ? cos

?x
2l

)

(a)

式中,f代表压杆自由端挠度。显然上述方程满足位移 边界条件:w(0)=0,w’(0) =0。

?

由(4)式和(a)式可求出当压杆微弯时,横截面x的 轴向位移为

1 x 2 ?2f 2 l ?x ? ( x) ? ? w' dx ? ( x ? sin ) 2 2 0 ? l 16l
?

此时载荷qcr在弯曲变形过程中所作之功为

qcr f 2 ? 2 ?W ? ? ? ( x)qcr dx ? ( ? 1) 0 8 4
l

(b)

?

由(3)式和(a)式可求出当压杆微弯时,压 杆增加的应变能力为

1 EI? f 2 ?V? ? ? EIw' ' dx ? 3 l 2 64l
4
?

2

(c)

将(b)和(c)式代入(1)式,即应用能量 原理可得压杆的临界载荷为

8.30 EI qcr ? 3 l

?

同一问题精确解为

7.83 EI qcr ? 3 l
?

近似解与精确解的二者误差为6%。

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解法二 如图所示,设截面ξ处的挠度为η,则截 面x处的弯矩为

M ( x) ? ? (? ? w)qcr d?
x

l

(d)

将(a)式知ξ处的挠度η为

? ? f (1 ? cos

??
2l

)

?

代入(d)式并积分后可得

M ( x) ? fq cr [(l ? x) cos
?

?x
2l

?

2l

?

(1 ? sin

?x
2l

)]

将上述弯曲表达式代入应变能计算式(2)可 得压杆应变能增量为
2 f 2 qcr l 3 1 9 32 M ( x) 2 ?V? ? dx ? ( ? 2 ? 3) l 2 EI 3EI 6 ? ?

?

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将该式与式(b)代入(1)式,即应用 能量原理可得临界载荷

7.89 EI qcr ? 3 l
?

与精确解相比,误差仅有0.77%。

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讨论: 解法二计算精度明显高于解法一。这是因为解 法一是通过变形计算应变能增量,而解法二则 是通过弯矩计算应变能力增量。前者计算精度 取决于w” ,而后者计算精度取决于w。一般情 况下,所设挠度w精度均高于w” ,因此,解法 二计算临界载荷精确度更高一些。

静力平 衡法求 解轴向 均匀分 布载荷 作用时 的失稳 临界载 荷

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一端固定,一端自由
(ql) cr ? 7.837EI l2

?

两端铰支
(ql) cr ? 18.569EI l2

?

两端固定
(ql) cr ? 74.629EI l2

几种经典方法的比较
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四种方法求解欧拉压杆问题,所给出的临界载荷是相 同的。有些结论有差异。 静力平衡法只能给出当P=P1、P2、…、Pn时压杆可能 发生屈曲现象,至于哪种最可能并未给出选择条件。 同时指出在P≠P1、P2、…、Pn时,屈曲的变形形式根 本不能平衡,因此无法回答直线形式的平衡是不是稳 定的问题。 缺陷法给出的结论是当P=P1、P2、…、Pn时压杆将发 生无限变形,所以是不稳定的。但对于P在各值之间 时压杆是否稳定也不能给出解释。

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能量法与振动法则指出P>P1之后,无论P 值多大,压杆直线形式的平衡都是不稳 定的。这个结论和事实是完全一致的。

纵横弯曲

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前述方法为基于挠度近似表达式采用能 量法求解纵横弯曲问题。 下面简单介绍解析法过程。 详细内容可参见《铁摩辛柯著材料力 学——高等理论和问题》

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答案:

2? EI qcr ? 3 l
2

答案:

2? 2 EI Fcr ? 3l 2 (a)

(b)

1.82? 2 EI Fcr ? l2

答案:

9 EI 0 Fcr ? 2 4l


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