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2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.2 综合法、分析法、反证法课件 文


12.2

综合法、分析法、反证法

-2-

考纲要求:1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解 分析法和综合法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程和 特点.

-3-

1.综合法与分析法

内容 综合法 从命题的条件出发,利用定 义

、公理、定理及运算法 则,通过演绎推理,一步一步 定义 地接近要证明的结论,直到 完成命题的证明.我们把这 样的思维方法称为综合法. 实质 由因导果 框图 P?Q1 → Q1?Q2 →… 表示 → Qn?Q 文字 因为……所以…… 语言 或由……得……

分析法 从求证的结论出发,一步一步 地探索保证前一个结论成立 的充分条件,直到归结为这个 命题的条件,或者归结为定 义、公理、定理等.我们把这 样的思维方法称为分析法. 执果索因 Q?P1 → P1?P2 →…→ 得到一 个明显成立的条件 要证……只需证…… 即证……

-4-

2.反证法 (1)反证法的定义:在假定命题结论反面成立的前提下,经过推理, 若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相 矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此 断定命题结论成立的证明方法叫反证法. (2)用反证法证题的步骤:①反设——作出否定结论的假设;②归 谬——进行推理,导出矛盾;③结论——否定假设,肯定结论.

-5-

1 2 3 4 5 6

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件. ( √ ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条 件. ( × ) (3)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾. ( × ) (4)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法展现解决问题 的过程. ( √ ) (5)证明不等式 √2 + √7 < √3 + √6最合适的方法是分析法. ( √ )

-6-

1 2 3 4 5 6

2.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θsin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”过程应用了 ( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法
关闭

因为证明过程是“从左往右”,即由条件?结论.故选B.
关闭

B 解析 答案

-7-

1 2 3 4 5 6

3.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个 实根”时,要做的假设是( ) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根

关闭

因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的

个数大于或等于1”,所以要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
A 解析

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答案

-8-

1 2 3 4 5 6

4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“已知a>b>c,且 a+b+c=0,求证 √ 2 - < √3a ”索的因应是( ) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
由 a>b>c,且 a+b+c=0 可得 b=-a-c,a>0,c<0. 要证 2 - < √3a,只要证(-a-c)2-ac<3a2, 即证 a2-ac+a2-c2>0, 即证 a(a-c)+(a+c)(a-c)>0, 即证 a(a-c)-b(a-c)>0, 即证(a-c)(a-b)>0. 故求证 2 - < √3a 索的因应是(a-c)(a-b)>0. C
解析

关闭

关闭

答案

-9-

1 2 3 4 5 6

5.(2015安徽亳州模拟)实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则 + + 的值( ) A.一定是正数 B.一定是负数 C.可能是0 D.正、负不确定

1

1

1

关闭

由 a+b+c= 0,abc>0 得 a,b,c 中必有两负一正 ,不妨设 a<0,b<0,c>0, 且|a|<|c|, 1 1 1 1 1 则 > ,从而- > .而 <0,
| |

B 所以 + + <0.


1

| | 1

1







关闭

解析

答案

-10-

1 2 3 4 5 6

6.在△ABC中,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c,若a,b,c三边 的倒数成等差数列,则∠ABC 90°.(填“>”“<”或“=”)

关闭

假设∠ABC<90°不成立,即 ∠ABC≥90° . 从而∠ABC 是 △ABC 的最大角 ,则 b 是 △ABC 的最大边, 即 b>a,b>c. 1 1 1 1 取倒数,得 > , > , 相加得 + > + = ,这与 + = 矛盾 . < ∠ABC≥90°不成立,即 ∠ABC<90°. 故
解析
1 1 1 1 2 1 1 2
关闭

答案

-11-

1 2 3 4 5 6

自测点评 1.分析法是执果索因,实际上是寻找使结论成立的充分条件;综合 法是由因导果,就是寻找已知的必要条件. 2.综合法和分析法都是直接证明的方法,反证法是间接证明的方 法. 3.用反证法证题时,首先否定结论,否定结论就是找出结论的反面 的情况.然后推出矛盾,矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者 假设等相矛盾.

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1综合法的应用 关闭 :(1)由 -m )Snn + 2man=m+ 3, (3-m)S +2ma =m+3(n∈N ).其 例证明 1设数列 {a(3 } 的前 项和为 S , 且 n n n n + 得(3-m) +1 +2m +1 =m+3, 中m为常数,且m≠-3. 两式相减,得(3+m) +1 =2man,m≠-3, (1)求证 :{an}2 是等比数列 ; +1 ∴ = +3. 3 (2)若数列{an}的公比为 q=f(m),数列{bn}满足 b1=a1,bn= f(bn-1)(n 2 又 m 为常数,且 m ≠ 3, ∴ { a n}是等比数列. 1 2 ∈N+ ,n≥ 求证 : 为等差数列 . (2) ∵2), b1=a 1=1,q=f (m)= +3,

∴当 n∈N+,且 n≥2 时,
bn=2f( - )=2 ·
1 1 3 3 2 -1

bnbn-1+3bn=3bn-1?

-1 +3 1

? ?
1 -1 1 3



= .
3

1



是首项为 1,公差为 的等差数列.
答案

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:哪些问题的证明适合用综合法? 解题心得:综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数 的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知 条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
关闭

对点训练1 (2015安徽淮南模拟)定义在x∈[0,1]上的函数f(x).若 x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x) 为理想函数.g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,如果是,请予以证 明;如果不是,请说明理由.

答案

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2分析法的应用 例2已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且a,b,c分别为角 1 1 3 A,B,C的对边,求证: + = .
+ + ++
关闭

证明 :要证 化简 ,得


1

+

+


1 +

=

3 + +

,即证

+ + +

+

+ + +

=3,

+

+

+

=1,

即 c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c), 所以只需证 c2+a2=b2+ac. 因为 △ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列 , 所以角 B=60°.所以 cos B=
2 + 2- 2 2

= .
2

1

所以 a2+c2-b2=ac.所以原式成立 .

答案

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:哪些问题的证明适合用分析法? 解题心得:分析法证明问题的适用范围:当已知条件与结论之间 的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时, 往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正 面不易推导时,常考虑用分析法.

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.

关闭

证明:要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,

只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0,
即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.

∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,

∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3反证法的应用 例3设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. 关闭 2 (1) 求证 :数列 {Sn}不是等比数列 . (1) 证明 :假设数列 {Sn}是等比数列 ,则2 =S1S3, 2 2 2 即 1 (1 +q ) =a · a · (1 +q+q ), 1 1 (2) 数列 {S } 是等差数列吗 ? 为什么 ? n 因为 a1≠0,所以 (1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾 , 所以数列 {Sn}不是等比数列 . (2)解 :当 q=1 时 ,Sn=na1,故 {Sn}是等差数列 ; 当 q≠1 时 ,{Sn}不是等差数列 .假设 {Sn}是等差数列 ,则 2S2=S1+S3, 即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾 . 综上 ,当 q=1 时 ,数列 {Sn}是等差数列 ; 当 q≠1 时 ,{Sn}不是等差数列 .
答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:反证法的适用范围及证题的关键是什么? 解题心得:反证法的适用范围及证题的关键 (1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否 定形式出现时,宜用反证法来证. (2)关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾, 与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.推导出的矛 盾必须是明显的.

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大 5 值为2,最小值为 - .
2

求证:a≠0,且



<2.


证明 :假设 a=0,或

≥2.

(1)当 a=0 时 ,由 a+c=0,得 f(x)=bx,显然 b≠0. 由题意得 f(x)=bx 在 [-1,1]上是单调函数 , 所以 f(x)的最大值为 |b|,最小值为 -|b|. 5 1 由已知条件 ,得 |b|+(-|b|)=2- =- , 这与 |b|+(-|b|)=0 相矛盾 ,所以 a≠0.
2 2

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)当



≥2 时 ,由二次函数的对称轴为 x=- ,
2



知 f(x)在 [-1,1]上是单调函数 ,故其最值在区间的端点处取得 . (1) = + + = 2, 所以 5 (-1) = - + = - , 或 (1) = + + = - , (-1) = - + = 2.
2 5 2

又 a+c=0,则此时 b 无解 ,所以 由 (1)(2),得 a≠0,且 <2.

<2.

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件. 应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条 件. 2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起 来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过 程. 3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论 的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件, 且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有 的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出 的矛盾必须是明显的.

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.应用分析法要书写规范,常用“要证……”“只需证……”等分析 到一个明显成立的结论. 2.应用反证法要将假设作为条件进行推理,不使用假设而推出矛 盾的,其推理过程是错误的. 3.注意推理的严谨性,在证明过程中每一步推理都要有充分的依 据,这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论,不可 盲目使用正确性未知的自造结论.


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