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1.6三角函数模型的简单应用2


问题提出
?

1.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R(其中? ? 0, ? ? ) 2 的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,能否 确定函数f(x)的图象和性质?
2.三角函数的应用十分广泛, 对于与角 有关的实际问题,我们可以建立一个三 角函数,通过研究其图象和性质或进行 定量分析,就能解决相

应问题.这是一种 数学思想,需要结合具体问题的研究才 能领会和掌握.

探究一:建立三角函数模型求临界值
【背景材料】如图,设地球表面某地正午太 阳高度角为θ ,δ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地的纬度值.当地夏半年δ 取正值,冬半 年δ 取负值. 如果在北京地区(纬度数约为 北纬40°)的一幢高为h0的楼房北 φ -δ 面盖一新楼,要使新 楼一层正午的太阳全 θ φ 太阳光 年不被前面的楼房遮 δ 挡,两楼的距离不应 小于多少?

思考1:图中θ 、 δ 、φ 这三个角 之间的关系是什 么?
θ=90°-∣φ-δ∣.

φ -δ

φ δ

θ

太阳光

思考2:当太阳高度角为θ 时,设高为 h0的楼房在地面上的投影长为h,那么 θ 、h0、h三者满足什么关系?

h=h0 tanθ.

思考3:根据地理知识,北京地区一年 中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体 的影子最短或影子最长?

太阳直射北回归线时物体的影子最 短,直射南回归线时物体的影子最 长.

思考4:如图,A、B、C分别为太阳直射 北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地 面上的投影点.要 使新楼一层正午 的太阳全年不被 前面的楼房遮挡, 两楼的临界距离 h 应是图中哪两点 -23°26? 0° 23°26? M A B C 之间的距离? 40°
0

思考5:右图中∠C 的度数是多少?MC 的长度如何计算?
h0
-23°26?

h0 h0 MC ? ? ? 2h0 0 tan C tan 26 34 '

0° 23°26? M A 40°

B

C

思考6:综上分析,要使新楼一层正午 的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼 的距离不应小于多少?

探究二:建立三角函数模型解决最值问题

【背景材料】某地拟修建一条横断面为 等腰梯形的水渠(如图),为了降低成 本,必须尽量减少水与水渠周壁的接触 面.若水渠横断面面积设计为定值S,渠 深为h,问应怎样修建才能使修建成本最 低? A B
S D
C

思考1:修建水渠的成本可以用哪个几何 量来反映?
A S D C

B
h E

思考2:设想将AD+DC+CB表示成某个变 量的函数,那么自变量如何选取?

思考3:取∠BCE=x为自变量,设y=AD+ DC+CB,那么如何建立y与x的函数关系?
A S x D C

B
h E

S h(2 - cos x ) y= + h sin x

思考4:考虑x的实际意义,这个函数的 定义域是什么?
A B

S x D
C

h

E

S h (2 - cos x ) y = + h sin x p x ? (0, ) 2

思考5:注意到S、h为常数,要使y的值 最小,只需研究哪个三角函数的最小值?
2 - cos x p k= (0 < x < ) sin x 2

2 - cos x p k= (0 < x < ) 思考6:对于函数 sin x 2

你有什么办法求出当x为何值时,k取 最小值? y A(0,2) P(-sinx,cosx)
O x

k = kPA

思考7:如何对原问题作出相应回答?
A S x D C B h E

修建时使梯形的腰与底边的夹角为 60°,才能使修建成本最低.

理论迁移 例1 某市的纬度是北 纬21°34′,小王想在某 住宅小区买房,该小区的 楼高7层,每层3米,楼与 楼之间相距15米,要使所 买楼房在一年四季正午的 太阳不被前面的楼房遮挡, 最低应该选择第几层的房?

15 6

15

21

三楼

例2 如图,甲船在点A处测得乙船在 北偏东60°的B处,并以每小时10海里的 速度向正北方向行使,若甲船沿北偏东 θ 角方向直线航行,并与乙船在C处相遇, 求甲船的航速. C


5 3 p v= ,q (0, ) p 3 sin( - q) A 3

θ

D
B

小结
1.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、 天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致 是:审读题意 设角建立三角函数 分析三角函 数性质 解决实际问题. 其中根据实际问题的背 景材料,建立三角函数关系,是解决问题的关键. 2.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析, 充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数 的图象和性质进行解答.


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