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【山东省新人教B版数学(理科)2012届高三单元测试15:选修2-1第一章《常用逻辑用语》


山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 15 选修 2-1 第一章《常用逻辑用语》
(本卷共 150 分,考试时间 120 分钟)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是 ( ) 2

2 A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a +b =0 2. “至多有三个”的否定为 ( ) A.至少有三个 B.至少有四个 C.有三个 D.有四个 3.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 p:肖像在这个盒 子里;银盒上写有命题 q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写有命题 r:肖像不在金盒里.p、 q、r 中有且只有一个是真命题,则肖像在 ( ) A.金盒里 B.银盒里 C.铅盒里 D.在哪个盒子里不能确定 4.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是 A. (?2,2) B. (?2,2] C. (??,2] D. (??,?2) ( )

5. “a 和 b 都不是偶数”的否定形式是 ( ) A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数 6.某食品的广告词为: “幸福的人们都拥有” ,初听起来,这似乎只是普通的赞美说词,然而 他的实际效果大哩,原来这句话的等价命题是 ( ) A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 C.拥有的人们不一定幸福 D.不拥有的人们不幸福 7.若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则 ( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C .p 真 q 假 D.p 假 q 假 8.条件 p: x ? 1 , y ? 1 ,条件 q: x ? y ? 2 , xy ? 1 ,则条件 p 是条件 q 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 9.2x2-5x-3<0 的一个必要不充分条件是 A.- B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件 ( C.-3<x< ) ( )

1 <x<3 2

B.-

1 <x<0 2

1 2

D.-1<x<6

10.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1.则原命题与其逆命题的真假情况 是 A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B” ; ( )

②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 12.若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为___ _____. 条

13. 已知 p, q 都是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件, 则s是q的 件,r 是 q 的 条件,p 是 s 的 条件.

14.设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的 三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)矩形的对角线相等且互相平分; (2)正偶数不是质数.

条件.

16. (12 分)写出由下述各命题构成的“p 或 q” , “p 且 q” , “非 p”形式的复合命题,并指出 所构成的这些复合命题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能被 3 整除; (2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形;

17. (12 分)给定两个命题,

P :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立;Q :关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数
根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18. (12 分)已知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那么 (1)s 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件?

19. (14 分)设 0<a, b, c<1,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不同时大于

1 . 4

20. (14 分)求证:关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根,且两根均小于 2 的充分但不必要条 件是 a≥2 且|b| ≤4..

参考答案

一、 1.D;解析:若 a2+b2=0,即 a=b=0 时,f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x) ∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的充分条件.又若 f(x)为奇函数即 f(-x)=-x|(-x)+a|+b= -(x|x+a|+b) ,则必有 a=b=0,即 a2+b2=0,∴a2+b2=0 是 f(x)为奇函数的必要条件. 2.B;提示:这是一个含有量词的命题的否定. 3.B;本题考查复合命题及真值表.解析:∵p=非 r,∴p 与 r 一真一假,而 p、q、r 中有且 只有一个真命题,∴q 必为假命题,∴非 q: “肖像在这个盒子里”为真命题,即:肖像在银 盒里.评述:本题考查充要条件的基本知识,难点在于周期概念的准确把握. 4.B;解析:注意二次项系数为零也可以. 5.A;解析:对“a 和 b 都不是偶数”的否定为“a 和 b 不都不是偶数” ,等价于“a 和 b 中至 少有一个是偶数” . 6.D;解析:该题考察的是互为逆否命题的真值相同,也就是在选项中找到该命题逆否命题. 7.B;解析:由“非 p”为真可得 p 为假,若同时“p 或 q”为真,则可得 q 必须为真.

0 0 , y ? 0.1 满足 q:x ? y ? 2 , 8. A; 解析: 由我们学习过的不等式的理论可得 p ? q , 但 x ?1 xy ? 1 ,但不满足 q,故选项为 B.
9.D;解析:由 2x2-5x-3<0,解得- 充分非必要条件,③C

1 <x<3,记为 P,则①P ? A,②B P,B 是 P 的 2
P,P D,

P,C 既不是 P 的充分条件,也不是 P 的必要条件,④D

D 是 P 的必要不充分条件. 10. A;提示:举例:a=1.2,b=0.3,则 a+b=1.5<2,∴逆命题为假. 二、 11.②④; 解析:本题是一道开放性题,考查四种命题间的关系及充要条件. ①A∩B=A ? A ? B 但不能得出 A B,∴①不正确; ②否命题为: “若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0” ,是真命题; ③逆命题为: “若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等” ,是假命题; ④原命题为真,而逆否命题与原命题是两个等价命题,∴逆否命题也为真命题. 12.平行四边形不一定是菱形;或至少有一个平行四边形不是菱形; 解析:本题考查复合命题“非 p”的形式,p: “平行四边形一定是菱形”是假命题,这里“一 定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”?若为“平行四边形一定不是菱形”仍为 假命题,与真值表相违,故原命题的“非 p”为“平行四边形不一定是菱形” ,是一个真命题. 第二种说法是命题是全称命题的简写形式,应用规则变化即可. 13.必要,充分,必要. 提示:画出箭头图. 14.必要不充分. 三、 15.本题考查四种命题间的关系. 解: (1)逆命题:若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(假命题) . 否命题:若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(假命题) . 逆否命题:若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形(真命题) . (2)逆命题:如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题) . 否命题:如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题) .

逆否命题:如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题) . 16.解: (1)根据真值表,复合命题可以写成简单形式: p 或 q:连续的三个整数的乘积能被 2 或能被 3 整除. p 且 q:连续的三个整数的乘积能被 2 且能被 3 整除. 非 p:存在连续的三个整数的乘积不能被 2 整除. ∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数,而有一个是 3 的倍数, ∴p 真,q 真,∴p 或 q 与 p 且 q 均为真,而非 p 为假. (2)根据真值表,只能用逻辑联结词联结两个命题,不能写成简单形式: p 或 q:对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且 q:对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非 p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假 q 假,∴p 或 q 与 p 且 q 均为假,而非 p 为真. 17.解:对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或?
2

?a ? 0 ?? ? 0

? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?
且 Q 不 正 确 , 有 0 ? a ? 4, 且a ?

1 ;如果 P 正确, 4

1 1 ? ? a ? 4 ;如果 Q 正确,且 P 不正确,有 4 4

a ? 0或a ? 4, 且a ?

1 1 ? ? a ? 0 .所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? . 4 ?4 ?

18.本题考查充要条件、充分条件、必要条件.对于这类问题,将语言叙述符号化,画出它 们的综合结构图,再给予判定. 解:p、q、r、s 的关系如图所示,由图可知

答案: (1)s 是 q 的充要条件 (2)r 是 q 的充要条件 (3)p 是 q 的必要条件

1 1 ? ? ?(1 ? a )b ? 4 ? (1 ? a )b ? 2 ? ? 1 1 ? ? ( 1 ? b ) c ? ? 19.证明:用反证法,假设 ? ? (1 ? b)c ? ,①+②+③得: 4 2 ? ? 1 1 ? ? ?(1 ? c)a ? 4 ? (1 ? c) a ? 2 ? ?
3 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a 3 ? (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ? ? ? ,左右矛盾, 2 2 2 2 2

故假设不成立,∴(1-a)b,(1-b)c, (1-c)a 不同时大于 20.解析:先证充分性,而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性:

1 . 4

?a ? 2 ?? ? a 2 ? 4 ? b, ?b ? 4 ? ? ? 4(a 2 ? b) ? 0,

∴方程有实数根 ①

?a ? 2 ?? 2a ? ?4 ?? ?? , ?b ? ?4 ?b ? ?4 ? ( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? ?2a ? 4 ? ?4 ? 4 ? ?8 ? 0, 而( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? b ? 4a ? 4 ? ?4 ? 8 ? 4 ? 8 ? 0, ?( x ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 0 ? x1 ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?? 1 ?? ?? 1 , ?( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? 0 ? x2 ? 2 ? 0 ? x2 ? 2
①、②知“a≥2 且|b|≤4” ? “方程有实数根,且两根均小于 2”. 再验证条件不必要: ∵方程 x2-x=0 的两根为 x1=0, x2=1,则方程的两根均小于 2,而 a=- ∴“方程的两根小于 2” ? “a≥2 且|b|≤4”. 综上,a≥2 且|b|≤4 是方程有实数根且两根均小于 2 的充分但不必要条件. 评析:充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念,在解答任何一个数学问题时都必须 准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性,还是充分且必要.对于证明题、 计算题等,往往只需满足命题条件的充分性,即由条件进行推理、演绎得出结论;而对于 求参数的范围,求不等式的解集,求函数的值域等许多问题,则必需保证推理的充要性.

1 <2, 2


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