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1.5.1曲边梯形面积及1.5.2汽车行驶的路程


高二数学组制作

探究思考
问题1:你能求出下面图像的面积吗? 问题2:第三幅图的面积应该怎么求呢?
y

y

y

0

x

0

x

o

x

直线



几条线段连成的 折线

曲线

探究思考
曲边梯形:在直角坐标系中,由连续曲线
y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所 围成的图形叫做曲边梯形。
y y=f (x)

x=a
O a

x=b
b x

教学目标:
1、了解求曲边梯形的面积与变速直线 运动的路程(指位移)的基本方法和 步骤; 2、体会变速直线运动的路程曲边梯形 的面积之间的关系,进一步了解定积分 的背景.

自主学习:39-41页(6分钟)

探究思考

P

放大

P

再放大

P

因此,我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线,也就是说:在点P附近,曲线可以

看作直线(即在很小范围内以直代曲)。

探究思考
y = f ( x) y

A1 O

Ai

An

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形的

a

b x

面积代替小曲边梯形的面积,于是曲边梯形的面积A近
似为 A ? A1+ A2 + ? ? ? + An —— 以直代曲,无限逼近

探究思考
当分点非常多(n非常大)时,可以认为 f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常 小),从而可以取小区间内任意一点xi对应的 函数值f(xi)作为小矩形一边的长,于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积

f ( x1 )?x ? f ( x2 )?x ? ? ? ? ? f ( xn )?x

表示了曲边梯形面积的近似值

例 1. 求抛物线 y=x2 、直线 x=1 和 x 轴所围成的曲边 分析:在区间[0,1]插入 梯形的面积。 n-1个点,等分成n个小

探究思考

区间,然后在每个分点
y
y?x
2

作底边的垂线, 这样曲 边三角形被分成n个窄

条, 用矩形来近似代替,
然后把这些小矩形的面

积加起来, 得到一个近
似值再用以直代曲,无
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O

1 n

2 n

i ?1 i n n

?

?

n n

限逼近的思想得到曲边
x

梯形的面积。

探究思考
解:(详细过程)
(1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间:
? 1 ? ? 1 2 ? ? i ?1 i ? ? n ?1 n ? , , ?, ? ??, ? , ?,? ? ?, ? , ? ?0, ? ? ? n? ?n n? ? n n? ? n n? i i ?1 1 每个区间的长度为?x ? ? ? n n n

过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小曲边梯形, 他们的面积分别记作

?S1 , ?S2 ,? ? ?, ?Si ,? ? ?, ?Sn .
(左右端点均可以)

(2) 以直代曲(近似代替)

i ?1 i ?1 2 1 ? ?Si ? ?Si =f ( )?x ? ( ) n n n

(3)求和

Sn ? ? ?S ? ?
i ?1 ' i
i ?1

n

n

i ?1 f( )?x ? n
2

i ?1 2 1 ( ) ? n n i ?1
n

1 ?1? 1 ?2? 1 ? n ?1 ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? n ?n? n ?n? n ? n ? n

2

2

1 2 2 2 ? 3 (1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ) n
1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? 3? n 6
1 ? 1 ?? 1? ? ?1 ? ?? 2 ? ? . 6 ? n ?? n?

(4)取极限 分别将区间[0,1]等分成8,16,32,…1024,…… 等份(如下图),可以看到,

1 i ?1 1 1 1 1 S ? lim Sn ? lim ? f ( ) ? lim (1 ? )(1 ? ) ? n ?? n ?? n ?? 3 n n 2n 3 i ?1 n
n

分割

近似代替

求和

取极限

探究:教材42页(3分钟)
结论:取区间 上任意一点 ? i 处的值 f (?i ) 作为近似值都有:
S ? lim ?
?x ?0 i ?1 n

? i ?1 i ? , ? ? n? ? n

1 1 f (?i )?x ? lim ? f (?i ) ? n ?? 3 i ?1 n

n

练习:教材42页(4分钟)

探究思考(1分钟)
思考 1:已知物体运动路程与时间的关系怎 样求物体的运动速度?
例如 S(t)=3t +2. 则 v(t)= S? (t)=6t+0.
思考 2:已知物体运动速度为 v(常量)及时间 t,怎么求路程?
2

匀速直线S=vt;变速直线怎么求呢?

探究思考(2分钟)
思考 3:如果汽车做 变速直线运动, 在时 刻 t 的速度为 v(t)= 2 - t +2 。 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 S 是多少 呢?
v
2

v(t ) = - t 2 + 2

O

1

t

探究思考(2分钟)
思考 4:结合求曲边梯形面积的过程,你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0,t=1,v=0 和曲线 v=-t2+2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系? 图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积,从而汽车行 驶的路程 S ? lim S n 在数 n ?? 值上就等于相应曲边梯形 面积.

解:1.分割 在时间区间 ? 0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间

? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:
? 1? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ,1? 记 第 i 个 区 间为 ? ? n? ?n n? ? n ? i i ?1 1 ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ?t ? ? ? ? n n n ? n n? ? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ,1? 上行 把汽车在时间段 ?0 , ? , ? , ? ,?, ? ? n? ?n n? ? n ? 驶的路程分别记作: ?S1 , ?S 2 ,?, ?S n

显然, S ? ? ?Si
i ?1

n

2.近似代替
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” ,于是的用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ?Si , 则有
2 ? ? 1 i ?1 ? i ?1 ? ? ? ?Si ? ?Si? ? v ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? 2? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ? n

? i ?1 ? 1 2 ? ?? ? ? ? (i ? 1, 2, ?, n) ① ? n ? n n

2

(3 )求和
n

由①得,
n n

2 ? i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ? S n ? ? ?Si? ? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ? n ? n n? ?

1 ?1? 1 ? n ?1 ? 1 = ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 n ?n? n ? n ? n 1 ?2 2 2 = ? 3 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 2 =? 3 n 6 3 ? n ? ? 2n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? S n ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 3 ? n ? ? 2n ?

2

2

(4)取极限

当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 , 即 ?t 趋 向 于 0 时 ,
1 ? 1 ?? 1 ? S n ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 趋向于 S , 3 ? n ? ? 2n ? 1 ? i ?1 ? 从而有 S ? lim S n ? lim ? ? v ? ? n ?? n ?? ? n ? i ?1 n
n

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? lim ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ?? ? 3 ? n ? ? 2n ? ? 3

探究:教材44页
探究结果:本题汽车行驶的路程在数 值上等于曲边梯形的面积. 结论:一般地,如果物体做变速直线运 动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采 用分割、近似代替、求和、取极限的方 法,求出它在 a ? t ? b 内所做的位移 S.

练习(5分钟):教材45页1

当堂检测:(6分钟)
1 A. f ( n )

? i ?1 i ? , ? 1、当n很大时,函数 f ( x) ? x 2 在区间 ? ? n n?

上的值,可以用( C )近似代替

B.
D.

C.

f (

i ) n

2 f( ) n

f ?0?

2、在“近似代替”中,函数f(x)在区间 上的 ? xi , xi ?1 ? 近似值等于( C ) A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 ) C.可以是该区间内任一点的函数值 f (?i )(?i ? ?xi , xi ?1 ?) D.以上答案均不正确 3.求直线 x ? 0, x ? 2, y ? 0 与曲线

y?x

2

所围成的

曲边梯形的面积.

小结:
1. 求曲线下方“曲边梯形”的面积和变 速直线运动的位移问题的一般步骤:
分割 近似代替 求和 取极限

2.讨论问题常用一般到特殊再到一般的 方法 3.以直代曲在近似计算中的应用 4.极限思想的再次运用

作业:

? 教材45页练习2


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