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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:7-6 Word版含解析]


课时作业(四十六)
一、选择题 → 3→ 1→ 1→ 1.对空间任意一点 O,若OP=4OA+8OB+8OC,则 A,B,C, P 四点( ) B.一定共面 D.与 O 点的位置有关

A.一定不共面 C.不一定共面

3 1 1 解析:4+8+8=1,∴P 点在 A,B,C 所在的平面内. 答案:B 2.若平面 α 与 β 的法

向量分别是 a=(4,0,-2),b=(1,0,2),则 平面 α 与 β 的位置关系是( A.平行 C.相交不垂直 ) B.垂直 D.无法判断

解析:因为 a=(4,0,-2),b=(1,0,2),所以 a· b=0,即 a⊥b, 所以 α⊥β. 答案:B 3.如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于 a, 点 E、F、G 分别为 AB、AD、DC 的中点,则 a2 等于( )

→ → A.2BA· AC → → B.2AD· BD → → C.2FG· CA → → D.2EF· CB → → → → π π 解析: 〈AD,BD〉=3,∴2AD· BD=2a2×cos3=a2. 答案:B 4.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a、b、 c 三向量共面,则实数 λ 等于( 62 A. 7 64 C. 7 ) 63 B. 7 65 D. 7

解析:由于 a、b、c 三向量共面,所以存在实数 m,n,使得 c 7=2m-n ? ? =ma+nb,即有?5=-m+4n, ? ?λ=3m-2n

33 17 65 解得 m= 7 ,n= 7 ,λ= 7 . 答案:D

5. (2013· 晋中调研)如图所示, 已知空间四边形 OABC, OB=OC, → → π 且∠AOB=∠AOC=3,则 cos〈OA,BC〉的值为( A.0 3 C. 2 1 B.2 2 D. 2 )

→ → → 解析:设OA=a,OB=b,OC=c π 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=3,且|b|=|c|, → → OA· BC=a· (c-b)=a· c-a· b → → 1 1 =2|a||c|-2|a||b|=0,∴cos〈OA,BC〉=0. 答案:A

6.(2012· 陕西卷)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC- A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 ( ) 5 A. 5 2 5 C. 5 5 B. 3 3 D.5

解析:不妨设 CB=1,则 B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1). → → ∴BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1). → → → → BC1· AB1 0+4-1 5 cos〈BC1,AB1〉= = = 5 ,故选 A. → → 5×3 |BC1|· |AB1| 答案:A 7.(2013· 北京朝阳第二次综合练习)点 P 是棱长为 1 的正方体 → → ABCD-A1B1C1D1 的底面 A1B1C1D1 上一点,则PA· PC1的取值范围是 ( ) 1? ? A.?-1,-4?
? ?

1? ? 1 B.?-2,-4? ? ?
? 1 ? D.?-2,0? ? ?

C.[-1,0] 解析:

以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在棱分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 → → 空间直角坐标系,易得 A(1,0,0),C1(0,1,1),设 P(x,y,1),则PA· PC1= 1? ? 1? 1 ? 1 1 ?x- ?2+?y- ?2- ,当 x=y= 时取最小值- ,当 x=y=0 或 x=y 2? ? 2? 2 2 2 ? =1 时取最大值 0,故选 D. 答案:D 二、填空题

8.如图所示,已知空间四边形 ABCD,F 为 BC 的中点,E 为 → → → AD 的中点,若EF=λ(AB+DC),则 λ=________. 解析:

如图所示,取 AC 的中点 G,连接 EG,GF, → → → 1 → → 1 则EF=EG+GF=2(AB+DC).∴λ=2. 1 答案:2 9.设向量 a=(-1,3,2),b=(4,-6,2),c=(-3,12,t),若 c= ma+nb,则 t=________,m+n=________. 解析:∵ma+nb=(-m+4n,3m-6n,2m+2n), ∴(-m+4n,3m-6n,2m+2n)=(-3,12,t). -m+4n=-3, ? ? ∴?3m-6n=12, ? ?2m+2n=t, 答案:11 11 2

?m=15, 解得?n=2, ?t=11.

11 ∴m+n= 2 .

10.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2, ∠B1A1C1=90° ,D 为 BB1 的中点,则异面直线 C1D 与 A1C 所成角的 余弦值为________. 解析: 以 A 为原点建立空间直角坐标系, 如图, A1(0,0,2), C(0,1,0), D(1,0,1),C1(0,1,2),

→ → → → 则C1D=(1, -1, -1), A1C=(0,1, -2),|C1D|= 3,|A1C|= 5, → → C1D· A1C=1,

→ → → → C1D· A1C 15 cos〈C1D,A1C〉= = 15 ,故异面直线 C1D 与 A1C 所 → → |C1D||A1C| 15 成角的余弦值为 15 . 15 答案: 15 11.(2013· 海淀区高三期末练习)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长 → → 为 1, 若动点 P 在线段 BD1 上运动, 则DC· AP的取值范围是________. 解析:以 D 为原点建立空间直角坐标系,DA、DC、DD1 分别为 → → x 轴、y 轴、z 轴,则 D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(x,y,z),DC· AP =(0,1,0)· (x-1,x,z)=x,故其取值范围为[0,1]. 答案:[0,1] 三、解答题 12. 如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等 于 1,点 E,F、G 分别是 AB、AD、CD 的中点,计算:

→ → (1)EF· BA;

→ → (2)EF· DC; (3)EG 的长; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. → → → 解:设AB=a,AC=b,AD=c. 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° , → 1→ 1 1 (1)EF=2BD=2c-2a, → → → ?1 1 ? 1 1 1 1 1 1 BA=-a,EF· BA=?2c-2a?· (-a)=-2c· a+2a2=-2×2+2=4.
? ?

→ → → ?1 1 ? (2)DC=b-c,EF· BA=?2c-2a?· (-a)
? ?

1 1 1 =2a2-2a· c=4, → → 1 EF· DC=2(c-a)· (b-c) 1 1 =2(b· c-a· b-c2+a· c)=-4; → → → → 1 1 1 (3)EG=EB+BC+CG=2a+b-a+2c-2b 1 1 1 =-2a+2b+2c, → → 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 |EG| =4a +4b +4c -2a· b+2b· c-2c· a=2,则|EG|= 2 . → 1 1 (4)AG=2b+2c,

→ → → 1 CE=CA+AE=-b+2a, → → → → AG· CE 2 cos〈AG,CE〉= =-3, → → |AG||CE| 由于异面直线所成角的范围是(0° ,90° ], 2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为3.

13.直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB= 90° ,D、E 分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值. → → → 解:(1)证明:设CA=a,CB=b,CC′=c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且 a· b=b· c=c· a=0, → → 1 1 1 ∴CE=b+2c,A′D=-c+2b-2a.

→ → 1 1 ∴CE· A′D=-2c2+2b2=0, → → ∴CE⊥A′D,即 CE⊥A′D. → → → 5 (2)AC′=-a+c,∴|AC′|= 2|a|,|CE|= 2 |a|. → → 1 ? 1 ? 1 ?b+ c?= c2= |a|2, AC′· CE=(-a+c)· 2 2 2
? ?

→ → ∴cos〈AC′,CE〉=

1 2 2|a| 10 = 10 . 5 2·2 |a|2

10 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10 . [热点预测]

14.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC, ∠ABC=90° ,PD⊥平面 ABCD,AD=1,AB= 3,BC=4. (1)求证:BD⊥PC; → → (2)设点 E 在棱 PC 上,PE=λPC,若 DE∥平面 PAB,求 λ 的值. 解:(1)证明:如图,在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DF∥AB, 交 BC 于点 F,以 D 为坐标原点,

DA、DF、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(1, 3,0),D(0,0,0),C(-3, 3,0). → (1)设 PD=a,则 P(0,0,a),BD=(-1,- 3,0), → PC=(-3, 3,-a), → → ∵BD· PC=3-3=0,∴BD⊥PC. → → → (2)由题意知,AB=(0, 3,0),DP=(0,0,a),PA=(1,0,-a), → PC=(-3, 3,-a), → → → ∵PE=λPC,∴PE=(-3λ, 3λ,-aλ), → → → DE=DP+PE=(0,0,a)+(-3λ, 3λ,-aλ)=(-3λ, 3λ,a- aλ). → ? ?AB· n=0, 的法向量,则 ? → ? ?PA· n=0,

设 n = (x , y , z) 为平面 PAB



? ? 3y=0, ? ? ?x-az=0.

令 z=1,得 x=a,∴n=(a,0,1), → ∵DE∥平面 PAB,∴DE· n=0, ∴-3aλ+a-aλ=0,即 a(1-4λ)=0, 1 ∵a≠0,∴λ=4.


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