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第一章 集合与函数概念 单元检测(人教A版必修1)


第一章 集合与函数概念 单元检测(人教 A 版必修 1)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且 只有一个答案是正确的. ) 1.下列各组对象中,不能形成 集合的是( .... A.连江五中全体学生 C.连江五中 2012 级高一学生 ) B.连江五中的必修课 D.连江五中全体高个子

学生 )

2.下列从集合 M 到集合 N 的对应 f 是映射的是(

A 3.下列关系正确的是( A. 0 ? N
x x

B ) B. 1 ? R )

C C. ?? ? ? Q

D D. ?3 ? Z

4.下列各组函数是同一函数的是( A. y ? 与 y ?1

? x ? 1, x ? 1, B. y ? x ? 1 与 y ? ? ?1 ? x, x ? 1

C. y ? x ? x ? 1 与 y ? 2 x ? 1

D. y ?

x3 ? x 与y?x x2 ? 1

? x 2 ? 1, x ? 1, 5.已知 f ? x ? ? ? 则 f ? 2 ? 的值为( ??2 x ? 3, x ≥ 1,

) D.5
y

A. ? 7

B.2 )
y

C. ?1
y

6.下列哪个是偶函数的图像(
y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D
*

7. 已知集合 A ? ?x ? 2 ≤ x ? 1 ≤ 2? 和 B ? x x ? 2k ? 1, k ? N 的关 系的 Venn 图如图所示, 则阴影部分所示的集合的元素共有 ( A.3 个 C.1 个 B.2 个 D.无穷多个 ) )
A B

?

?

? 3? 8.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? 1, x ? ?0, ? 的最值情况是( ? 2?

A.有最大值

3 ,但无最小值 4

B.有最小值

3 ,有最大值 1 4

C.有最小值 1,有最大值

19 4

D.无最大值,也无最小值

9.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就匀速跑步,等跑累了再匀速走余下的路 程. 在下图中纵轴表示该生离学校的距离 d ,横轴表示出发后的时间 t ,则下图中的四个图 形中较符合该学生走法的是( )

d

d

d

d

O
A

t

O
B

t

O
C

t

O
D ) 。

t

10.已知集合 A ? {2, 3, 9} 且 A 中至少有一个奇数,则这样的集合有( A.6 个 B.5 个 C.4 个

D.3 个

11.设偶函数 f ? x ? 的定义域为 R , 当 x ? ?0, ?? ? 时 f ? x ? 是增函数, 则 f ? ?2? , f ?? ?, f ? ?3? 的 大小关系是( ) B. f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D. f (? ) ? f (?2) ? f (?3) )

A. f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C. f (? ) ? f (?3) ? f (?2)

? x 2 ? ax, x ? 1 ? 12.已知函数 f ? x ? ? ? 2 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是( ? ?ax ? x, x ? 1

A. a ? ?2

B. ? 2 ? a ? ? 1

C . a ? ?2

D. a ? ?

1 2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题后的横线上. ) 13.右图是定义在区间 ? ?2,2? 的函数 y ? f ? x ? ,则 f ? x ? 的 减区间是 ★★★ . 14.函数 f ( x) ? 示) . 15.已知定义在 R 上的减函数 f ? x ? 满足 f ? 2m ? 1? ? f ?1 ? m ? ,则实数 m 的取值范围是 ★ ★★ . 16.已知集合 M ? ?x ? 3 ≤ x ≤ 4?, N ? ?x 2a ? 1 ≤ x ≤ a ? 1? ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范 围是 ★★★ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17. (本小题满分 12 分) 判断并证明下列函数的奇偶性: (Ⅰ) f ? x ? ? x3 ? 2x ; (Ⅱ) g ? x ? ? x?4 .

y
-2 -1 O 1 2

x ?1 的定义域为 ★★★ (用区间表 x

x

18. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? x 3 ? x ? 6 (Ⅰ) ? ?R A? ? B ; (Ⅱ) A ? ? ?R B ? .

?

?

B ? ? x x ? ?1或x ? 5? ,求:

19. (本小题满分 12 分)

3 设函数 f ? x ? ? 2 ? . x
(Ⅰ)判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性并用定义加以证明; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在区间 ? 2,5? 上的最大值与最小值.

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

1? x . 1? x

1 (Ⅰ)若 f ? a ? ? ? ,求实数 a 的值; 3
?1? (Ⅱ)求证: f ? ? ? ? f ? x ? ( x ? 0 且 x ? ?1 ) ; ? x? ? 1 ? ? 1 ? ?1? (Ⅲ)求 f ? ?? f ? ? ? ? ? f ? ? ? f ?1? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 2011? ? f ? 2012 ? 的值. ? 2012 ? ? 2011 ? ?2?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? 6x
2

(1)画出 f(x)的图象;(2)根据图象直接写出其单调增区间;(3)写出 f(x)的解析式.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 2, x ? ??5,5? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 不是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)记函数 f ? x ? 的最小值为 g ? a ? ,求 g ? a ? 表达式.

参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:DCADC 6-10:ABCDA 11-12:CA 二、填空题 13. ? ?1,1? 14.解: ?

? x ?1 ? 0 ? x ? 1 ?? ? x x ? 1? ,定义域为 ?1, ?? ? 或 x x ? 1? ?x ? 0 ?x ? 0

?

?

15.解: f ? x ? 在 R 上的减函数且 f ? 2m ? 1? ? f ?1 ? m ?

2m ? 1 ? 1 ? m ? m ?
16.解: M ? N

2 2? 2 ? ,实数 m 的取值范围是 ? ??, ? 或 m ? 3? 3 ? 3

① N ? ? 时 2a ? 1 ? a ? 1 ? a ? 2 ② N ? ?由右图得

? 2a ? 1 ≤ a ? 1 ? a ≤ 2 ? ? ?2a ? 1 ? ?3 ? ? a ? ?1 ? ?1 ? a ? 2 ?a ? 1 ≤ 4 ?a ≤ 3 ? ?
综上所述 a ? ?1 或 ? ?1, ??? 三、解答题

-3

2a-1

a+1

4

17.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 R ,关于原点对称.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∵ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 f ? ?x ? ? ? ?x ? ? 2 ? ?x ? ? ?x3 ? 2x ? ? ? x3 ? x ? ? ? f ? x ? , ·
3

∴ 函数 f ? x ? 为奇函数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)函数 g ? x ? 的定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ?? ? ,关于原点对称. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∵ ∴

g ? x ? ? x?4 ?
g ??x? ? 1

1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 x4
4

??x?

?

1 ? g ? x ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 x4

∴ 函数 g ? x ? 为偶函数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

18.解: (Ⅰ)∵ ∴ ∴

A ? ?x 3 ≤ x ? 6? ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 A ? B ? ?x 5 ? x ? 6? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 CR ( A ? B) ? ?x x ? 5或x ? 6? . ·

(Ⅱ)∵ ∴

B ? ?x x ? ?1或x ? 5? ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 CR B ? ?x ? 1 ? x ? 5? , ·



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ?CR B? ? A ? ?x ? 1 ? x ? 6? . ································

19.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,下证之. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 设 x1 , x2 是 ? 0, ?? ? 上的任意两个实数,有 x1 ? x2 ,则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
? 3? ? 3 ? 3 3 3 ? x1 ? x2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? x2 x1 x1 x2 ?

∵ ∴ ∴

0 ? x1 ? x2 ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,·

∴ 函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数 f ? x ? 在 ? 2,5? 上为增函数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ∴

7 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 f ? x ?max ? f ? 5? ? , f ? x ?min ? f ? 2? ? . · 5 2 f ? a? ? 1? a 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? ,· 1? a 3

20.解: (Ⅰ)∵ ∴

a ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ)∵

f ( x) ?

1? x , 1? x



1 1? ?1? x ? x ?1 ? ?1? x ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 f ? ?? 1? x ? x ? 1? 1 x ?1 x
?1? f ? ? ? ? f ? x ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? x?



?1? (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 f ? ? ? f ? x ? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? x?

∴ 又∵

? 1 ? f? ? ? f ? 2012 ? ? 0, f ? 2012 ?

? 1 ? ? ? ? f ? 2011? ? 0,? , f ? 2011 ?

?1? · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ? ? f ? 2 ? ? 0 .· ? 2?

f ?1? ? 0 ,∴ 原式 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
y

21.解: (1)画出函数图象· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 10
8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 -10 (2)f(x)单调增区间为 (??, ?3),(3, ??) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 -8 2 4 6 8

x

(3)设 x<0,则-x>0, ∵当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 6x
2

∴ f (? x) ? (? x) ? 6(? x) ? x ? 6 x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
2 2

∵函数 f(x)为 R 上的奇函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

f (? x) ? ? f ( x) ? x2 ? 6 x
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 f ( x) ? ? x2 ? 6x, x ? 0 · ∴

? x 2 ? 6 x, x ? 0, ? f ( x) ? ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ?? x ? 6 x, x ? 0.
2

a ? a2 a ? ? 2 ,其对称轴为 x ? . · 22.解: (Ⅰ) f ? x ? ? ? ? x ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2? 4 2 ?

∵ 函数 f ? x ? 不是单调函数, ∴

?5 ?

a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 5 ,· 2

(说明:本步若取等号,扣 1 分) ∴
?10 ? a ? 10 ,

∴ 实数 a 的取值范围为 ? ?10,10? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)①当 ∴ ②当

a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ≤ 0 ,即 a ≤ 0 时, · 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 f ? x ?min ? f ? 5? ? ?25 ? 5a ? 2 ? 5a ? 23 ,即 g ? a ? ? 5a ? 23 . ·

a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 0 ,即 a ? 0 时, · 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 f ? x ?min ? f ? ?5? ? ?25 ? 5a ? 2 ? ?5a ? 23 ,即 g ? a ? ? ?5a ? 23 .·
?5a ? 23, a ≤ 0, 综上所述, g ? a ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ??5a ? 23, a ? 0.


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