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【金版学案,同步备课】2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)模块综合检测卷


数学· 选修 4-4(人教 A 版)

模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小 题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.将点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为( A.(π,0) C.(-π,0) B.(π,2π) D

.(-2π,0) )

答案:A

θ ? ? ?cos +sin x = ? ? 2 2.参数方 程? 1 ? y = ? 2?1+sin θ? ( )

θ? ? 2?,

(θ 为参数,0<θ<2π)表示

? 1? A.双曲线的一支,这支过点?1,2? ? ? ? ? 1? B.抛物线的一部分,这部分过点?1,2? ? ? 1? C.双曲线的一支,这支过点?-1,2? ? ?

? 1? D.抛物线的一部分,这部分过点?-1,2? ? ?

答案:B

?x=a+tcos θ, ? 3.在参数方程? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、 ?y=b+tsin θ ?

C 两点,它们对应的参数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应 的参数值是( t1-t2 A. 2 |t1-t2| C. 2 ) B. t1+t2 2 |t1+t2| 2

D.

答案:B
[来源 :Z*xx*k.Com]

? ?x=rcos φ, 4.设 r>0,那么直线 xcos θ+ysin θ=r 与圆? (φ 为 ?y=rsin φ ?

参数)的位置关系是( A.相交 C.相离

)

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

B.相切 D.视 r 的大小而定

答案:B

5. 在极坐标系中与圆 ρ=4sin θ 相切的一条直线的方程为( A.ρcos θ=2
? π? C.ρ= 4sin?θ+3? ? ?

)

B.ρsin θ=2
? π? D.ρ=4sin?θ-3? ? ?

答案:A

? ?x=-2+tan θ, 6.若双曲线的参数方程为? (θ 为参数),则它 ? ?y=1+2sec θ

的渐近线方程为(

) 1 B.y=± x 2 D.y= ± 2x

1 A.y-1=± (x+2) 2 C.y-1=± 2(x+2)

答案:C

? ?x=3+2sin θ, 7.原点到曲线 C:? (θ 为参数)上 各点的 最短距 ?y=-2+2cos θ ?

离为(

) B. 13+2 D. 13

A. 13-2 C.3+ 13
[来源 :学。科。网 Z。 X。 X。 K]

答案:A

8.圆 ρ=5cos θ-5 3sin θ 的圆心是(
? 4π? A.?-5,- 3 ? ? ? ? ? π? C.?5,3? ?
[来源 :学科网 ZXXK]

)

? π? B.?-5,3? ? ? ? ? 5π? D.?-5, 3 ? ?

答案:A

? ?x=cos θ, 9.曲线? (θ 为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的 ? ?y=sin θ

最大值是( 1 A. 2 C.1

) B. 2 2

D. 2

答案:D

? π? 10.若曲线 ρ=2 2上有 n 个点到曲线 ρcos?θ+4?= 2的距离等 ? ?

于 2,则 n=( A.1

) B.2 C.3 D.4

答案:C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答 案填在题中的横线上) 11. 设点 p 的直角坐标为(1,1, 2), 则点 P 的柱坐标是________, 球坐标是________.
? π ? 答案:? 2,4, 2? ? ? ? π π? ?2, , ? 4 4? ?

[来源 :学科网 ZXXK]

? ? ?x=1-2t, ?x=s, ? 12.若直线 l1: (t 为参数)与直线 l2:? (s ? ? ?y=2+kt ?y=1-2s

为参数)垂直,则 k=________.

答案:-1

?x=cos θ, ? π π 13. 若直线 y=x+b 与曲线? θ 为参数, 且- ≤θ≤ 2 2 ? ?y=sin θ

有两个不同的交点,则实数 b 的取值范围是________.

答案:(- 2,-1]

? ?x= 2cos t, 14.(2013· 广东卷)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为 ? ?y= 2sin t

参数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为____________.

答案:ρcos θ+ρsin θ=2

[来源:学#科#网]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程及演算步骤) 15.(本题满分 12 分)(2013· 福建卷)在平面直角坐标系中,以坐 标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极
? π? ? π? 坐标为? 2,4 ?,直线 l 的极坐标 方程为 ρcos?θ-4?=a,且点 A 在直 ? ? ? ?

线 l 上.

(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

? ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 ? ?y=sin α

l 与圆的位置关系.

? π? ? π? 解析:(1)由点 A? 2,4?在直线 ρcos?θ-4?=a 上,可得 a= 2. ? ? ? ?

所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ= 2,从而直线 l 的直角 坐标方程为 x+y-2=0.

(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 (x -1)2+y2=1. 所以圆心为(1,0),半径 r=1, 则圆心到直线 l 的距离 d= 2 <1,所以直线 l 与圆 C 相交. 2

16 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ρ2 = 12 ,点 F1、F2 为其左,右焦点,直线 l 的参数方程为 3cos θ+4sin2θ
2

?x=2+ 22t, ? 2 ? y= 2 t

(t 为参数,t∈R).

(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程;

解析:直线 l 普通方程为 y=x-2, x 2 y2 曲线 C 的普通方程为 + =1. 4 3

(2)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.

解析: ∵F1( - 1,0) , F2(1,0) , ∴ 点 F1 到直线 l 的距离 d1 = |-1-0-2| 3 2 = , 2 2 点 F2 到直线 l 的距离 d2= ∴d1+d2=2 2.
[来源 :学&科 &网]

|1-0-2| 2 = , 2 2

π 17.(本小题满分 14 分)已知直线 l 经过 P(1,1),倾斜角 α= . 6

(1)写出直线 l 的 参数方程;

π ? x = 1 + t cos , ? 6 解析:直线的参数方程为? π ? y = 1 + t sin , ? 6

?x=1+ 23t, 即? 1 ?y=1+2t

(t 为参数).

[来源 :Z*xx*k.Com]

(2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点 的距离之积.

?x=1+ 23t, 解析: 把直线 ? 1 ?y=1+2t
? 1? ?1+ t?2=4, 2? ?

代入 x2 + y2 = 4 得 ?1+
?

?

3 ?2 t? + 2 ?

∴t2+( 3+1)t-2=0, ∴t1t2=-2,故点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2.

18.(本小题满分 14 分)(2013· 辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4.

(1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出 圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表 示);

解析:圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2. 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
? ?ρ=2, π 由? 得:ρ=2,θ=± . 3 ?ρ=4cos θ ? ? π? ? π? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2,3?,?2,-3?. ? ? ? ?

注:极坐标系下点的表示不唯一.

(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

解析:解法一

? ?x=ρcos θ, 由 ? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐 ?y=ρsin θ ?

标分别为(1, 3),(1,- 3).
?x=1, ? 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (t 为参数,- 3 ? ?y=t

≤t≤ 3).

解法二

? ?x=ρcos θ, 将 x=1 代入? 得 ρcos θ=1,从而 ρ= ?y=ρsin θ ?

1 1 ?y= · sin θ=tan θ, cos θ cos θ 于 是 圆 C1 与 C2
? π π? ?θ为参数,- ≤θ≤ ?. 3 3? ? ? ?x=1, 的公共弦的参数方程为? ?y=tan θ ?

? ?x=2cos φ, 19. (本小题满分 14 分)已知曲线 C1 的参数方程是? ? ?y=3sin φ

(φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且
? π? A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为?2,3? . ? ?

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标;

解析:由已知可得
? π π? A?2cos 3,2sin 3?, ? ? ? ?π π? ?π π?? B?2cos?3+2?,2sin?3+2 ??, ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?π ? ?π ?? C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ?? ? ?π 3π? ?π 3π?? D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ??

即 A(1,

3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1).

(2)设 P 为 C1 上任意一点, 求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范 围.

解析:设 P(2cos φ,3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16 =32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].

20. (本小题满分 14 分 )分别在下列两种情况下,把参数方程 1 t ? ?x=2?e +e ? 1 t ? ?y=2?e -e
-t

?cos θ, 化为普通方程.

-t

?sin θ

(1)θ 为参数,t 为常数;

解析:当 t=0 时, y=0,x= cos θ, 即|x|≤1,且 y=0; x 当 t≠0 时,cos θ= , 1 t -t ?e +e ? 2 sin θ= ,而 x2+y2=1 , 1 t -t ?e -e ? 2 + =1. 1 t -t 2 ?e -e ? 4 y2 y

[来源 :学科网 ][来源 :Z。 xx。 k.Com]



x2

1 t -t 2 ?e +e ? 4

(2)t 为参数,θ 为常数.

解析:当 θ=kπ,k ∈Z 时, 1 y=0,x=± (et+e-t), 2 即|x|≥1,且 y=0; π 当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,x=0, 2 1 y=± (et- e-t),即 x=0; 2

? et+e ? kπ 当 θ≠ ,k∈Z 时,有? 2 t ? ?e - e

-t

= =

2x , cos θ 2y , sin θ

-t

2x 2y t ? ?2e =cos θ+sin θ, 即? 2x 2y t ? 2e = - , ? cos θ sin θ




? 2x 2y ?? 2 x 2y ? 2et· 2e-t=?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ?, ? ?? ?

x2 y2 即 2 - 2 =1. cos θ sin θ


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