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《三角函数》高考真题文科总结及答案


2015《三角函数》高考真题总结
1.(2015·四川卷 5)下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是( π π A.y=sin (2x+2) B.y=cos (2x+2) C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x 2.(2015·陕西卷 9)设 f(x)=x-sin x,则 f(x)( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C

.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 3. (2015·北京卷 3)下列函数中为偶函数的是( ) 2 2 A.y=x sin xB.y=x cos xC.y=|ln x| D.y=2-x 4. (2015· 安徽卷 4)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=ln xB.y=x2+1 C.y=sin x D.y=cos x ) )

5.(2015· 广东卷 3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos x 1 C.y=2x+2xD.y=x2+sin x 6.(2015· 广东卷 5)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 3 若 a=2,c=2 3,cos A= 2 且 b<c,则 b=( ) A.3 B.2 2 C.2 D. 3 5 7. (2015· 福建卷 6)若 sin α=-13,且 α 为第四象限角,则 tan α 的 值等于( ) 12 12 5 5 A. 5 B.- 5 C.12 D.-12 1 1 8. (2015· 重庆卷 6)若 tan α=3,tan(α+β)=2,则 tan β=( 1 1 5 5 A.7B.6C.7 D.6 )

π 9.(2015·山东卷 4)要得到函数 y=sin(4x-3)的图象,只需将函数 y =sin 4x 的图象( ) π π A.向左平移12个单位 B.向右平移12个单位 π π C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 10.函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区 间为( )(2015· 新课标 8)

1 3? ? A.?kπ-4,kπ+4?,k∈Z

? ? 1 3? ? B.?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z ? ? 1 3? ? C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? 1 3? ? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ?

1 11.(2015· 江苏卷 8)已知 tan α=-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值为 ________. 2π 12.(2015· 北京卷 11)在△ABC 中,a=3,b= 6,∠A= 3 ,则∠B =________. 13.(2015· 安徽卷 12)在△ABC 中,AB= 6,∠A=75° ,∠B=45° , 则 AC=________.

14.(2015· 福建卷 14)若△ABC 中,AC= 3,A=45° ,C=75° ,则 BC

=___________. 15.(2015· 四川卷 13)已知 sin α+2cos α=0,则 2sin αcos α-cos2α 的值是________. 16.(2015· 重庆卷 13)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 1 c,且 a=2,cos C=-4,3sin A=2sin B,则 c=__________. 17.(2015· 浙江卷 11)函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周期是 ________,最小值是________. π? ? 18.(2015· 湖北卷 13) 函数 f(x) = 2sin xsin ?x+2? - x2 的零点个数为
? ?

__________ 19.(2015· 湖南卷 15)已知 ω>0,在函数 y=2sin ωx 与 y=2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为 2 3 ,则 ω = ________. 20.(2015·陕西卷 17)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c.向量 m=(a, 3b)与 n=(cos A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积.

21.(2015· 浙江卷 16)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, π b,c.已知 tan(4+A)=2. sin 2A (1)求 的值; sin 2A+cos2A π (2)若 B=4,a=3,求△ABC 的面积.

22.(2015· 江苏卷 15)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60° . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值.

23.(2015· 广东卷 16)已知 tan α=2. π? ? (1)求 tan?α+4?的值; ? ? sin 2α (2)求 2 的值. sin α+sin αcos α-cos 2α-1

24.(2015· 湖南卷 17)设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a=btan A. (1)证明:sin B=cos A; 3 (2)若 sin C-sin Acos B=4,且 B 为钝角,求 A,B,C.

25.(2015· 新课标 I 卷 17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的 对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90° ,且 a= 2,求△ABC 的面积.

26.(2015·天津卷 16)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, 1 b,c.已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-4. (1)求 a 和 sin C 的值; π? ? (2)求 cos?2A+6?的值. ? ?

27. (2015· 新课标Ⅱ卷 17)△ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分∠BAC, BD=2DC. sin B (1)求sin C; (2)若∠BAC=60° ,求∠B.

28. (2015·山东卷 17) △ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, 3 6 c.已知 cos B= 3 ,sin(A+B)= 9 ,ac=2 3, 求 sin A 和 c 的值.

29.(2015· 四川卷 19)已知 A,B,C 为△ABC 的内角,tan A,tan B 是 关于 x 的方程 x2+ 3px-p+1=0(p∈R)的两个实根. (1) 求 C 的大小; (2) 若 AB=3,AC= 6,求 p 的值.

30.(2015· 安徽卷 16)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.

x 31. (2015·北京卷 15)已知函数 f(x)=sin x-2 3sin22. (1)求 f(x)的最小正周期; 2π (2)求 f(x)在区间[0, 3 ]上的最小值.

1 32.(2015· 重庆卷 18)已知函数 f(x)=2sin 2x- 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不 ?π ? 变,得到函数 g(x)的图象,当 x∈?2,π?时,求 g(x)的值域. ? ?

33 . (2015· 湖北卷 18) 某同学用“五点法”画函数 f(x) = Asin(ωx + π? ? φ)?ω>0,|φ|<2?在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据, ? ? 如下表: π 3π 0 π 2π ωx+φ 2 2 π 5π x 3 6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接 ........... 写出函数 f(x)的解析式; π (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动6个单位长度,得到 y=g(x) 的图象,求 y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心.

x x x 34.(2015· 福建卷 21)已知函数 f(x)=10 3sin2cos2+10cos22. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移6个单位长度,再向下平移 a(a>0)个单 位长度后得到函数 g(x)的图象,且函数 g(x)的最大值为 2. ①求函数 g(x)的解析式; ②证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)>0.

2015《三角函数》高考真题答案
1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】D ,及 ,可得 5.【答案】D 6.【解析】由余弦定理得: 7.【答案】D【解析】由 sin ? ? ? 则 tan ? ?

sin ? 5 ?? cos ? 12

5 12 ,且 ? 为第四象限角,则 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , 13 13

1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 8.【答案】A【解析】 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? 2 3 ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 1 ? 1 7 2 3
9. 【答案】B【解析】 因为 y ? sin(4 x ?

?
3

) ? sin 4( x ?

?
12

所以, 只需要将函数 y ? sin 4 x ),

的图象向右平移 10.【答案】D

?
12

个单位,故选 B .

1 ?2 tan(? ? ? ) ? tan ? ?7 ? 3. 11.【答案】3【解析】 tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 2 7

12. 【解析】 由正弦定理, 得

3 6 2 a b ? , 即 , 所以 sin B ? , 所以 ?B ? . ? ? 2 sin A sin B 4 3 sin B 2

13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知:

6 AC AB AC ? ? ? AC ? 2 ? ? ? ? ? sin 60 sin 45? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45
?

14.【答案】 2

【 解 析 】 由 题 意 得 B ? 1800 ? A ? C ? 600 . 由 正 弦 定 理 得

AC BC ,则 ? sin B sin A

BC ?

AC sin A , sin B

所以 BC ?

3? 3 2

2 2 ? 2.

15.【答案】-1 【解析】由已知可得,sinα=-2cosα,即 tanα=-2 2sinαcosα-cos2α=

2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ?4 ? 1 ? ? ? ?1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ? 1

16.【答案】4 【解析】由 3sin A = 2sin B 及正弦定理知: 3a ? 2b ,又因为 a ? 2 ,所以 b ? 2 , 由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 16 ,所以 c ? 4 ;

1 4

17.【答案】 ? ,

3? 2 2
1 1 ? cos 2 x 1 1 3 sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

【解析】 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ?

?

2 ? 3 3 2 2? . sin(2 x ? ) ? ,所以 T ? ? ? ; f ( x) min ? ? 2 4 2 2 2 2

18.【答案】2 19.【答案】 ? ?

?
2

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

1 ? 1 5? ( (k1? ? , 2),( (k2? ? , ? 2),k1,k2 ? Z ? , 距离最短的两个交点一定在同 ? 4 ? 4 2 1 5? ? 2 ? 2 一个周期内,? 2 3 ? 2 ( ? )? ( ? 2 ? 2) , ?? ? . ? 4 4 2 ?? ? 20.试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0

?

?

由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,

又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

3,

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c 2 ? 2c ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 , 故 ?ABC 面积为

?
3



1 3 3 . bc sin A ? 2 2

解法二:由正弦定理,得

7 sin

?
3

?

2 sin B

从而 sin B ?

21 7 2 7 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ? 故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?

?
3

)

? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14

所以 ?ABC 面积为 21.【答案】(1)

1 3 3 . ab sin C ? 2 2

2 ;(2) 9 5

试题解析:(1)由 tan( 所以

?

4

? A) ? 2 ,得 tan A ?

1 , 3

sin 2 A 2sin A cos A 2 tan A 2 ? ? ? . 2 2 sin 2 A ? cos A 2sin A cos A ? cos A 2 tan A ? 1 5

(2)由 tan A ?

10 3 10 1 可得, sin A ? . , cos A ? 10 10 3
,由正弦定理知: b ? 3 5 .

a ? 3, B ?

?
4

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

2 5 , 5

所以 S ?ABC ?

1 1 2 5 ab sin C ? ? 3 ? 3 5 ? ?9. 2 2 5
4 3 7

22.【答案】 (1) 7 ; (2 )

23.【答案】 (1)

; (2) .

4 ? tan ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ?3 ?? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 2 4 sin 2? (2) 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
(1) tan ? ? ?

? ?

??

tan ? ? tan

?

?
?

2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 1? ? 1
2
2

2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? tan ? ? 2 2? 2 ? 2 2 ?2?2
?1

24.【答案】 (I)略;(II) A ? 30 , B ? 120 , C ? 30 .
? ? ?

25.【答案】 (I)

1 (II)1 4

试题解析: (I)由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 由余弦定理可得 cos B = (II)由(1)知 b 2 = 2ac . 因为 B = 90°,由勾股定理得 a 2 + c 2 = b 2 . 故 a 2 + c 2 = 2ac ,得 c = a = 2 . 所以 DABC 的面积为 1.

a 2 + c2 - b2 1 = . 2ac 4

26.【答案】 (I)a=8, sin C ?

15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16 15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又 , 得 sin A ? 4 4 2
a c ,得 ? sin A sin C

试题解析( : I) △ABC 中,由 cos A ? ?

由 b ? c ? 2, 解得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 可得 a=8. 由

sin C ?

15 . 8

(2)

π? π π 3 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A ? 6 6 6 2 ? ?
15 ? 7 3 16

,

?

27.【解析】 (I)由正弦定理得

AD BD AD DC ? , ? , sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD sin ?B DC 1 ? ? .. sin ?C BD 2
?

因为 AD 平分 ? BAC,BD=2DC,所以
?

(II)因为 ?C ? 180 ? ? ?BAC ? ?B ? , ?BAC ? 60 , 所以 sin ?C ? sin ? ?BAC ? ?B ? ?

3 1 cos ?B ? sin ?B. 由(I)知 2sin ?B ? sin ?C , 2 2

所以 tan ?B ?

3 , ?B ? 30?. 3

28.【答案】

2 2 ,1. 3
3 6 ,得 sin B ? . 3 3 6 , 9 5 3 , 9 6 5 3 3 6 2 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 3

【解析】在 ?ABC 中,由 cos B ?

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ?

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ?

因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

c sin A a c ? 由 ? , 可得 a ? sin C sin A sin C

2 2 c 3 ? 2 3c ,又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 6 9

29.【解析】(Ⅰ)由已知,方程 x2+ 3 px-p+1=0 的判别式 △=( 3 p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0 所以 p≤-2 或 p≥

2 3

由韦达定理,有 tanA+tanB=- 3 p,tanAtanB=1-p 于是 1-tanAtanB=1-(1-p)=p≠0 从而 tan(A+B)=

tan A ? tan B ? 3 p ? ?? 3 1 ? tan A tan B p

所以 tanC=-tan(A+B)= 3 所以 C=60° (Ⅱ)由正弦定理,得

AC sin C 6 sin 600 2 ? ? sinB= AB 3 2
解得 B=45°或 B=135°(舍去) 于是 A=180°-B-C=75°

3 tan 45 ? tan 30 3 ? 2? 3 则 tanA=tan75°=tan(45°+30°)= ? 0 0 1 ? tan 45 tan 30 3 1? 3
0 0

1?

所以 p=-

1 1 (tanA+tanB)=- (2+ 3 +1)=-1- 3 3 3

30.【答案】 (Ⅰ) ? ; (Ⅱ)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0 【解析】 (Ⅰ)

f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T=

?
4

) ?1

2? =? . 2
2 sin( 2 x ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果, f ( x) ?

?
4

) ?1

? 5? ?[ , ] 2 4 4 4 ? 5? 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上的图象知, 4 4
当 x ? [0,

?

] 时, 2 x ?

?

时, f ( x) 取最大值 2 ? 1 ; 2 8 ? 5? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取最小值 0 . 4 4 4 当 2x ?

?

4

?

?

,即 x ?

?

综上, f ( x) 在 [0,

?

2

] 上的最大值为 2 ? 1 ,最小值为 0 .

31.解析(Ⅰ)∵ f ( x) = sin x + 3 cos x - 3 =2 sin ( x + ∴ f ( x) 的最小正周期为 2 ? .

? )- 3 3

2? ? ? ,∴ ? x ? ? ? . 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值. 3 3 2? 2? ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值为 f ( ) ? ? 3 . 3 3
(Ⅱ)∵ 0 ? x ?

32.【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

2+ 3 1- 3 2 - 3 , (Ⅱ) [ , ]. 2 2 2

试题解析:(1) f ( x) =

1 sin 2 x 2

1 3 3 cos 2 x = sin 2 x (1 + cos 2 x) 2 2

1 3 3 p 3 , = sin 2 x cos 2 x = sin(2 x - ) 2 2 2 3 2
因此 f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

2+ 3 . 2

(2)由条件可知: g( x) = sin( x 当 x? [

p 3 . )3 2

p p p 2p , p ] 时,有 x - ? [ , ] , 2 3 6 3 p 1 从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] , 3 2
那么 sin( x -

p 3 1- 3 2 - 3 的值域为 [ ), ]. 3 2 2 2

故 g( x) 在区间 [

1- 3 2 - 3 p , ]. , p ] 上的值域是 [ 2 2 2

33.【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据可得: A ? 5 ,

?
3

? ?? ?

?
2



5? 3? ,解得 ? ?? ? 6 2

? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表:
?x ? ?
x

π 6

0

π 2

π

3π 2



π 12
0

π 3
5

7π 12
0

5π 6
?5

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) .因 6 6 6 6

为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) ,k ? Z . 令 2 x ?

π kπ π 解得 x ? k ? Z .即 y ? g ( x) ? kπ , ? , 6 2 12

kπ π π 图象的对称中心为 ( ? ,) 0 , k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 2 12 12

34.【解析】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存在无穷多 个互不相同的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即 sin x0 ?

4 . 5



4 ? 4 3 ? 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 sin ? 0 ? . 5 3 5 2 4 . 5

由正弦函数的性质可知,当 x ? ??0 , ? ? ?0 ? 时,均有 sin x ? 因为 y ? sin x 的周期为 2? ,

所以当 x ? ? 2k? ? ?0 , 2k? ? ? ? ?0 ? ( k ? ? )时,均有 sin x ?

4 . 5

因为对任意的整数 k , ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ?

?
3

? 1,
4 . 亦 5

所以对任意的正整数 k , 都存在正整数 x0 ? (2k? ? ?0 , 2k? ? ? ? ?0 ) , 使得 sin x0 ? 即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 .


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