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2013届高考数学第一轮复习教案第4讲 基本初等函数


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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第4讲
一.课标要求

基本初等函数

1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减, 药物在人体内残留量的变化等) ,了解指数函数模型的实际背景;

(2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的 意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出 具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数 是一类重要 的函数模型。 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历 史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能 借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探索并 了解对数函数 的单调性与特殊点; 3. 知道指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数 (a>0,a≠1) 。
二.命题走向

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的

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高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函 数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合 运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握 指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函 数进行变形处理。 预测 2013 年对本节的考察是: 1.题型有两个选择题和一个解答题; 2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函 数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加 大。
三.要点精讲

1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ? ) ,则这个数称 a 的
n 次方根。即若 x n ? a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n ? 1且n ? N ? ) ,

1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根 且互为相反数,记作 ? n a (a ? 0) 。 ②性质:1) ( n a ) n ? a ;2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 3)当 n 为偶数时, n a ?| a |? ? (2) .幂的有关概念 ①规定:1) a n ? a ? a ? ? ? a(n ? N*;2) a 0 ? 1(a ? 0) ;
?a(a ? 0) 。 ?? a (a ? 0)
[来源:学+科+网]

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n个 3) a ? p ?
1 * ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N p a
m

且 n ? 1) 。

[来源:学科网]

②性质:1) a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r 、 s ?Q) ; 2) (a r ) s ? a r?s (a ? 0, r 、 s ? Q) ; 3) (a ? b) r ? a r ? b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。 (注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 (3) .对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a b ? N ,那么 数 b 称以 a 为底 N 的对数,记作 log a N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真 数。 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ; 2)以无理数 e(e ? 2.71828 ?) 为底的对数称自然对数, log e N ,记 作 ln N ; ②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ;2) log a 1 ? 0 ; 3) log a a ? 1 ;4)对数恒等式: a log
a

N

?N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) log a (MN ) ? log a M ? log a N ; 2) log a
M ? log a M ? log a N ; N

3) log a M n ? n log a M (n ? R) 。 ④换底公式: log a N ?
log m N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), log m a

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1) log a b ? log b a ? 1 ;2) log a b n ?
m

n log a b 。 m

2.指数函数与对数函数 (1)指数函数: ①定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数, 1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限; 2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向左无限接近 ; x 轴,当 a ? 1 时,图象向右无限接近 x 轴) 3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a x 与y ? a ? x 的图象关于 y 轴 对称。 ③函数值的变化特征:
0 ? a ?1 a ?1

① x ? 0时0 ? y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时y ? 1

① x ? 0时y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 ,

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(2)对数函数: ①定义:函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数 函数, 1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y ? log a x 与指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数。 ②函数图像:

1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限; 2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 ; y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无限接近 y 轴) 4)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? log a x与y ? log 1 x 的图象关于
a

x 轴对称。

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③函数值的变化特征:
0 ? a ?1 a ?1

① x ? 1时y ? 0 , ② x ? 1时y ? 0 , ③ 0 ? x ? 1时y ? 0 .

① x ? 1时y ? 0 , ② x ? 1时y ? 0 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

四.典例解析

题型 1:指数运算
[( 例 1. 1) ( 计算: 3 ) 3 (5 ) 0.5 ? (0.008 ) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.0625 0.25 ;
4 3 1 3

3 8

?

2

4 9

?

2

?

1

1

(2)化简:

a ? 8a b 4b ? 2 ab ? a
3
2

2 3

2 3

? (a

?

2 3

23 b a ? 3 a2 ? )? 。 5 a a ?3 a
2 1

8 49 1000 3 4 2 625 4 ) ? 50 ? ]?( ) 解: (1)原式= [( ) 3 ? ( ) 2 ? ( 27 9 8 10 10000
4 7 1 4 2 1 17 2 ? [ ? ? 25 ? ? ] ? ? (? ? 2) ? 2 ? ; 9 3 2 9 9 5 2 10
1 1 1 1 1 2 1

1

a 3 ? 2b 3 (a ? a 3 ) 2 ? ? 1 1 1 (2)原式= 1 1 1 1 a 2 2 (a 3 ) ? a 3 ? (2b 3 ) ? (2b 3 ) (a 2 ? a 3 ) 5
5

a 3 [( a 3 ) 3 ? (2b 3 ) 3 ]

? a (a ? 2b ) ?

1 3

1 3

1 3

a a ? 2b
1 3 1 3

?

a6 a
1 6

1

2

? a3 ? a ? a 3 ? a2 。

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点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式, 然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分 数指数幂的形式保留; 一般的进行指数幂运算时, 化负指数为正指数, 化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。 例 2.已知 x 2 ? x 2 ? 3 ,求 解:∵ x ? x ? 3 , ∴ ( x 2 ? x 2 )2 ? 9 , ∴ x ? 2 ? x?1 ? 9 , ∴ x ? x ?1 ? 7 , ∴ ( x ? x ?1 )2 ? 49 , ∴ x2 ? x?2 ? 47 , 又∵ x 2 ? x 2 ? ( x 2 ? x 2 ) ? ( x ?1 ? x?1 ) ? 3 ? (7 ?1) ? 18 , ∴
x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 3 ? 2
1 2 ? 1 2 1 ? 1

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值。

?3

[来源:学|科|网]

1

?

1

[来源:学科网]

3

?

3

1

?

1

[来源:学科网 ZXXK]

?

?3

47 ? 2 ?3。 18 ? 3

点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件 简化运算。 题型 2:对数运算 例 3.计算 (1) (lg 2)2 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ; (2) (log3 2 ? log9 2) ? (log 4 3 ? log8 3) ; (3)
lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 。 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2

解: (1)原式 ? (lg 2)2 ? (1 ? lg 5) lg 2 ? lg 52 ? (lg 2 ? lg 5 ? 1) lg 2 ? 2lg 5
? ( 1 ? 1 ) l g?2 2 l?g 5

; 2?( l g 2? l g 5 )

2

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(2)原式 ? (

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2 ? 3lg 2 5lg 3 5 ? ? ; 2 lg 3 6 lg 2 4

(3)分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) 2 ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3 ; 分母= (lg 6 ? 2) ? lg
3 ?原式= 。 4
36 1 6 ? ? lg 6 ? 2 ? lg ? 4; 1000 10 100

点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些 运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运 算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧。
网] [来源:学科

例 4.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a 2 ? b2 ? c2 (1)求证: log 2 (1 ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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b?c a ?c ) ? log 2 (1 ? ) ?1; a b b?c 2 (2)若 log 4 (1 ? ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值。 a 3 a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c 证明: (1)左边 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ( ? ) a b a b
( a ? b) 2 ? c 2 a 2 ? 2ab ? b2 ? c 2 2ab ? c 2 ? c 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? 1 ; ab ab ab

解: (2)由 log 4 (1 ?

b?c b?c ) ?1 得1 ? ? 4, a a

∴ ?3a ? b ? c ? 0 ……………① 由 log8 (a ? b ? c) ? 得 a ? b ? c ? 8 3 ? 4 ………… ……………② 由① ? ②得 b ? a ? 2 ……………………………………③ 由①得 c ? 3a ? b ,代入 a 2 ? b2 ? c2 得 2a(4a ? 3b) ? 0 , ∵ a ? 0 , ∴ 4a ? 3b ? 0 ………………………………④
2 3
2

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由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10 。 点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则 为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型 3:指数、对数方程 例 5.设关于 x 的方程 4 x ? 2 x ?1 ? b ? 0(b ?R) , (1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的 解。 解: (1)原方程为 b ? 4 x ? 2 x?1 ,
? 4 x ? 2 x ?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1 ,

?当b ? [?1,??) 时方程有实数解;

(2)①当 b ? ?1 时, 2 x ? 1 ,∴方程有唯一解 x ? 0 ; ②当 b ? ?1 时,? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? b ? 2 x ? 1 ? 1 ? b .
? 2 x ? 0,1 ? 1 ? b ? 0,? 2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ;

令 1 ? 1 ? b ? 0 ? 1 ? b ? 1 ? ?1 ? b ? 0,
?当 ? 1 ? b ? 0时,2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ;

综合①、②,得 1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ; 2)当 b ? 0或b ? ?1时,原方程有唯一解 x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ; 3)当 b ? ?1 时,原方程无解。 点评: 具有一些综合性的指数、 对数问题, 问题的解答涉及指数、 对数函数,二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力,这也是

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指数、对数问题的特点,题型非常广泛,应通过解题学习不断积累经 验。 例 6 . 2006 辽 宁 文 13 ) 方 程 log 2 ( x ? 1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 的 解 ( 为 。 解 : 考 察 对 数 运 算 。 原 方 程 变 形 为
?x ? 1 ? 0 即 得 且 log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x 2 ? 1) ? 2 , x 2 ? 1 ? 4 , x ? ? 5 。 ? ?x ? 1 ? 0

有 x ? 1。从而结果为 5 。 点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路 是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。 题型 4:指数函数的概念与性质
? 2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 ( 例 7.设 f ( x) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?

) D. 3

A. 0

B. 1

C. 2
2 e

解:C; f (2) ? log 3 (2 2 ? 1) ? 1, f ( f (2)) ? 2e 0?1 ? 。 点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值。
?1 例 8.已知 f (log a x) ? x ? x (a ? 0, 且a ? 1) 试求函数 f(x)的单调区间。

解:令 log a x ? t ,则 x= a t ,t∈R。
?t x ?x 所以 f (t ) ? a ? ? a 即 f ( x) ? a ? a , (x∈R) 。

因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数,故只需讨论 f(x)在[0,+∞) 上的单调性。 任取 x1 , x 2 ,且使 0 ? x1 ? x2 ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (a x2 ? a ? x2 ) ? (a x1 ? a ? x1 )
? (a x1 ? a x2 )(1 ? a x1 ? x2 ) a x1 ? x2
1 2 1 2

(1)当 a>1 时,由 0 ? x1 ? x2 ,有 0 ? a x ? a x , a x ? x ? 1 ,所以

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f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。

(2)当 0<a<1 时,由 0 ? x1 ? x2 ,有 0 ? a x ? a x , a x ? x ? 1 ,所以
1 2 1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。

综合所述,[0,+∞]是 f(x)的单调增区间, (-∞,0)是 f(x)的单 调区间。 点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的 性质都需要借助指数函数的性质来处理。 特别是分 a ? 1,0 ? a ? 1 两种情 况来处理。 题型 5:指数函数的图像与应用 例 9.若函数 y ? ( ) |1? x| ? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值 范围是( ) B.-1≤m<0 C.m≥1
1 2

A.m≤-1 D.0<m≤1

? 1 x?1 1 |1? x| ?( 2 ) 解:? y ? ( ) ? ? 2 ?2 x?1 ?

( x ? 1) ( x ? 1)



画图象可知-1≤m<0。 答案为 B。 点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发 点仍然是 a ? 1,0, a ? 1两种情况下函数 y ? a x 的图像特征。 例 10.设函数 f ( x) ? 2|x?1|?|x?1| , 求使f ( x) ? 2 2 x 的取值范围。 解 : 由 于 y ? 2 x 是 增 函 数 , f ( x) ? 2 2 等 价 于 | x ? 1 ? x ? ? | | | 1 ① 1)当 x ? 1时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 ,?①式恒成立;
3 2

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2)当 ?1 ? x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ?1|? 2 x ,①式化为 2 x ? ,即 ? x ? 1 ; 3)当 x ? ?1时, | x ? 1| ? | x ?1|? ?2 ,①式无解; 综上 x 的取值范围是 ? , ?? ? 。 ? ?
3 ?4 ?

3 2

3 4

点评:处理含有指数式的不等式问题,借助指数函数的性质将含 有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等 式)来处理。 题型 6:对数函数的概念与性质 例 11. (1)函数 y ? log 2 x ? 2 的定义域是( A . (3,??) D. [4,??) (2)设 f(x)= lg
2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x

) C . (4,??)

B . [3,??)



A. 4, ? 0, (- 0)( 4) C.(-2,-1) ? (1,2) 解: (1)D(2)B。

B.(-4,-1) ? (1,4) D.(-4,-2) ? (2,4)

点评: 求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围 , 在对数函数中只有真数大于零时才有意义。 对于抽象函数的处理要 注意对应法则的对应关系。 例 12.对于 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2ax ? 3) ,
2

(1)函数的“定义域为 R”和“值域为 R”是否是一回事; (2)结合“实数 a 的取何值时 f (x) 在 [?1,??) 上有意义”与“实数 a 的取何值时函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) ”说明求“有意义”问题与求

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“定义域”问题的区别; (3)结合(1) (2)两问,说明实数 a 的取何值时 f (x) 的值域为
(??,?1]

(4)实数 a 的取何值时 f (x) 在 (??,1] 内是增函数。 解:记 ? ? g ( x) ? ( x ? a) 2 ? 3 ? a 2 ,则 f ( x) ? log 1 ? ;
2

(1)不一样; 定义域为 R ? g ( x) ? 0 恒成立。 得: ? ? 4(a 2 ? 3) ? 0 ,解得实数 a 的取值范围为 (? 3, 3 ) 。 值域为 R: log 1 ? 值域为 R ? ? 至少取遍所有的正实数,
2

则 ? ? 4(a 2 ? 3) ? 0 ,解得实数 a 的取值范围为 (??,? 3 ] ? [ 3,??) 。 (2)实数 a 的取何值时 f (x) 在 [?1,??) 上有意义: 命题等价于 ? ? g ( x) ? 0 对于任意 x ? [?1,??) 恒成立, 则?
? a ? ?1 ? a ? ?1 或? , 2 ? g ( ?1) ? 0 ?3 ? a ? 0

解得实数 a 得取值范围为 (?2, 3 ) 。 实数 a 的取何值时函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) : 由 已 知 得 二 次 不 等 式 x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 的 解 集 为 (??,1) ? (3,??) 可 得
1 ? 3 ? 2a ,则 a=2。故 a 的取值范围为{2}。

区别:“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,而“定义域问 题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题,即 取遍解集内所有的数值)
[来源:Z.xx.k.Com]

(3)易知 g (x) 得值域是 [2,??) ,又 g (x) 得值域是 [3 ? a 2 ,??) ,

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得 3 ? a 2 ? 2 ? a ? ?1 ,故 a 得取值范围为{-1,1}。 (4)命题等价于 g (x) 在 (??,1] 上为减函数,且 g ( x) ? 0 对任意的
?a ? 1 ,解得 a 得取值范围为 [1,2) 。 x ? (??,1] 恒成立,则 ? ? g (1) ? 0

点评:该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问 题。解题过程中遇到了恒成立问题,“恒为正”与“取遍所有大于零的 数”不等价,同时又考察了一元二次函数 函数值的分布情况,解题过 程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。 题型 7:对数函数的图像及应用 例 13. a>1 时, 当 函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是(
y
o
1

)

y
x A
o
1

y

y
o
1

x B

x C

o

1

x D

解:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选, 又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数。 答案:B 点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二 是把握图像的性质,根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值 域、单调性、奇偶性。 例 14.设 A、B 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 与函数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于 点 D。 (1)求点 D 的坐标; (2)当△ ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围。 解: (1)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)),

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所以由中点公式得 D(a+2, log2 a(a ? 4) )。 (2)S△ ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=…= log2 (a ? 2) ,
2

a ( a ? 4)

其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影。 由 S△ ABC= log2 (a ? 2) >1, 得 0< a<2 2 -2。
2

a ( a ? 4)

点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理, 根据函数的性质来处理复杂问题。 题型 8:指数函数、对数函数综合问题 例 15.在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,b n)…, 对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(
a x ) (0<a<1)的图象上,且点 10

Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形。 (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n, bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形, 以 求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问 数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由。 解:(1)由题意知:an=n+ 1 ,∴bn=2000(
2 a n? 2 ) 。 10
1

(2)∵函数 y=2000(

a x ) (0<a<10)递减, 10

∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2。 则 以 bn,bn+1,bn+2 为 边 长 能 构 成 一 个 三 角 形 的 充 要 条 件 是 bn+2+bn+1>bn,

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即(

a 2 ) +( a )-1>0, 10 10
2

解得 a<-5(1+ ∴5(

)或 a>5(

5 -1)。

5 -1)<a<10。 5 -1)<a<10,∴a=7
1

(3)∵5(

n? ∴bn=2000( 7 ) 2 。数列{bn}是一个递减的正数数列, 10

对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1。 于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1, 因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1, 由 bn=2000( ∴n=20。 点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终 还是根据函数性质结合数列知识,以及三角形的面积解决了实际问 题。 例 16.已知函数 f ( x) ? log a (ax ? x )( a ? 0, a ? 1 为常数) (1)求函数 f(x)的定义域;
(2)若 a=2,试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。

7 n? 2 ) ≥1 10

1

得:n≤20。

(3)若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。 解: (1)由 ax ? x ? 0 ∵a>0,x≥0
?x ? 0 1 ?? ?x? 2 2 2 a ?x ? a x

得 x ? ax

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∴f(x)的定义域是 x ? (

1 ,??) 。 a2

(2)若 a=2,则 f ( x) ? log 2 (2 x ? x ) 设 x1 ? x2 ?
1 , 则 4

(2 x1 ? x1 ) ? (2 x 2 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[ 2( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 )

故 f(x)为增函数。

(3)设 x1 ? x2

?

1 a2

则a x1 ? a x2 ? 1

? (ax1 ? x1 ) ? (ax2 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[ a( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? ax1 ? x1 ? ax2 ? x 2



∵f(x)是增函数, ∴f(x1)>f(x2) 即 log a (ax1 ?
x1 ) ? log a (ax2 ? x 2 )



联立① 、②知 a>1,

∴a∈(1,+∞)。 点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对 数函数的特点,结合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路” 处理即可。 题型 9:课标创新题 例 17.对于在区间 ?m, n? 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对 任意的 x ? ?m, n? ,均有 f ( x) ? g ( x) ? 1 ,则称 f(x)与 g(x)在 ?m, n? 上是接近

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的,否则称 f(x)与 g(x)在 ?m, n? 上是非接近的,现有两个函数
f1 ( x) ? log a ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a

1 (a ? 0, a ? 1) ,给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 。 x?a

(1) f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上都有意义, a 的取 若 求 值范围; (2)讨论 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是否是接近的。 解: 两个函数 f1 ( x) ? log a ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a (1)
1 (a ? 0, a ? 1) x?a

在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 有意义,因为函数 y ? x ? 3a 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上单调递增,函数在 y ?
1 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上恒为正数, x?a

?a ? 0 ? ? 0 ? a ? 1; 故有意义当且仅当 ?a ? 1 ?( a ? 2) ? 3a ? 0 ?

(2)构造函数 F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? log a ( x ? a)( x ? 3a) , 对于函数 t ? ( x ? a)( x ? 3a) 来讲, 显然其在 (??,2a] 上单调递减,在 [2a,??) 上单调递增。 且 y ? log a t 在其定义域内一定是减函数。 由于 0 ? a ? 1 ,得 0 ? 2a ? 2 ? a ? 2 所以原函数在区间 [a ? 2, a ? 3] 内单调递减,只需保证
?| F (a ? 2) |?| log a 4(1 ? a ) |? 1 ? ?| F (a ? 3) |?| log a 3(3 ? 2a ) |? 1

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

1 ? ?a ? 4(1 ? a ) ? a ? ?? ?3(3 ? 2a ) ? 1 ? a ?

当0 ? a ?

9 ? 57 时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是接近的; 12

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当a ?

9 ? 57 12

时, f1 ( x) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是非接近的。

点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接 近”的含义,再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究,转化成 含有对数因式的不等式问题,解不等式即可。
2log 例 18.设 x ? 1 , y ? 1,且 2log x y ?
y

x ? 0? 3

,求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最

小值。 解:令 t ? log x y , ∵ x ? 1 , y ? 1,∴ t ? 0 。 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ? ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 ,
1 1 1 ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ? ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

2 t

∴ T ? x 2 ? 4 y 2 ? x 2 ? 4 x ? ( x ? 2)2 ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 。 点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个 亮点。同时考察了学生的变形能力。
五.思维总结

1. n N ? a, a b ? N , log a N ? b (其中 N ? 0, a ? 0, a ? 1 )是同一数量关 系的三种不同表示形式, 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的 相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中,根式常常化为指数 式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底; 2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算 的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子 或分

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母) 、拆项、添项、换元等等, 这些都是经常使用的变换技巧,必须 通过各种题型的训练逐渐积累经验; 3.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运 算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中 单调性是使用率比较高的知识;
[来源:学_科_网]

4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的 12 个小 点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚 瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊 值共同分析; 5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类 问题的最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类; 6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合 形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题 , 与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力 提高综合能力。

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