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开封二十五中2012—2013学年度高二下期期中考试数学试题


开封二十五中 2012—2013 学年度下期期中考试 高二数学试题卷(理科)
第Ⅰ卷
1.x>2 是 x 2 ? 4 的 A. C. (

(选择题
) B. D.

共 60 分)

充分不必要条件 既充分又必要条件

必要不充分条件 既不充分又不必要条件

2.考察以下列命题: ①命题“ lg x ? 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ? 0, 则x ? 1 ” ②若“ p ? q ”为假命题,则 p、q 均为假命题 ③命题 p: ?x ? R ,使得 sin x ? 1;则 ?p : ?x ? R ,均有 sin x ? 1 ④“ x ? 2 ”是“

1 1 ? ”的充分不必要条件 x 2

则真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 2 x y 3.双曲线 ? ( ) ? 1 的渐近线方程是 4 9 2 4 3 9 (A) y ? ? x (B) y ? ? x (C) y ? ? x (D) y ? ? x 3 9 2 4

x2 y2 10 4.若椭圆 ,则 m 值 ( ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 m
A.3 B.3 或



25 3

C. 15

D. 15 或

5 15 3


5.由直线 x ?

1 1 , x ? 2, 曲线 y ? ? 及 x 轴所围图形的面积为 ( 2 x
B.
2

A.- 2ln 2

2 ln 2

C.

1 ln 2 2

D.

15 4

6.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有一点 M(4,y) ,它到焦点 F 的距离 为 5,则 ?OFM 的面积(O 为原点)为( )

高二理科数学

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A.1

B. 2 2

C. 2

D.2

7.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: ? ① ② ③

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A. 6n ? 2 B. 6n ? 2 C. 8n ? 2 D. 8n ? 2 8.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB ? 角的大小为( A.60° ) B.75° C.105°

2 BB1 ,则 AB1 与 C1 B 所成
D.90°

9.抛物线的顶点和椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心重合,抛物线的焦点和椭圆 25 9
) (D)

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则抛物线的方程为( 25 9
(A) y ? 16 x
2

(B) y ? 8 x
2

(C) y ? 12 x
2

y2 ? 6x

10.已知向量 a ? ( 2,?3,5) 与向量 b ? ( ?4, x, y ) 平行,则 x,y 的值分别是 ( ) A.-6 和-10 B.–6 和 10
3 2

C. 6 和-10

D.6 和 10

11. 已知函数 f ( x) ? x ? px ? qx 的图象与 x 轴切于 (1,0) 点, 则 f ( x) 的 极大值和极小值分别为( ) A.

4 ,0 27

B. 0 ,

4 27

C. ?

4 ,0 27

D. ? 0,

4 27

已知抛物线 12.

=2px (p>1) 的焦点 F 恰为双曲线

(a>0,b>0) )

的右焦点,且两曲线的交点连线过点 F,则双曲线的离心率为 ( A.

2

B. 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
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?1? i ? ___ ? 等于_ ? 1? i ? 2 14.若命题“ ?a ∈[1,3],使 a x +(a-2)x-2>0”为假命题,则实
13. i 是虚数单位, ? 数 x 的取值范围是__ _ ___ 15、类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相 垂直,则三角形三边长之间满足关系: AB 2 ? AC 2 ? BC 2 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则三棱锥的侧面积是 S1,S2,S3 与底面积 S 之间满足的关系为 . 16. 已知抛物线 B 两点,则 焦点为 F, 过 F 作直线 L 交抛物线于 A、 y ? ax 2 (a ? 0) , 。

2

1 1 ? ? AF BF

三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
17、(本题满分 10 分)已知 m>0,p: (x+2) (x-6)≤0,q:2-m≤x≤2+m. (I)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m=5,“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值 范围. 18、 (12 分) 已知 x= -

a 2 1 是函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ? x 的一个极值点。 2 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程。
2 19. (12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 2) x ? a ln x( a ? R )

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 4 时, y ? f ( x) 的图像与直线 y=m 有三个交点,求 m 的取值 范围。
D1

20. (本题 12 分) 在 边 长 为 2 的 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,F 是 DD1 的中点, (1) 求点 A 到平面 A1DE 的距离; (2) 求证:CF∥平面 A1DE,
高二理科数学

C1 B1 F

A1

D E B

C

A 第 3 页 共 4 页

(3) 求二面角 E-A1D-A 的平面角的余弦值。 21 如 图 , 椭 圆 M :

x2 y 2 3 , 直 线 x ? ?a 和 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 2 2 a b

y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有 两个不同的交点 S , T . 求 及取得最大值时 m 的值.
| PQ | 的最大值 | ST |

22(本题满分 12 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, 线 C: y =2px(P>0)的准线的距离为 定点,A,B 是 C 上的两动点, 且线段 AB 被直线 OM 平分。 (1)求 p, t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。
2

1 )到抛物 2

5 。点 M(t,1)是 C 上的 4

高二理科数学

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