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函数极值与导数第二课时


函数的极值与导数

复习 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.) (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间,并 列成表格 . 检查 f′(x)在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值.

练习1.判断下面4个命题,其中是真命题序号为 ②

/>①可导函数必有极值;



如y ? x

3

②可导函数在极值点的导数一定等于零; ③函数的极小值一定小于极大值 (设极小值、极大值都存在);

④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

练习:

2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

3 2 2 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? a 函数 在 x ? 1时有极值10,则a, 3. C b的值为( ) A、 a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B、 a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C、a ? ?4, b ? 11 D、 以上都不对


f (1) ? 10 解:由题设条件得:? ? / ? f (1) ? 0

解之得

? a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0

通过验证,都合要求,故应选择A。
bqr6401@126.com

注意代 入检验

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y ? f '( x) 的图像 (如图)过点(1,0),(2,0), 求: (1) x0 的值;(2)a,b,c的值;
3 2

略解: (1)由图像可知:x0 ? 1 (2)

f / ( x)=3ax 2 ? 2bx ? c   (a ? 0) f (1) ? a ? b ? c ? 5
f / (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 f / ( 2) ? 12a ? 4b ? c=0

.

? 2b ?- 3a ? 3 或 ? c ? ?2 ? 3a

a ? 2, b ? ?9, c ? 12

注意:数形结合以及函数与方程思想的应用

练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在 x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0 , 试求a,b,c的值 . 4 2 提示:y' ? 5ax ? 3bx . 由y' ? 0.得

x ( 5ax - 3b ) ? 0
2 2

x ? ?1是极值点, ? 5a - 3b ? 0 又 x ?0
2

? x=0,x= ? 1可能是极值点。

练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a>0,y' ? 5ax ( x ?1 ). 由x,y,y' 的变化得
2 2

x ( ? ?, ? 1) -1 (-1,0) 0
f ?( x)

(0 ,1 ) 1 0
极小

(1,+∞) +

+

0
极大

-

0
无极值

f ( x)

??a ? b ? c ? 4 ?a ? 3 ? ? ? ?a ? b ? c ? 0 ? ?b ? 5 ?5a ? 3b ?c ? 2 ? ?

练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a<0,y' ? 5ax 2 ( x 2 ? 1 ). 由x,y,y' 的变化得 ?a ? -3 ? ?b ? -5 ?c ? 2 ?

练习3:
求函数y ? x - 3ax ? 2(a ? 0)的极值,并问方程
3

x - 3ax ? 2 ? 0何时有三个不同的实根?
3

何时有连个根?有唯一的实根?
a>0,y' ? 3x ? 3a. 由x,y,y' 的变化得
2

x
f ?( x)

(??, ? a) ? a ( ? a, a )

a

( a,?? )

+

0
极大

-

0
极小

+

f ( x)

x
f ?( x)

(??, ? a) ? a ( ? a, a )

a

( a,?? )

+

0
极大

-

0
极小

+

f ( x)

?当f( a) ? 2 ? 2 ? 0, 即a>1时, 方程有三个不同的根; 当a=1时,有两个根。 当0<a<1时,有唯一根
? a

3 2

y

a

x

作业:
1.已知函数f(x)=x? -3ax? +2bx在点x=1处有 极小值-1,试确定a,b的值,并求出f(x)的 单调区间。
2.三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间[-1,1] 上有极大值和极小值,求常数a的取值 范围.

3.3.3 最大值与最小值

新课讲授
一.最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.

?a, b?
f ( x)

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.

观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: x = x1 极小: x = x2

x = x3 x = x4

x = x5

(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?

ymax ? f ( x3 )

ymin ? f ( x4 )
x1 x 2 x3

x4

x5

观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: x = x2 极小: x = x1

x = x3

(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么? y y ? f ( x)

ymax ? f (a)

ymin ? f ( x1 )
a O

x1 x2 x3 b

x

二.如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;

如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
(2)利用函数的图象; 如:求y=(x-2)2+3在区间[1,3]上的最值.

(3)利用函数的导数;

求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与 最小值的步骤如下:
(1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值; (2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端 点处的函数值f (a), f (b) 比较, 其中最 大的一个是最大值, 最小的一个是最 小值.

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1, 5]内的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0,即2x–4=0,得x =2 x
f ?( x)

1

(1 ,2 ) -

2 0
2

(2 ,5 ) +

5
11

f ( x)

3

故函数f (x) 在区间[1,5]内的最大值 为11,最小值为2

若函数f(x)在所给的区间I内有唯一的极值,则它是函数的 最值

1 3 例2 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在[0,3]上的最大值与最小值. 3 解: 令 f ?( x) ? x 2 ? 4 ? 0, x ?[0,3]
解得 x = 2 . 当0≤x<2时,f’(x)<0;当2<x≤3时,f’(x)>0

4 所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 f (2) ? ? . 3 又由于 f (0) ? 4, f (3) ? 1, 1 3 所以, 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值是4, 3 4 最小值是 ? . 3

练 习
1 4 1 3 1 2 函数 y ? x ? x ? x ,在 4 3 2
[-1,1]上的最小值为(
A.0 B.-2 C.-1

A

)

D.13/12

4x 2、函数 y ? 2 x ?1



C



A.有最大值2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.最大值为2,最小值-2 D.无最值

3、函数 f(x)? 2x ? cos x在(-?,+?)上( )
A.是增函数 C.有最大值 B.是减函数 D.最小值

1 例3、求f ( x) ? x ? sin x在区间 2 [0,2π]上的最值.
解:

函数f(x)的最大值 是π , 最小值是0.

已知三次函数f(x)=ax? -6ax? +b.问是否存在实数a,b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出 a,b的值;若不存在,请说明理由。

已知三次函数f(x)=ax? -6ax? +b.问是否存在实数a,b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出 a,b的值;若不存在,请说明理由。


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